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高三数学-淮安、宿迁、连云港、徐州四市2015届高三上学期第一次模拟数学试卷


2015 年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州四市高考数学一模试 卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解题过程,请把答案 直接填写在答题卡相应位置上, 1.己知集合 A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则 A∪B 中元素的个数为 . 2.设复数 z 满足 i(z﹣4)=3+2i(i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为 .

3.如图,茎叶图记录了甲、乙两组各 3 名同学在期末考试中的数学成绩,则方差较小的那 组同学成绩的方差为 .

4.某用人单位从甲、乙、丙、丁 4 名应聘者中招聘 2 人,若每名 应聘者被录用的机会均 等,则甲、乙 2 人中至少有 1 入被录用 的概率为 . 5.如图是一个算法的流程图,若输入 x 的值为 2,则输出 y 的值为 .

6.已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形,则该圆锥的体积为 7. 若f (x) 为 R 上的奇函数, 当 x<0 时, f (x) =log( , 则f (0) +f (2) = 2 2﹣x) 8.在等差数列{an}中,已知 a2+a8=11,则 3a3+a11 的值为 9.若实数 x,y 满足 x+y﹣4≥0,则 z=x +y +6x﹣2y+10 的最小值为
2 2

. .

. .

1

10.已知椭圆

+

=1(a>b>0) ,点 A,B1,B2,F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和

右焦点,若直线 AB2 与直线 B1F 的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率 为 .

11.将函数 y=2sin(ωx﹣

) (ω>0)的图象分别向左、向右各平移 .

个单位长度后,

所得的两个图象对称轴重合,则ω的最小值为

12.已知 a,b 均为正数,且直线 ax+by﹣6=0 与直线 2x+(b﹣3)y+5=0 互相平行,则 2a+3b 的最小值是 .

13.已知函数 f(x)=

,则不等式 f(f(x) )≤3 的解集为



14.在△ABC 中,己知 AC=3,∠A=45°,点 D 满足 为 .

=2

,且 AD=

,则 BC 的长

二、解答题:本大题共 6 小题.15~17 每小题 14 分,18~20 每小题 14 分,共计 90 分.请 在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知向量 =(1,2sinθ) , =(sin(θ+ (1)若 ⊥ ,求 tanθ的值; (2)若 ∥ ,且θ∈(0, ) ,求θ的值. ) ,1) ,θ∈R.

16.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,已知平面 PBC⊥平面 ABC. (1)若 AB⊥BC,CP⊥PB,求证:CP⊥PA: (2)若过点 A 作直线 l 上平面 ABC,求证:l∥平面 PBC.

17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(﹣3,4) ,B(9,0) ,C,D 分别为线段 OA,OB 上的动点,且满足 AC=BD (1)若 AC=4,求直线 CD 的方程;

2

(2)证明:△OCD 的外接圆恒过定点. 18.如图,有一个长方形地块 ABCD,边 AB 为 2km,AD 为 4km. ,地块的一角是湿地(图中阴 影部分) ,其边缘线 AC 是以直线 AD 为对称轴,以 A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一 条过边缘线 AC 上一点 P 的直线型隔离带 EF,E,F 分别在边 AB,BC 上(隔离带不能穿越湿 地,且占地面积忽略不计) .设点 P 到边 AD 的距离为 t(单位:km) ,△BEF 的面积为 S(单 位:km ) . (1)求 S 关于 t 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)是否存在点 P,使隔离出的△BEF 面积 S 超过 3km ?并说明理由.
2 2

19.在数列 {an}中,已知 a1=a2=1,an+an+2=λ+2an+1,n∈N ,λ为常数. (1)证明:a1,a4,a5 成等差数列; (2)设 cn= ,求数列 的前 n 项和 Sn;

*

(3)当λ≠0 时,数列 {an﹣1}中是否存在三项 as+1﹣1,at+1﹣1,ap+1﹣1 成等比数列,且 s,t,p 也成等比数列?若存在,求出 s,t,p 的值;若不存在,说明理由.
2

20.已知函数 f(x)=lnx﹣ ax +x. (1)若 f(1)=0,求函数 f(x)的单调减区间; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≤ax﹣1 恒成立,求整数 a 的最小值; (3)若 a=﹣2,正实数 x1,x2 满足 f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥ .

