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【解析版】山东师范大学附属中学2013届高三第四次模拟测试 1月 理科数学


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【解析版】 山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测 试 1 月 理科数学
2013 年 1 月 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试 时间 120 分钟. 1. 本试卷涉计的内容: 集合与逻辑、基本初等函数(Ⅰ) (Ⅱ) 、导数及其应用、三 角函数、数列、不等式、向量、立体几何

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 3 1. 已知 ? 为第二象限角, sin ? ? ,则 sin 2? ? ( 5 24 12 12 24 A. ? B. ? C. D. 25 25 25 25
【答案】A 【 KU5U 解 析 】 因 为



? 为 第 二 象 限 角 , 所 以 cos ? ? ?

4 , 所 以 5

3 4 24 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? ? (? ) ? ? ,选 A. 5 5 25
2.设全集 U ? R, A ? {x | 2
x? x ? 2?

? 1}, B ? {x | y ? ln ? 1? x ? },则右图中阴影部分表示的集

U

合为(

) B. {x |1 ? x ? 2} D. {x | x ? 1}

A. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} 【答案】B 【KU5U 解析】 A ? {x | 2

x? x ? 2?

? 1} ? {x x( x ? 2) ? 0} ? {x 0 ? x ? 2} ,

B ? {x | y ? ln ?1 ? x ?} ? {x 1 ? x ? 0} ? {x x ? 1} , 图中阴影部分为集合 A ? (? U B) ,所以 ? U B ?? { x x ? 1},所以 A ? (? U B ) ? {x 1 ? x ? 2} ,选 B.
3.已知各项均为正数的等比数列{ an }中, a1a2 a3 ? 5, a7 a8a9 ? 10, 则 a4 a5 a6 ? ( A. 5 2
第 1 页 共 12 页

)

B.7

C.6

D.4 2

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【答案】A

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【 KU5U 解 析 】 由 a1a2 a3 ? 5, a7 a8a9 ? 10, 得 a2 ? 5, a8 ? 10, 又 a4 a5 a6 ? a5 , 所 以
3 3 3

a23a83 ? 5 ?10 ? 50 ,即 a23a83 ? (a2 a8 )3 =a56 ? 50 ,所以 a53 ? 50 ? 5 2 ,选 A.
4. 已知 a ? 21.2 , b ? ( ) ?0.8 , c ? 2log 5 2 ,则 a, b, c 的大小关系为( A. c ? b ? a 【答案】A 【 KU5U 解析】 a ? 21.2, b ? ( )? 0.8 ? 2 0.8 , c ? 2log5 2 ? log 5 4 ,因为 21.2 ? 2 0.8 ? 1,所以 B.

1 2

) D .

c?a?b

C.

b?c?a

b?a?c

1 2

a ? b ? 1 , c ? log5 4 ? 1 ,所以 a, b, c 的大小关系为 a ? b ? c ,选 A.
5.已知某几何体的三视图如图,其中正 (主)视图中半圆的半径为 1,则该几何体的体积为 ( )

A. 24 ?

3? 2

B. 24 ?

?
3

C. 24 ? ?

D. 24 ?

?
2

【答案】A 【KU5U 解析】由三视图可知该几何体是一个长方体去掉一个半圆柱。长方体的长宽高分别 为 3,2,4. 所以长方体的体积为 3? 2 ? 4 ? 24 。半圆柱的高为 3 ,所以半圆柱的体积为

1 3? 3? ,所以几何体的体积为 24 ? ,选 A. ?? ? 3 ? 2 2 2
A.

6.正六棱柱的底面边长为 4,高为 6,则它的外接球的表面积为

20?

B.

25?

C.

100?

D.

200?

