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2013年全国高考理科数学试题分类汇编3:三角函数 大题答案

2013 年全国高考理科数学分类汇编 3:三角函数
三、解答题 27. (2013 年高考北京卷(理) )在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A.

(I)求 cosA 的值;

(II)求 c 的值.

【答案】 解 :(I) 因为 a=3,b=2

6 ,∠B=2∠A.

所以在△ABC 中 , 由正弦定理得

3 2 6 ? . 所以 sin A sin 2 A

2 sinA cos A 2 6 6 ? .故 cos A ? . sin A 3 3
(II) 由 (I) 知 cos A ?

6 ? , 所 以 s i An 3

3 ? 1 2 Ac? o s . 又 因 为 ∠B=2∠A, 所 以 3

c oB s?

2 2 1 2 sin B ? 1 ? cos 2 B ? . 2 Ac? o? s .所以1 3 3

在△ABC 中, sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 所以 c ?

5 3 . 9

a sin C ?5. sin A

1 28. (2013 年高考陕西卷(理) )已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· b. 2

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?
【答案】解:(Ⅰ) f ( x) ? a· b = cos x ?

1 3 1 ? 3 sin x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) . 2 2 2 6

最小正周期 T ?

2? ?? . 2

所以 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

), 最小正周期为 ? .

(Ⅱ) 当x ? [0,

?

? ? 5? ? 5? ]时, (2 x ? ) ? [- , ],由标准函数y ? sin x在[- , ]上的图像知, . 2 6 6 6 6 6

? ? ? 1 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2
1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1,? . 2 ? 2?

29. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理) )在 ? ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且

a 2 ? b2 ? 2ab ? c 2 .
(1)求 C ;
【答案】

(2)设 cos A cos B ?

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 ,求 tan ? 的值. , ? 2 5 cos ? 5

由题意得

30 . ( 2013

年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津 数 学 ( 理 )) 已 知 函 数

?? ? f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ? (Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期;
? ?? (Ⅱ) 求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

【答案】

31 . ( 2013

年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 )) 设 向 量

a?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(I)若 a ? b .求x的值;

b, 求f ? x ?的最大值. (II)设函数 f ? x ? ? a ?

【答案】

33 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 大 纲 版 数 学 ( 理 ) ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对边 分 别 为

a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac .
(I)求 B

(II)若 sin A sin C ?
【答案】

3 ?1 ,求 C . 4

35. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理) )设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

且 a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ? (Ⅰ)求 a, c 的值;

7 . 9

(Ⅱ)求 sin( A ? B) 的值.
2
2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,得 b ? ? a ? c ? ? 2ac(1 ? cos B ) , 2

【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理 b

又 a ?c ? 6,b ? 2 ,

cos B ?

7 9 ,所以 ac ? 9 ,解得 a ? 3 , c ? 3 .
4 2 9 ,

(Ⅱ)在△ ABC 中,

sin B ? 1 ? cos 2 B ? a sin B 2 2 ? b 3 ,

sin A ?
由正弦定理得

因为 a ? c ,所以 A 为锐角,所以

cos A ? 1 ? sin 2 A ?

1 3

sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?
因此

10 2 27 .

36. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 (理) ) 已知函数 f ( x) ? 4 cos? x ? sin ?? x ?

? ?

??

? (? ? 0) 的 4?

最小正周期为 ? . (Ⅰ)求? 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x) 在区间 ? 0, 2 ? 上的单调性.

【答案】解: (Ⅰ) ? 2

2 cos?x(sin ?x ? cos?x) ? 2 (sin 2?x ? cos 2?x ? 1) ? 2 sin(2?x ?

?
4

)? 2

?

2? ? ? ? ? ? ? 1 .所以 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 , ? ? 1 2? 4

(Ⅱ) 当x ? [0,

?

2

]时, (2 x ?
?
8

?

所以 y ? f ( x)在[0, ]上单调递增;在 [ , ]上单调递减.

) ? [ , ? ? ],令2 x ? ? 解得x ? ; 4 4 4 4 2 8 ? ?
8 2

?

?

?

?

?

37. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理) )已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的

周期为 ? ,图像的一个对称中心为 ( 标不变),在将所得图像向右平移

?
4

, 0) ,将函数 f ( x) 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐

?
2

个单位长度后得到函数 g ( x) 的图像.

(1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式;
【答案】解:(Ⅰ)由函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的周期为 ? , ?