四、附加题部分本试卷共 2 页,均为解答题(第 21 题~第 23 题,共 4 题).本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回..【选做题】本题包 括 A,B,C,D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.选修 4-1:几何证明选讲 21.如图,⊙0 是△ABC 的外接圆,AB=AC,延长 BC 到点 D,使得 CD=AC,连结 AD 交⊙O 于 点 E.求证:BE 平分∠ABC

3

选修 4-2:矩阵与变换 22.已知 a,b∈R,矩阵 b 的值. 所对应的变换 TA 将直线 x﹣y﹣1=0 变换为自身,求 a,

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.己知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,圆 C 的参数方程为 . (a ,求

>0.θ为参数) ,点 P 是圆 C 上的任意一点,若点 P 到直线 l 的距离的最大值为 a 的值.

选修 4-5:不等式选讲 24.若 a>0,b>0,且 + = ,求 a +b 的最小值.
3 3

八、 【必做题】第 22 题、第 23 题.每题 10 分.共计 20 分.请在答题卡指定区毕内作答.解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25. 某校开设 8 门校本课程, 其中 4 门课程为人文科学, 4 门为自然科学, 学校要求学生 在 高中三年内从中选修 3 门课程,假设学生选修每门课程的机会均等. (1)求某同学至少选修 1 门自然科学课程的概率; (2)已知某同学所选修的 3 门课程中有 1 门人文科学,2 门自然科学,若该同学通过人文 科学课程的概率都是 ,自然科学课程的概率都是 ,且各门课程通过与否相互独立.用ξ 表示该同学所选的 3 门课程通过的门数,求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.
2

26.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为 x=﹣ ,过点 M (0,﹣2)作抛物线的切线 MA,切点为 A(异于点 O) .直线 l 过点 M 与抛物线交于两点 B, C,与直线 OA 交于点 N. (1)求抛物线的方程; (2)试问: 的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.

4

5

2015 年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州四市高考数学 一模试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解题过程,请把答案 直接填写在答题卡相应位置上, 1.己知集合 A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则 A∪B 中元素的个数为 6 . 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算求出 A∪B 即可. 解答: 解:∵A={0,1,2,3},B={2,3,4,5}, ∴A∪B={0,1,2,3,4,5}, 共有 6 个元素, 故答案为:6; 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2.设复数 z 满足 i(z﹣4)=3+2i(i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为 ﹣3 . 考点: 专题: 分析: 解答: ∴z= 复数相等的充要条件. 数系的扩充和复数. 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出. 解:∵i(z﹣4)=3+2i(i 是虚数单位) , +4= +4=6﹣3i,

其虚部为﹣3. 故答案为:﹣3. 点评: 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,属于基础题. 3.如图,茎叶图记录了甲、乙两组各 3 名同学在期末考试中的数学成绩,则方差较小的那 组同学成绩的方差为 .

考点: 极差、方差与标准差;茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 由茎叶图数据分别求出甲乙两组的方差,比较大小.

6

解答: 解:由已知可得甲的平均成绩为
2

=92,方差为 [(92﹣88) +(92﹣92)

2

+(96﹣92) ]=

2

; =92,方差为 [(92﹣90) +(92﹣91) +(95﹣92) ]= .
2 2 2

乙的平均成绩为



所以方差较小的那组同学成绩的方差为 故答案为:

点评: 本题考查了茎叶图的数据统计中,求平均数以及方差,关键是熟记公式. 4.某用人单位从甲、乙、丙、丁 4 名应聘者中招聘 2 人,若每名 等,则甲、乙 2 人中至少有 1 入被录用 的概率为 . 应聘者被录用的机会均

考点: 互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: 先利用排列组织知识求出甲、乙两人都不被录用的概率,再用间接法求出甲、乙两 人中至少有 1 人被录用的概率. 解答: 解:某单位从 4 名应聘者甲、乙、丙、丁中招聘 2 人, ∵这 4 名应聘者被录用的机会均等, ∴甲、乙两人都不被录用的概率为= = ,

∴甲、乙两人中至少有 1 人被录用的概率 P=1﹣ = ; 故答案为: 点评: 本题考查古典概型及其计算公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 5.如图是一个算法的流程图,若输入 x 的值为 2,则输出 y 的值为 7 .

考点: 程序框图.

7

专题: 算法和程序框图. 分析: 利用循环结构,直到条件不满足退出,即可得到结论. 解答: 解:执行一次循环,y=3,x=2,不满足|y﹣x|≥4,故继续执行循环; 执行第二次循环,y=7,x=3,满足|y﹣x|≥4,退出循环 故输出的 y 值为 7, 故答案为:7 点评: 本题考查循环结构,考查学生的计算能力,属于基础题.