【答案】C

第 2 页 共 12 页

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【KU5U 解析】

由图象可知正六棱柱的对角线 BC 即为外接球的
2 2

直径,因为底面边长为 4,所以 AB ? 8 ,所以 BC ? 8 ? 6 ? 100 ? 10 ,即 2R ? 10 , 解得外接球的半径 R ? 5 ,所以外接球的表面积为 4? R ? 4? ? 25 ? 100? ,选 C.
2

?x ? y ? 5 ? 0 ? 7.已知 x、y 满足 ? x ? 3 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为( ?x ? y ? 0 ?
A. 5 【答案】D B. -5 C . 6 D. -6

)

【 KU5U 解 析 】 做 出 可 行 域 如 图 :

由 z ? 2x ? 4 y , 得

1 z 1 z 1 z 平移直线, 由图象可知当直线 y ? ? x ? 经过点 C 时, 直线 y ? ? x ? y ? ? x? , 2 4 2 4 2 4
的截距最小, 此时 z 最小。 C 点坐标为 (3, ?3) , 代入 z ? 2 x ? 4 y 得 z ? 2 ? 3 ? 4 ? (?3) ? ?6 , 选 D. 8.为了得到函数 y ? sin(2 x ? A.向左平移

?
3

) 的图象,只要将 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点(

)

1 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 3 2 ? B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 1 ? C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 6 2

第 3 页 共 12 页

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D.向左平移 【答案】A 【KU5U 解析】 y ? sin x 向左平移

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? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6

y ? sin(2 x ? ) 1 3 ,所以选 A. 倍,纵坐标不变,得到函数 2 5? ? 9.已知 ? >0, 0 ? ? ? ? ,直线 x = 和 x = 是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图象的两条相邻 4 4 的对称轴,则 ? =( ) ? ? ? 3? A . B . C . D . 4 4 3 2
短到原来的 【答案】A 【KU5U 解析】由题意可知

? ? 个单位得到 y ? sin( x ? ) ,再把所得各点的横坐标缩 3 3 ?

T 5? ? 2? ? ? ? ? ,所以函数的周期为 T ? 2? 。即 T ? ? 2? , 2 4 4 ?

所以 ? ? 1 , 所以 f ( x) ? sin( x ? ? ) , 所以由 f ( ) ? sin( 所以 ? ?

?

?

?
4

? 2k? ,所以当 k ? 0 时, ? ?

?
4

4

4

即 ? ?) ? 1 ,

?

4

?? ?

?

2

? 2 k? ,

,所以选 A. )

10.若正数 x, y 满足 x ? 3 y ? 5xy ,则 3x ? 4 y 的最小值是( A.

24 5

B.

28 5

C. 5

D. 6

【答案】C 【KU5U 解析】由 x ? 3 y ? 5xy ,可得

x 3y 1 3 1 3 ? ? 1 。则 ? ? 5 ,即 ? ? 5 ,所以 5 y 5x xy xy y x

3x ? 4 y ? (3x ? 4 y )(
C. 11.函数 y ? ln

1 3 9 4 3x 12 y 13 3x 12 y 13 12 ? )? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? 5 ,选 5 y 5x 5 5 5 y 5x 5 5 y 5x 5 5

e x ? e? x 的图象大致为( e x ? e? x

)

【答案】C
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【KU5U 解析】由

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e x ? e? x ? 0 得 e x ? e? x ? 0 ,即 e x ? e? x ,所以 x ? ?x ,解得 x ? 0 ,排 x ?x e ?e

除 A,B. 又因为

e x ? e? x e x ? e? x ,所以 y ? ln ? 0 ,选 C. ? 1 e x ? e? x e x ? e? x


12.设 m, n 是空间两条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列选项中不正确 的是( ... A.当 n ? ? 时, “ n ? ? ”是“ ? ∥ ? ”成立的充要条件 B.当 m ? ? 时, “ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件 D.当 m ? ? 时, “ n ? ? ”是“ m ? n ”的充分不必要条件 【答案】C C.当 m ? ? 时, “ n / /? ”是“ m // n ”的必要不充分条件

【KU5U 解析】C 中,当 n / /? 时,直线 m, n 的位置关系可能平行,可能异面。若 m // n ,则

n / /? 或者 n ? ? ,所以 n / /? 是 m // n 的既不充分也不必要条件,所以选 C.