? 0 ,得 ? ? 2

又曲线 y ? f ( x) 的一个对称中心为 ( 故 f ( ) ? sin(2 ?

?
4

, 0) , ? ? (0, ? )
,所以 f ( x) ? cos 2 x

?

?
4

4

? ? ) ? 0 ,得 ? ?

?
2

将函数 f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) 后可得 y ? cos x 的图象 , 再将

y ? cos x 的图象向右平移

?
2

个单位长度后得到函数 g ( x) ? sin x

38 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 招 生 考 试 江 苏 卷 ( 数 学 ) ) 本 小 题 满 分 14 分 . 已 知

? ? a=( c o ? s , s? i n, b) ?
(1)若 | a ? b |?

(? c o s ?, s, i0 n? ? ) ?? ?? .

? ?

? ? ? ? ? ? 2 ,求证: a ? b ;(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

【答案】解:(1)∵ | a ? b |?
2

2

∴| a ? b | ? 2
2
2

即 a ?b

? ?

2

? a ? 2ab ? b ? 2 ,

2

2

2 2 2 2 2 2 又∵ a ?| a | ? cos ? ? sin ? ? 1 , b ?| b | ? cos ? ? sin ? ? 1 ∴ 2 ? 2ab ? 2 ∴ ab ? 0 ∴ a ? b

(2)∵ a ? b ? (cos? ? cos ? , sin ? ? sin ? ) ? (0,1) 两 边 分 别 平 方 再 相 加 得 : 1 ? 2 ? 2 sin ? ∴? ?

∴?

?cos? ? cos ? ? 0 ?cos? ? ? cos ? 即? ?sin ? ? sin ? ? 1 ?sin ? ? 1 ? sin ?

∴ sin ? ?

1 2

∴ sin ? ?

1 2

∵ 0 ? ? ?? ??

5 1 ?,? ? ? 6 6

39. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)已知函数 f ( x ) ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?

(Ⅰ) 求 f ? ?

? ?? ? 的值; ? 6?

(Ⅱ) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

【答案】(Ⅰ) f ? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? 1 ; 4 ? 6? ? 6 12 ? ? 4?

(Ⅱ) f ? 2? ?

? ?

??

? ? ? ?? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? cos 2? ? sin 2? 3? 3 12 ? 4? ? ?

因为 cos ? ?

3 4 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? , 5 5 ? 2 ? 24 7 , cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? 25 25

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 所以 f ? 2? ?

? ?

??

7 ? 24 ? 17 . ? ? cos 2? ? sin 2? ? ? ? ? ? ? ? 3? 25 ? 25 ? 25

40. (2013 年高考湖南卷(理) )已知函数

? ? x f ( x) ? sin( x ? ) ? cos( x ? ).g ( x) ? 2sin 2 . 6 3 2

(I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

3 3 .求 g (? ) 的值; 5

(II)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合.

【答案】解: (I) f ( x) ?

3 1 1 3 3 3 . sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? 3 sin x ? f (? ) ? 3 sin ? ? 2 2 2 2 5

3 ? 4 ? 1 ? sin ? ? ,? ? (0, ) ? cos? ? , 且g (? ) ? 2 sin 2 ? 1 ? cos? ? 5 2 5 2 5
(II) f ( x) ? g ( x) ? 3 sin x ? 1 ? cos x ?

3 1 ? 1 sin x ? cos x ? sin(x ? ) ? 2 2 6 2

? x?

?
6

? [2k? ?

?
6

,2k? ?

5? 2? ] ? x ? [2k? ,2k? ? ], k ? Z 6 3

43. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯) )△ ABC 在内角 A, B, C 的对边分别为

a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B .
(Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.
【答案】

44. (2013年高考新课标1(理) )如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°

1 (1)若 PB= ,求 PA;(2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA 2

[
【 答 案 】 (Ⅰ) 由 已 知 得 ,∠PBC=

60o ,∴∠PBA=30o, 在 △PBA 中 , 由 余 弦 定 理 得

PA2 = 3 ?

1 1 7 7 ? 2 ? 3 ? cos 30o = ,∴PA= ; 4 2 4 2
3 sin ? ? o sin150 sin(30o ? ? )
,化简

(Ⅱ) 设 ∠PBA= ? , 由 已 知 得 ,PB= sin ? , 在 △PBA 中 , 由 正弦 定 理 得 ,

得, 3 cos ? ? 4sin ? , ∴ tan ? =

3 3 ,∴ tan ?PBA = . 4 4