6.已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形,则该圆锥的体积为



考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据圆角轴截面的定义结合正三角形的性质,可得圆锥底面半径长和高的大小,由 此结合圆锥的体积公式,则不难得到本题的答案. 解答: 解:∵圆锥的轴截面是正三角形 ABC,边长等于 2 ∴圆锥的高 AO= ×2= ,

底面半径 r= ×2=1 因此,该圆锥的体积 V= πr ? AO= π×1 × 故答案为: ;
2 2

=

点评: 本题给出圆锥轴截面的形状,求圆锥的体积,着重考查了等边三角形的性质和圆锥 的轴截面等知识,属于基础题. 7.若 f(x)为 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=log2(2﹣x) ,则 f(0)+f(2)= ﹣2 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 运用奇函数的定义,已知解析式,可得 f(0)=0,f(2)=﹣2,即可得到结论. 解答: 解:f(x)为 R 上的奇函数, 则 f(﹣x)=﹣f(x) , 即有 f(0)=0,f(﹣2)=﹣f(2) , 当 x<0 时,f(x)=log2(2﹣x) ,
8



f(﹣2)=log2(2+2)=2, 则 f(0)+f(2)=0﹣2=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查函数的奇偶性的运用:求函数值,考查运算能力,属于基础题. 8.在等差数列{an}中,已知 a2+a8=11,则 3a3+a11 的值为 22 . 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 运用等差数列的通项公式,化简已知可得,a1+4d= 代入即可得到所求值. 解答: 解:设等差数列的公差为 d, a2+a8=11,则 a1+d+a1+7d=11, 即有 a1+4d= , ,再由通项公式化简 3a3+a11,

3a3+a11=3(a1+2d)+a1+10d =4(a1+4d)=4× =22. 故答案为:22. 点评: 本题考查等差数列的通项公式,考查运算能力,属于基础题. 9.若实数 x,y 满足 x+y﹣4≥0,则 z=x +y +6x﹣2y+10 的最小值为 18 . 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用配方得到 z 的几何意义,作出不等式对应的平面区域,利用数形结合即可得到 结论. 解答: 解:z=x +y +6x﹣2y+10=(x+3) +(y﹣1) ,则 z 的几何意义为区域内的点到点 D (﹣3,1)的距离的平方, 作出不等式组对应的平面区域如图: 由图象可知,当 BD 垂直直线 x+y﹣4=0 时, 此时 BD 的距离最小, 最小值为点 D 到直线 x+y﹣4=0 的距离 d= 则 z=( ) =18, 故答案为:18
2 2 2 2 2 2 2

=



9

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义结合数形结合是解决本题 的关键.

10.已知椭圆

+

=1(a>b>0) ,点 A,B1,B2,F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和

右焦点,若直线 AB2 与直线 B1F 的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 作简图,结合图象可得 CD= 解答: 解:作简图如下,则 = , = ; = (a+ ) ,从而解得.

即 CD=

= (a+

) ,


2

=1+ ;

即( ) ﹣ ﹣2=0; 即( ﹣2) ( +1)=0; 故 =2;故离心率 e= ; 故答案为: .

10

点评: 本题考查了椭圆的应用,属于基础题.

11.将函数 y=2sin(ωx﹣

) (ω>0)的图象分别向左、向右各平移

个单位长度后,

所得的两个图象对称轴重合,则ω的最小值为 2 . 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由三角函数的图象平移得到平移后的两个函数的解析式,再由两函数的对称轴重合 得到ωx+ 最小正数ω的值. 解答: 解:把函数 y=2sin(ωx﹣ 象对应的函数解析式为: y=2sin[ω(x+ 向右平移 (ωx﹣ )﹣ ]=2sin(ωx+ ) , ) ﹣ ]=2sin ) (ω>0)的图象向左平移 个单位长度后,所得图 =ωx﹣ 或ωx+ =ωx﹣ +kπ,k∈Z.由此求得

个单位长度后, 所得图象对应的函数解析式为: y=2sin[ω (x﹣ ) .

∵所得的两个图象对称轴重合, ∴ωx+ =ωx﹣ ①,或ωx+ =ωx﹣ +kπ,k∈Z ②.