山东师大附中 2010 级高三第四次模拟考试 数学(理工类)
第 II 卷(共 90 分)
二填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上)
13.设函数 f1 ? x ? ? 2013 年 1 月

x x x , f2 ? x ? ? f ? f1 ? x ? ? ? , f3 ? x ? ? f ? f 2 ? x ?? ? ? ? ? ? 1? | x | 1? 2 | x | 1? 3 | x |

?? 当 n ? 2 时, f n ? x ? ? f ? ? f n ?1 ? x ? ? ??
【答案】

fn ? x ? ?

x 1? n | x | fn ? x ? ? x 1? n | x | 。

【KU5U 解析】由归纳推理可知

14.设函数 f ? x ? 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x ? [0,1] 时, f ? x ? ? x ? 1 , 则 f ? 2013.5 ? =_______________. 【答案】 1.5 【KU5U 解析】因为函数的周期为 2,所以 f ? 2013.5 ? ? f (?0.5) ? f (0.5) ? 0.5 ? 1 ? 1.5 。 15.已知 ?ABC 中 AC ? 4, AB ? 2 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,
第 5 页 共 12 页

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???? ??? ?

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若 G 为 ?ABC 的重心,则 AG ? BC ? 错误!未找到引用源。 【答案】4

【KU5U 解析】

,设 BC 的中点为 D,因为 G 为 ?ABC 的重心,所



??? ? ??? ? ??? ? ???? 2 ???? 2 1 ??? ? ???? 1 ??? ? ???? AG ? AD ? ? ( AB ? AC ) ? ( AB ? AC ) , BC ? AC ? AB , 所 以 3 3 2 3 ???? 2 ???? ??? ? 1 ??? ? ???? ??? ? ???? 1 ??? ? 2 ???? 2 1 AG ? AD?BC ? ( AB ? AC )? ( AB ? AC ) ? ( AB ? AC ) ? (42 ? 22 ) ? 4 。 3 3 3 3

16. 已 知 函 数 f ( x) 的 导 函 数 为 f ' ? x ? , 且 满 足 f ? x ? ? 2 xf ' ?1? ? ln x , 则 f ? x ? 在 点

M (1, f ? 1 处的切线方程为 ?)
【答案】 x ? y ? 1 ? 0 【KU5U 解析】函数的导数为 f '( x) ? 2 f '(1) ?

1 ,令 x ? 1 ,所以 f '(1) ? 2 f '(1) ? 1 ,解得 x
,所以

1 ? ?ln x ? ? 2 x ?ln x f '(1) ? ?1 ,即 f ?x ? ? 2xf ' ?

f (1) ? ?2 ? ln1 ? ?2

,所以在点

M (1, ?2) 处的切线方程为 y ? (?2) ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 1 ? 0 。
三解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b sin A ? 3a cos B . (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3,sin C ? 2sin A ,求 a, c 的值.

18.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos( ? x) cos( ? x) ? sin x cos x ? (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和最大值; (2)求函数 f ? x ? 单调递增区间

π 3

π 3

1 4

第 6 页 共 12 页

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19.(本题满分 12 分) 已知球的直径为 10cm ,求它的内接圆锥体积的最大值,并求出此时圆锥的底面半径和高.

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,且 a1 ? b1 ? 2 , b4 ? 54 ,

a1 ? a2 ? a3 ? b2 ? b3 .
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式 (2)数列 {cn } 满足 cn ? anbn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n .

21.(本题满分 12 分) 四棱锥 P ? ABCD 底面是平行四边形,面 PAB ? 面 ABCD ,

PA ? PB ? AB ?

1 AD , ?BAD ? 600 , E , F 分别为 AD, PC 的中点. 2

(1)求证: EF / /面PAB (2)求证: EF ? 面PBD (3)求二面角 D ? PA ? B 的余弦值
P F B

C

A

E

D

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22.(本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ? ?1 ? a ? x ?

1 2 x ,a?R 2

(1)当 0 ? a ? 1时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)已知 f ? x ? ? 0 对定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的范围.

山东师大附中 2010 级高三第四次模拟考试 数学(理工类)
一选择题(每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 A 5 A 6 C 7 D 8 A 9 A 10 C 11 C 12 C 2013 年 1 月

二填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上)
13. f n ? x ? ?

x 1? n | x |

14.

3 2

15. 4

16. x ? y ? 1 ? 0

三解答题
17.【解析】 (1)? b sin A ? 3a cos B ,由正弦定理得 sin B sin A ? 3 sin A cos B --3 分 即得 tan B ? 3 ,? B ?

?
3

.---------------------------------------------------6 分

(2)?sin C ? 2sin A ,由正弦定理得 c ? 2a ,-------------------------8 分 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 9 ? a ? 4a ? 2a ? 2a cos
2 2 2

2

2

?

