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人教版高一数学(人教A版)必修2课件:第二章 点、直线、平面之间的位置关系_图文

成才之路·数学
人教A版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系

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第二章
章末归纳总结
第二章 点、直线、平面之间的位置关系

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知识结构
第二章 章末归纳总结

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点、直线、平面 之间的位置关系

??????平面???????平平面面的的概性念质?????及公公公其理理理点表12的3示:::公如过如共果不果直一在两线条一个直条不线直重上线合的上的的两平三点面点在有,一一有个个且平公只面共有内点一,,个那那平么么面这它条们直有线且在只此有平一面条内过该

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?? 定义:不同在任何一个平面内的两条直线

???直间线的与位直置线关之系???异相面交直直线线???异面直线所成的角?????定范义围:?0°,90°]

? ?

??平行直线

?直线与平面之

?间的位置关系

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点、直线、平面 之间的位置关系

?? ?

??

判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,
?? 则该直线与此平面平行

?

? ? 直线与平面平行 性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任

????直线与平面之间的位置关系????直线与平面垂直?????判则一定该平定直面理线与:与此一此平条平面直面的线垂交与直线一与个该平直面线内平的行两条相交直线都垂直,

?

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??性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行

? ? ??

???直线与平面所成的角?????定范义围::平[0°面,的90一°]条斜线和它在平面上的射影所成的锐角

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点、直线、平面 之间的位置关系

? ? ? ? ?

判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,
?? ??则这两个平面平行 ?平面与平面平行
?性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么 ? ??它们的交线平行 ?

? ? 平面与平面之间的位置关系

??判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直

? ?平面与平面垂直?性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线

?

?

??的直线与另一个平面垂直

? ??

???二面角?????二 范围 面: 角[的0°平,面18角0°]

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专题突破
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专题一 空间中的位置关系 1.空间中两直线的位置关系:相交、平行、异面. 2.空间中直线与平面的位置关系:直线在平面内、直线 与平面平行、直线与平面相交. 3.两个平面的位置关系:平行、相交.
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[例 1] 下面四个命题中,正确命题的个数是( )

①如果 a,b 是两条直线,a∥b,那么 a 平行于经过 b 的

任何一个平面;②如果直线 a 和平面 α 满足 a∥α,那么 a 与

平面 α 内的任何一条直线平行;③如果直线 a,b 满足 a∥α,

b∥α,则 a∥b;④如果直线 a 与平面 α 内的无数条直线平行,

那么直线 a 必平行于平面 α.

A.0

B.1

C.2

D.3

[答案] A

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[解析]

序正 号误

原因分析

如右图,长方体 ABCD-A′B′C′D′中,
AB∥DC,AB 却在过
① × DC 的平面 ABCD 内,

①不正确

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序号 正误

原因分析

如上图,AB∥平面 A′B′C′D′,B′C′

② × ?平面 A′B′C′D′,AB 与 B′C′异

面,②不正确

如上图,AB∥平面 CDD′C′,BB′∥平

③ × 面 CDD′C′,AB∩BB′=B,即 AB 与

BB′不平行,③不正确

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序号 正误

原因分析

如上图,设直线 l 是平面 ABB′A′内与 AB 平行的任一条直线,l 有无数条,即 AB 与 ④× 平面 ABB′A′内的无数条直线平行,但 AB?平面 ABB′A′,④不正确

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规律总结:长方体中体现了空间中的线线、线面关系, 图中观察可以找到本题中四个命题的许多反例.解决这类题常 常将空间点、线、面的关系放置于长方体中考虑.
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专题二 线线、线面、面面的平行与垂直关系的证明 在这一章中,我们重点学习了立体几何中的平行与垂直关 系的判定定理与性质定理,这些定理之间并不是彼此孤立的, 线线、线面、面面之间的平行与垂直关系可相互转化.做题时 要充分运用它们之间的联系,挖掘题目提供的有效信息,综合 运用所学知识解决此类问题.
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[例2] (2011·江苏高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,平 面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是 AP,AD的中点.

求证:(1)直线EF∥平面PAD; (2)平面BEF⊥平面PAD.

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[证明] (1)如图,在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,
AD 的中点,所以 EF∥PD.
又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD,
所以直线 EF∥平面 PCD.
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(2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD 为 正三角形.因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD.
因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD.
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规律总结:证明线面平行是立体几何考查的重点,证明 时通常利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理,面面 垂直可以通过线面垂直进行转化.
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专题三 空间角的计算 空间中的角包括异面直线所成的角,直线和平面所成的角 和二面角,如何准确找出或作出空间角的平面角,是解答有关 空间角问题的关键,空间角的题目一般都是多种知识的交汇 点,因此它也是高考常考查的内容之一.
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[例 3] 如图,在 Rt△AOB 中,∠OAB=30°,斜边 AB= 4,Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋转得到,且 二面角 B-AO-C 是直二面角,动点 D 在斜边 AB 上.
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(1)求证:平面 COD⊥平面 AOB; (2)当 D 为 AB 的中点时,求异面直线 AO 与 CD 所成角的 正切值; (3)求 CD 与平面 AOB 所成角的正切值的最大值.
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[分析] (1)在一个面内找到一条线垂直于另一个面即可. (2)可取 OB 中点 E,从而构造三角形 CDE. (3)确定 CD 在面 AOB 内的射影即可.
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[解析] (1)证明:由题意,CO⊥AO,BO⊥AO, ∴∠BOC 是二面角 B-AO-C 的平面角, 又∵二面角 B-AO-C 是直二面角. ∴CO⊥BO. 又∵AO∩BO=O, ∴CO⊥平面 AOB. 又 CO?平面 COD, ∴平面 COD⊥平面 AOB.
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(2)解:作 DE⊥OB,垂足为 E,连接 CE(如图),则 DE∥
AO.
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∴∠CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角.