解①得ω=0,不合题意; 解②得ω=2k,k∈Z. ∴ω的最小值为 2. 故答案为:2. 点评: 本题主要考查三角函数的平移,三角函数的平移原则为左加右减上加下减,考查了 三角函数的对称性,是中档题. 12.已知 a,b 均为正数,且直线 ax+by﹣6=0 与直线 2x+(b﹣3)y+5=0 互相平行,则 2a+3b 的最小值是 25 .

11

考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由两直线平行的条件得到 ,由 2a+3b=(2a+3b) ( )展开后利用基本不

等式求得最值. 解答: 解:∵直线 ax+by﹣6=0 与直线 2x+(b﹣3)y+5=0 互相平行, ∴a(b﹣3)﹣2b=0 且 5a+12≠0, ∴3a+2b=ab,即 则 2a+3b=(2a+3b) ( ,又 a,b 均为正数, )=4+9+ .

当且仅当 a=b=5 时上式等号成立. 故答案为:25. 点评: 本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系,训练了利用基本不等式求最值, 是基础题.

13. 已知函数 f (x) =

, 则不等式 f (f (x) ) ≤3 的解集为 (﹣∞,

]



考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 函数 f(x)= ,是一个分段函数,故可以将不等式 f(f(x) )≤3

分类讨论,分 x≥0,﹣2<x<0,x≤﹣2 三种情况,分别进行讨论,综合讨论结果,即可得 到答案. 解答: 解:当 x≥0 时,f(f(x) )=f(﹣x )=(﹣x ) ﹣2x ≤3,即(x ﹣3) (x +1)≤ 0,解得 0≤x≤ , 2 2 2 2 2 2 当﹣2<x<0 时,f(f(x) )=f(x +2x)=(x +2x) +2(x +2x)≤3,即(x +2x﹣1) (x +2x+3) ≤0,解得﹣2<x<0, 当 x≤﹣2 时,f(f(x) )=f(x +2x)=﹣(x +2x) ≤3,解得 x≤﹣2, 综上所述不等式的解集为(﹣∞, ] 故答案为: (﹣∞, ] 点评: 本题考查的知识点是分段函数的解析式,及不等式的解法,其中根据分段函数分段 处理的原则,需要进行分类讨论,是解答本题的关键.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

14. 在△ABC 中, 己知 AC=3, ∠A=45°, 点 D 满足

=2

, 且 AD=

, 则 BC 的长为 3 .

考点: 向量数乘的运算及其几何意义. 专题: 三角函数的求值;解三角形.

12

分析: 以 A 为坐标原点,点 C 在 x 轴上建立平面直角坐标系,如图所示,C(3,0) ,设 B (t,t) ,根据 =2 ,得出 D 点的坐标,利用 AD 的长,求出 t 的值,确定出 B 的坐标,

即得 BC 的长. 解答: 解:根据题意,以 A 为坐标原点,点 C 在 x 轴上建立平面直角坐标系, 如图所示; 则 C(3,0) , ∵∠A=45°, ∴设 B(t,t) ,其中 t>0,D(x,y) ; 根据 =2 ,

得(x﹣3,y)=2(t﹣x,t﹣y) , 即 ,

解得 x= ∴D( 又∵AD= ∴

,y= , , + ) ;



=13,

解得 t=3 或 t=﹣ (舍去) ; ∴B(3,3) ,即 BC=3. 故答案为:3.

点评: 此题考查了向量数乘得运算及其几何意义,根据题意做出适当的图形是解本题的关 键. 二、解答题:本大题共 6 小题.15~17 每小题 14 分,18~20 每小题 14 分,共计 90 分.请 在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知向量 =(1,2sinθ) , =(sin(θ+ (1)若 ⊥ ,求 tanθ的值; (2)若 ∥ ,且θ∈(0, ) ,求θ的值. ) ,1) ,θ∈R.

13

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量的垂直和平行的性质得到θ的三角函数式,然后化简解答. 解答: 解; (1)若 ⊥ ,则 以 tanθ=﹣ ; ) ,则 2sinθsin(θ+ , 所以 ) ,2θ﹣ ∈(﹣ , ) ,所以 2θ﹣ = )=1,整理得 sin θ+
2

=sin(θ+

)+2sinθ=0,所以 5sinθ+

cosθ=0,所

(2)若 ∥ ,且θ∈(0, θ=1, 所以 = ,θ∈(0,

sinθcos )

, 即 sin (2θ﹣ ,所以θ= .