3

,---------10 分

解得 a ? 3 ,? c ? 2a ? 2 3 .-----------------------------------------12 分稿源:konglei 18【解析】 : (Ⅰ)? f ( x) ? cos( ? x) cos( ? x) ?

π 3

π 3

1 1 sin 2 x ? 2 4 --------1 分

1 3 1 3 1 1 2分 ? ( cos x ? sin x)( cos x ? sin x) ? sin 2 x ? 2 2 2 2 2 4 ----------

1 3 1 1 1 ? cos 2 x 3 ? 3cos 2 x 1 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? ? ? ? sin 2 x ? ----4 分 4 4 2 4 8 8 2 4

?

2 ?? 1 ? cos ? 2 x ? ? ------------------6 分 (cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 4? 2 ?

函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? ? ,-------------------7 分

第 8 页 共 12 页

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函数 f ( x ) 的最大值为

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2 -------------8 分 2

(II)由 2k? ? ? ? 2 x ? 得 k? ? ? ? x ? k? ?

?
4

? 2k? , k ? z ------------------10 分

5 8

?
8

, k ? z ------------------------11 分
5? ? , k? ? ], k ? z ------------12 分 8 8
2 2 2 2 2

函数 f ( x ) 的 单调递增区间为 [k? ?

19【解析】设圆锥的底面半径为 r ,高为 h ,则 ? h ? 5 ? ? r ? 5 ? r ? 10h ? h ----2 分

1 ? ? V锥 = ? r 2 h ? h ?10h ? h2 ? ? ?10h2 ? h3 ? --------------------5 分 3 3 3

V '? h? ?
h?

?

? 20h ? 3h ? ? h ? 20 ? 3h ? , 令V ' ? h ? ? 0 , ? 3 3
2

20 ,------------7 分 3

? 20 ? ? 20 ? h ? ? 0, ? ,V ' ? h ? ? 0; h ? ? ,10 ? , V ' ? h ? ? 0 ? 3 ? ? 3 ? 20 ? 20 ? ? 20 ? V ? h ? 在 ? 0, ? ? ,在 ? , 10 ? ? ;当h ? 时,V ? h ? 最大 3 ? 3 ? ? 3 ?
---9 分

Vmax ?

4000? ,----------------------11 分 81
20 10 2 ,r ? --------------------------12 分 3 3

此时 h ?

20. 【解析】 : (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q 由 b4 ? b1q 3 ,得 q 3 ?
54 ? 27 ,从而 q ? 3 2

因此 bn ? b1 ? q n?1 ? 2 ? 3 n?1

???????????????3 分

又 a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? b2 ? b3 ? 6 ? 18 ? 24 ,? a2 ? 8 从而 d ? a2 ? a1 ? 6 ,故 a n ? a1 ? ( n ? 1) ? 6 ? 6n ? 4 ???????????6 分 (Ⅱ) c n ? a n bn ? 4 ? ( 3n ? 2) ? 3
0 1 2 n ?1

令 Tn ? 1 ? 3 ? 4 ? 3 ? 7 ? 3 ? ? ? ( 3n ? 5) ? 3

n? 2

? ( 3n ? 2) ? 3 n ? 1

3Tn ? 1 ? 31 ? 4 ? 3 2 ? 7 ? 3 3 ? ? ? ( 3n ? 5) ? 3 n?1 ? ( 3n ? 2) ? 3 n ?????9 分
第 9 页 共 12 页

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两式相减得

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? 2Tn ? 1 ? 3 ? 31 ? 3 ? 3 2 ? 3 ? 3 3 ? ? ? 3 ? 3 n?1 ? ( 3n ? 2) ? 3 n ? 1 ? 3 ? 9(3n ?1 ? 1) ? (3n ? 2) ? 3n 2
,又 Sn ? 4Tn ? 7 ? (6n ? 7) ? 3
n

3( 3 n?1 ? 1) 3?1

? ( 3n ? 2) ? 3 n ? 1 ?
?Tn ?