在 Rt△OCB 中,CO=BO=2,OE=12BO=1,

∴CE= CO2+OE2= 5.

又 DE=12AO= 3,

∴在 Rt△CDE 中,tan∠CDE=DCEE=

5= 3

15 3.

即异面直线 AO 与 CD 所成的角的正切值是

15 3.

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(3)解:由(1)知,CO⊥平面 AOB,

∴∠CDO 是 CD 与平面 AOB 所成的角,

且 tan∠CDO=OODC=O2D.

∴当 OD 最小时,tan∠CDO 最大,

这时,OD⊥AB,垂足为 D,

OD=OAA·BOB= 3,tan∠CDO=233,



CD

与平面

AOB

所成角的正切值的最大值是2

3

3 .

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[例 4] 如图所示,四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是 正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD.
(1)求证:AB⊥平面 VAD; (2)求平面 VAD 与平面 VDB 所成的二面角的正切值. [分析] 掌握构造二面角的三种方法.
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[解析] 如图所示,
(1)证明:由于△VAD是正三角形,设AD的中点为E,则 VE⊥AD,而平面VAD⊥底面ABCD,则VE⊥AB.又平面ABCD 是正方形,则AB⊥AD,故AB⊥平面VAD.
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(2)解:设 VD 的中点为 F,连接 AF,BF. 由△VAD 是正三角形,得 AF⊥VD. 又 AB⊥平面 VAD,VD?平面 VAD,所以 AB⊥VD. 而 AF∩AB=A,所以 VD⊥平面 AFB. 又 BF?平面 AFB,所以 BF⊥VD,故∠AFB 是平面 VAD 与平面 VDB 所成的二面角的平面角. 设正方形 ABCD 边长为 a, 则由△VAD 为正三角形可知,AF= 23a,
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即 tan∠AFB=AAFB=

a 3

=2

3 3.

2a

故平面

VAD

与平面

VDB

所成的二面角的正切值为2

3

3 .

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规律总结:用垂面法作二面角的平面角,然后把平面角 归结在某一个三角形中求解.
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思想 1 转化思想 1.通过添加辅助线或辅助面,将空间几何问题转化为平 面几何问题,这是一种降维转化思想. 2.线线、线面、面面的位置关系,通过转化思想建立联 系,从而揭示本质. 3.点面距、线面距、面面距、点线距之间也可相互转化.例 如,求点面距时,可沿平行线平移,找到一个合适的点再来求 点面距离,这就体现了它们之间的相互转化.
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[例 5] 如图所示,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点, AD⊥平面 ABC,AE⊥BD 于 E,AF⊥CD 于 F.

求证:BD⊥平面 AEF.

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[分析] 要证 BD⊥平面 AEF,已知 BD⊥AE,可证 BD⊥ EF 或 AF;由已知条件可知 BC⊥平面 ADC,从而 BC⊥AF, 故关键环节就是证 AF⊥平面 BDC,由 AF⊥DC 即可获证.
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[解析] ∵AB 为⊙O 直径,C 为⊙O 上一点, ∴BC⊥AC,

DBCA?⊥平平面面AABBCC??????DA⊥BC

? ? ?

?

BC⊥AC ?

AC∩DA=A

? ?

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?BACF?⊥平平面面DDAACC ??????

?

BC⊥AF

? ?

?

AF⊥DC ?

BC∩DC=C

? ?

?ABFD⊥?平平面面DDCCBB?????? BD⊥AF

? ? ?

?

BD⊥AE ?

AF∩AE=A

? ?

?BD⊥平面AEF.

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规律总结:证明线面垂直可转化为证线线垂直,而要证 线线垂直又转化为证线面垂直,本题就是通过多次转化而获得 证明的,这是证垂直问题的一个基本规律,须熟悉其转.化.关系.
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[例 6] 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点, 作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.
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(1)求证:PA∥平面 EDB; (2)求证:PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C-PB-D 的大小.
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[分析] 本题(1)(2)考查线面关系,应充分考虑平行、垂直 的判定定理与性质定理以及转化思想的运用;(3)考查空间角 的求解,利用定义找出二面角的平面角是解决问题的关键所 在.
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[解析] (1)证明:如图所示,连接 AC,AC 交 BD 于 O, 连接 EO.
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∵底面 ABCD 是正方形, ∴点 O 是 AC 的中点. 在△PAC 中,∵EO 是中位线,
∴PA∥EO.
又∵EO?平面 EDB,PA?平面 EDB,
∴PA∥平面 EDB.
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(2)证明:∵PD⊥底面 ABCD,DC?底面 ABCD, ∴PD⊥DC. ∵PD=DC,∴△PDC 是等腰直角三角形. 又 DE 是斜边 PC 的中线,∴DE⊥PC. ① 由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,∴DC⊥BC. ∴BC⊥平面 PDC. 又 DE?平面 PDC,∴BC⊥DE. ② 由①和②得 DE⊥平面 PBC.
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而 PB?平面 PBC,∴DE⊥PB. 又 EF⊥PB,而 DE∩EF=E, ∴PB⊥平面 EFD.
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(3)解:由(2)知 PB⊥DF,故∠EFD 是二面角 C-PB-D

的平面角,

由(2)知 DE⊥EF,PD⊥DB.

设正方形 ABCD 的边长为 a,

则 PD=DC=a,BD= 2a,

DE=12PC= 22a,



Rt△PDB

中,DF=PDP·BBD=a·32aa=

6 3 a.

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2



Rt△DEF

中,sin∠EFD=DDEF=

2

a =

6

23,

3a

所以∠EFD=3π,即二面角 C-PB-D 的大小为π3.

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