点评: 本题考查了向量的垂直和平行的性质以及运用三角函数公式化简三角函数并求值. 16.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,已知平面 PBC⊥平面 ABC. (1)若 AB⊥BC,CP⊥PB,求证:CP⊥PA: (2)若过点 A 作直线 l 上平面 ABC,求证:l∥平面 PBC.

考点: 直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由已知得 AB⊥平面 PBC,从而 CP⊥AB,又 CP⊥PB,从而 CP⊥平面 PAB,由此 得到 CP⊥PA. (2)在平面 PBC 内过点 P 作 PD⊥BC,垂足为 D,由已知得 PD⊥平面 ABC,从而 l∥PD,由 此能证明 l∥平面 PBC. 解答: (1)证明:因为平面 PBC⊥平面 ABC,平面 PBC∩平面 ABC=BC, AB? 平面 ABC,AB⊥BC,所以 AB⊥平面 PBC. 因为 CP? 平面 PBC,所以 CP⊥AB. 又因为 CP⊥PB,且 PB∩AB=B,AB,PB? 平面 PAB, 所以 CP⊥平面 PAB, 又因为 PA? 平面 PAB,所以 CP⊥PA. (2)证明:在平面 PBC 内过点 P 作 PD⊥BC,垂足为 D. 因为平面 PBC⊥平面 ABC, 又平面 PBC∩平面 ABC=BC,PD? 平面 PBC,所以 PD⊥平面 ABC. 又 l⊥平面 ABC,所以 l∥PD. 又 l? 平面 PBC,PD? 平面 PBC,所以 l∥平面 PBC.

14

点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面平行的证明,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(﹣3,4) ,B(9,0) ,C,D 分别为线段 OA,OB 上的动点,且满足 AC=BD (1)若 AC=4,求直线 CD 的方程; (2)证明:△OCD 的外接圆恒过定点. 考点: 圆的一般方程;直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)根据条件确定 C,D 的坐标,根据直线的两点式方程即可求直线 CD 的方程; (2)根据 AC=BD,根据待定系数法表示出 C,D 的坐标,利用圆的一般式方程,即可得到结 论. 解答: 解: (1)若 AC=4,则 BD=4, ∵B(9,0) ,∴D(5,0) , ∵A(﹣3,4) , ∴|OA|= 直线 OA 的方程为 y= ,则|OC|=1, x,

设 C(3a,﹣4a) ,﹣1<a<0, 则|OC|= 解得 a= 则 C( , , ) ,则 CD 的方程为 , =5|a|=﹣5a=1,

整理得 x+7y﹣5=0, 即直线 CD 的方程为 x+7y﹣5=0; (2)证明:△OCD 的外接圆恒过定点. 设 C(3a,﹣4a) ,﹣1<a<0, 则|AC|= = =5|a+1|=5(a+1) ,

则|BD|=|AC|=5(a+1) ,则 D(4﹣5a,0) , 设△OCD 的外接圆的一般方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, ∵O(0,0) ,C(3a,﹣4a) ,﹣1<a<0,D(4﹣5a,0) ,
2 2

15

∴圆的方程满足











解得 E=10a﹣3,F=0,D=5a﹣4, 则圆的一般方程为 x +y +(5a﹣4)x+(10a﹣3)y=0, 2 2 即 x +y ﹣4x﹣3y+5a(x+2y)=0, 由 ,
2 2

解得





即:△OCD 的外接圆恒过定点(0,0)和(2,﹣1) .

点评: 本题主要考查直线方程的求解,以及圆的一般式方程的应用,利用待定系数法是解 决本题的关键.综合性较强,难度较大. 18.如图,有一个长方形地块 ABCD,边 AB 为 2km,AD 为 4km. ,地块的一角是湿地(图中阴 影部分) ,其边缘线 AC 是以直线 AD 为对称轴,以 A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一 条过边缘线 AC 上一点 P 的直线型隔离带 EF,E,F 分别在边 AB,BC 上(隔离带不能穿越湿 地,且占地面积忽略不计) .设点 P 到边 AD 的距离为 t(单位:km) ,△BEF 的面积为 S(单 位:km ) . (1)求 S 关于 t 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)是否存在点 P,使隔离出的△BEF 面积 S 超过 3km ?并说明理由.
2 2