7 3n (6n ? 7) ? 4 4

?????????12 分

20【解析】 (1) 取PB的中点,连FG,由题设FG / / BC , FG ?
P

1 BC -----1 分 2
F

1 ? AE / / BC , AE ? BC ? FG / / AE 2
AEFG是平行四边形 ,所以 EF / / AG ---2 分
AE ? 面PAB, EF ? 面PAB ? EF / /面PAB
------------------------4 分
A

G
B

C

(2) ? ?PAB是等边三角形,AG ? PB ----------------①

E

D

?ABD中,AD ? 2 AB, ?BAD ? 600 ,由余弦定理 BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 600 ? AD 2 ? AB 2 ??ABD ? 90
0

所以 BD ? AB -------6 分

面PAB ? 面ABCD, BD ? AB ? DB ? 面PAB

DB ? AG -----------------------②--------------------------------------------------7 分
由 ①②可知, AG ? PB, AG ? BD ? AG ? 面PBD

又EF / / AG,? EF ? 面PBD -----------------------------------------------9 分
(3)取 PA 的中点 N , 连BN , DN
P F

?PAB是等边三角形? BN ? PA
? Rt ?PBD ~Rt ?ABD ? PD ? AD

N

B

C

? AN ? PB ?ANB ? ? 是二面角 D ? PA ? B
的平面角 ----------------------------11 分 由 (2)知 BD ? 面PAB, BD ? BN
A E D

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在Rt?DBN中,BD ? 3 AB ? 2 BN

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tan ? ?

BD 5 5 ? 2, cos ? ? 即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 ---------------12 分 BN 5 5

解法二 (1)

?ABD中,AD ? 2 AB, ?BAD ? 600 ,由余弦定理 BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 600 ? AD 2 ? AB 2 ??ABD ? 900
所以 BD ? AB

面PAB ? 面ABCD, BD ? AB ? DB ? 面PAB
建系 {BA, BD, z} 令 AB ? 2

z

??? ? ??? ?

A ? 2, 0, 0 ? , D 0, 2 3, 0 , P 1, 0, 3 , C ?2, 2 3, 0

?

? ?

? ?

?

P F B

??? ? 1 ??? ? ???? 1 3 EF ? AP ? DC ? ?3, 0, 3 ? ? 3, 0,1 2 2 2 ?? ? 因为平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1, 0 ?

?

? ?

?

?

?

C

??? ? ?? ? EF ? n2 ? 0 ? EF / / 面PAB
??? ? ??? ? (2) BD ? 0, 2 3, 0 , BP ? 1, 0, 3

?

?

?

?

x

A

E

D

y

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? EF ? BD ? 0, EF ? BP ? 0
??

EF ? BD, EF ? BP ? EF ? 面PBD
??? ? AP ? ?1 , 0 ,

(3) 设平面 PAD 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ?

?

?3, AD ? ? ?2, 2

????

3, 0

?

?? ??? ? ?? ? n ? AP ? ? x ? 3z ? 0 ? 1 n x ? 3 令 所以 ?? ???? ? 1 ? n ? AD ? ? 2 x ? 2 3 y ? 0 ? ? 1 ?? ? 平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1, 0 ?

?

3,1,1

?

?? ?? ? 5 1 cos ? n1 , n2 ?? ,即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 5 5
22【解析】 : f ??x ? ?

a x 2 ? ?1 ? a ?x ? a ?x ? 1??x ? a ? ? x ? ?1 ? a ? ? ? x x x -----2 分

(Ⅰ)当 0 ? a ? 1 时, f ??x ?、f ?x ? 的变化情况如下表:
x

?0,a ?

a

?a,1?

1

?1, ? ??

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f ?? x ?

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0 极小值 + 单调递增

+ 单调递增

0 极大值

f ?x ?

单调递减

所以函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ?0, a ?, ?1,?? ? ,单调递减区间是 ?a,1? ??????6 分 (Ⅱ)由于 f ?1? ? ? 是恒成立的,

1 ? a ,显然 a ? 0 时, f ?1? ? 0 ,此时 f ?x ? ? 0 对定义域内的任意 x 不 2
----------------------------------9 分

? ? ? 的极小值、也是最小值即是 f ?1? ? ? 当 a ? 0 时,易得函数 f ? x ? 在区间 ?0,
时只要 f ?1? ? 0 即可,解得 a ? ?

1 ? a ,此 2

1? 1 ? ,?实数 a 的取值范围是 ? - ?, - ? .-----------14 分 2? 2 ?

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