16

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)如图,以 A 为坐标原点 O,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则 C 点坐标为(2,4) .设边缘线 AC 所在抛物线的方程为 y=ax ,把(2,4)代入,可得抛物线 2 2 2 的方程为 y=x .由于 y'=2x,可得过 P(t,t )的切线 EF 方程为 y=2tx﹣t .可得 E,F 点 的坐标, (2) ,即可得出定义域. ,利用导数在定义域内研究其单调性极值与最值即可得
2

出. 解答: 解: (1)如图,以 A 为坐标原点 O,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则 C 点坐标为(2,4) . 设边缘线 AC 所在抛物线的方程为 y=ax , 2 把(2,4)代入,得 4=a×2 ,解得 a=1, 2 ∴抛物线的方程为 y=x . ∵y'=2x, ∴过 P(t,t )的切线 EF 方程为 y=2tx﹣t . 令 y=0,得 ∴ ∴ (2) 由 S'(t)>0,得 ∴S(t)在 , 上是增函数,在 . 上是减函数, ;令 x=2,得 F(2,4t﹣t ) , , ,定义域为(0,2]. ,
2 2 2 2

∴S 在(0,2]上有最大值 又∵ ,

∴不存在点 P,使隔离出的△BEF 面积 S 超过 3km .
17

2

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值切线的方程、抛物线方程,考查 了分析问题与解决问题的能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19.在数列 {an}中,已知 a1=a2=1,an+an+2=λ+2an+1,n∈N ,λ为常数. (1)证明:a1,a4,a5 成等差数列; (2)设 cn= ,求数列 的前 n 项和 Sn;
*

(3)当λ≠0 时,数列 {an﹣1}中是否存在三项 as+1﹣1,at+1﹣1,ap+1﹣1 成等比数列,且 s,t,p 也成等比数列?若存在,求出 s,t,p 的值;若不存在,说明理由. 考点: 数列的求和;等比数列的性质;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用递推式可得 a4,a5,再利用等差数列的定义即可证明; (2)由 an+an+2=λ+2an+1,得 an+2﹣an+1=an+1﹣an+λ,令 bn=an+1﹣an,利用等差数列的通项公式 可得 bn=an+1﹣an=(n﹣1)λ,即可得出 n 项和公式即可得出. (3)由(2)知 an+1﹣an=(n﹣1)λ,用累加法可求得 ,当 n=1 时也适合,假设存在三项 as+1﹣1,at+1 ﹣1,ap+1﹣1 成等比数列,且 s,t,p 也成等比数列,利用等比数列的通项公式即可得出. 解答: (1)证明:∵an+an+2=λ+2an+1,a1=a2=1, ∴a3=2a2﹣a1+λ=λ+1, 同理,a4=2a3﹣a2+λ=3λ+1,a5=2a4﹣a3+λ=6λ+1, 又∵a4﹣a1=3λ,a5﹣a4=3λ, ∴a4﹣a1=a5﹣a4, 故 a1,a4,a5 成等差数列. (2)由 an+an+2=λ+2an+1,得 an+2﹣an+1=an+1﹣an+λ, 令 bn=an+1﹣an,则 bn+1﹣bn=λ,b1=a2﹣a1=0, ∴{bn}是以 0 为首项,公差为λ的等差数列, ∴bn=b1+(n﹣1)λ=(n﹣1)λ, 即 an+1﹣an=(n﹣1)λ, ∴an+2﹣an=2(an+1﹣an)+λ=(2n﹣1)λ, .利用等比数列的前

18





当λ=0 时,Sn=n, 当 (3)由(2)知 an+1﹣an=(n﹣1)λ, 用累加法可求得 当 n=1 时也适合,∴ , , .

假设存在三项 as+1﹣1,at+1﹣1,ap+1﹣1 成等比数列,且 s,t,p 也成等比数列, 则 ,即

, ∵s,t,p 成等比数列,∴t =sp, 2 ∴(t﹣1) =(s﹣1) (p﹣1) , 2 化简得 s+p=2t,联立 t =sp,得 s=t=p. 这与题设矛盾. 故不存在三项 as+1﹣1,at+1﹣1,ap+1﹣1 成等比数列,且 s,t,p 也成等比数列. 点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “累加求和” ,考查 了反证法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
2 2

20.已知函数 f(x)=lnx﹣ ax +x. (1)若 f(1)=0,求函数 f(x)的单调减区间; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≤ax﹣1 恒成立,求整数 a 的最小值; (3)若 a=﹣2,正实数 x1,x2 满足 f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥ .

考点: 函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)利用 f(1)=0,确定 a 的值,求导函数,从而可确定函数的单调性; (2)构造函数 F(x)=f(x)﹣ax+1,利用导数研究其最值,将恒成立问题进行转化, (3)将代数式 f(x1)+f(x2)+x1x2 放缩,构造关于 x1+x2 的一元二次不等式,解不等式即 可. 解答: 解: (1)∵f(x)=lnx﹣ ax +x,f(1)=0, ∴a=2,且 x>0. ∴f(x)=lnx﹣x +x,
19
2 2



=



当 f′(x)<0,即 x>1 时,函数 f(x)的单调递减, ∴函数 f(x)的单调减区间(1,+∞) . (2)令 F(x)=f(x)﹣ax+1=lnx﹣ ax +(1﹣a)x+1,则
2

F′(x)= ﹣ax+1﹣a=﹣

=﹣a

, >0,不符合题意,

当 a≤0 时,在(0,+∞)上,函数 F(x)单调递增,且 F(1)=2﹣ 当 a>0 时,函数 F(x)在 x= 时取最大值,F( )=ln + 令 h(a)=ln + = ,

,则根据基本函数性质可知,在 a>0 时,h(a)单调递减, <0,

又∵h(1)= >0,h(2)= ∴符合题意的整数 a 的最小值为 2. (3)∵a=﹣2,

∴f(x)=lnx+x +x, 2 2 ∴f(x1)+f(x2)+x1x2=lnx1+x1 +x1+lnx2+x2 +x1x2+x2 2 =(x1+x2) +x1+x2+lnx1x2﹣x1x2 令 g(x)=lnx﹣x,则 g′(x)= ,

2

∴0<x<1 时,g′(x)>0,g(x)单调递增, x>1 时,g′(x)<0,g(x)单调递减, ∴g(x)max=g(1)=﹣1, 2 ∴f(x1)+f(x2)+x1x2≤(x1+x2) +(x1+x2)﹣1, 2 即(x1+x2) +(x1+x2)﹣1≥0, 又∵x1,x2 是正实数, ∴x1+x2≥ .

点评: 本题考查了函数性质的综合应用,属于难题. 四、附加题部分本试卷共 2 页,均为解答题(第 21 题~第 23 题,共 4 题).本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回..【选做题】本题包 括 A,B,C,D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.选修 4-1:几何证明选讲 21.如图,⊙0 是△ABC 的外接圆,AB=AC,延长 BC 到点 D,使得 CD=AC,连结 AD 交⊙O 于 点 E.求证:BE 平分∠ABC

20

考点: 弦切角. 专题: 选作题;立体几何. 分析: 要想得到 BE 平分∠ABC,即证∠ABE=∠DBE,由已知中 AB=AC、CD=AC,结合圆周角 定理,我们不难找出一系列角与角相等关系,由此不难得到结论. 解答: 证明:因为 CD=AC,所以∠D=∠CAD.…(2 分) 因为 AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.…(4 分) 因为∠EBC=∠CAD,所以∠EBC=∠D.…(6 分) 因为∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠EBC,…(8 分) 所以∠ABE=∠EBC,即 BE 平分∠ABC.…(10 分) 点评: 要证明一条射线平分一个角,关键是要根据图形分析,是哪两个角是相等的,然后 根据已知条件, 分析图形中角与角之间的关系, 并找出他们与要证明相等的两个角之间的关 系,然后进行转化,得到答案. 选修 4-2:矩阵与变换 22.已知 a,b∈R,矩阵 b 的值. 考点: 几种特殊的矩阵变换. 专题: 矩阵和变换. 分析: 本题可以利用矩阵变换得到变换前后点的坐标关系,再代入到直线方程 x﹣y﹣1=0 中,得到关于 a、b 的等式,解方程组求出 a,b 的值,得到本题结论. 解答: 解:设直线 x﹣y﹣1=0 上任意一点 P(x,y)在变换 TA 的作用下变成点 P'(x',y') , ∵ , 所对应的变换 TA 将直线 x﹣y﹣1=0 变换为自身,求 a,





∵P'(x',y')在直线 x﹣y﹣1=0 上, ∴x'﹣y'﹣1=0, 即(﹣1﹣b)x+(a﹣3)y﹣1=0, 又∵P(x,y)在直线 x﹣y﹣1=0 上, ∴x﹣y﹣1=0. ∴ ,

∴a=2,b=﹣2.

21

点评: 本题考查了矩阵变换与曲线方程的关系,本题难度不大,属于基础题. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23.己知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,圆 C 的参数方程为 . (a ,求

>0.θ为参数) ,点 P 是圆 C 上的任意一点,若点 P 到直线 l 的距离的最大值为 a 的值.

考点: 参数方程化成普通方程;直线的参数方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 本题可以通过消参法得到直线和圆的普通方程,再利用点到直线的距离公式求出点 P 到直线 l 的距离,由于点 P 到直线 l 的距离的最大值为 而求出 a 的值,得到本题结论. 解答: 解:∵直线 l 的参数方程为 , ,故可得到本应的等式,从

消去参数 t,得直线 l 的普通方程为 y=2x+1. 又∵圆 C 的参数方程为 ∴圆 C 的普通方程为 x +y =a . ∵圆 C 的圆心到直线 l 的距离 故依题意,得 , ,
2 2 2

(a>0,θ为参数) ,

解得 a=1. 点评: 本题考查了参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离公式,本题难度不大,属 于基础题. 选修 4-5:不等式选讲 24.若 a>0,b>0,且 + = ,求 a +b 的最小值.
3 3

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: a>0,b>0,利用基本不等式可得 式的性质即可得出. 解答: 解:∵a>0,b>0, ∴ = + ≥ , 时取等号. , = + ≥ ,ab≥2.对 a +b 利用基本不等
3 3

∴ab≥2.当且仅当 ∴a +b
3 3



22

∴a +b 的最小值为 . 点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 八、 【必做题】第 22 题、第 23 题.每题 10 分.共计 20 分.请在答题卡指定区毕内作答.解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25. 某校开设 8 门校本课程, 其中 4 门课程为人文科学, 4 门为自然科学, 学校要求学生 在 高中三年内从中选修 3 门课程,假设学生选修每门课程的机会均等. (1)求某同学至少选修 1 门自然科学课程的概率; (2)已知某同学所选修的 3 门课程中有 1 门人文科学,2 门自然科学,若该同学通过人文 科学课程的概率都是 ,自然科学课程的概率都是 ,且各门课程通过与否相互独立.用ξ 表示该同学所选的 3 门课程通过的门数,求随机变量ξ的概率分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量及 其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)记“某同学至少选修 1 门自然科学课程”为事件 A,由对立事件概率计算公式 能求出该同学至少选修 1 门自然科学课程的概率. (2)随机变量ξ的所有可能取值有 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出随机变 量ξ的概率分布列和数学期望. 解答: 解: (1)记“某同学至少选修 1 门自然科学课程”为事件 A, 则 ,…(2 分)

3

3

所以该同学至少选修 1 门自然科学课程的概率为

.…(3 分)

(2)随机变量ξ的所有可能取值有 0,1,2,3.…(4 分) 因为 , , 分) 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以 .…(10 分) , ,…(8

点评: 本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识,考查运用概率统计 知识解决简单实际问题的能力,考查数据处理能力.

23

26.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为 x=﹣ ,过点 M (0,﹣2)作抛物线的切线 MA,切点为 A(异于点 O) .直线 l 过点 M 与抛物线交于两点 B, C,与直线 OA 交于点 N. (1)求抛物线的方程; (2)试问: 的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.

2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由抛物线的准线方程可得 p,进而得到抛物线方程; (2)求出函数 y=﹣ 的导数,求出切线的斜率,以及切线方程,联立切线方程和抛物线 方程求得切点 A, 进而直线 OA 的方程, 设出直线 BC 的方程, 联立抛物线方程运用韦达定理, 求出 N 的坐标,代入所求式子化简即可得到定值 2. 解答: 解: (1)由题设知, 所以抛物线的方程为 y =x; (2)因为函数 的导函数为 ,
2

,即



设 A(x0,y0) ,则直线 MA 的方程为



因为点 M(0,﹣2)在直线 MA 上,所以﹣2﹣y0=﹣

?(﹣x0) .

联立

,解得 A(16,﹣4) ,

所以直线 OA 的方程为 设直线 BC 方程为 y=kx﹣2, 由 所以



,得 k x ﹣(4k+1)x+4=0, .

2 2

24



,得



所以





的为定值 2.

点评: 本题考查抛物线的方程和性质,考查直线方程和抛物线方程联立,运用韦达定理, 以及导数的运用:求切线方程,考查运算能力,属于中档题和易错题.

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