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湖北省襄阳四中2014年5月高三冲刺模拟一理科数学试题


湖北省襄阳四中 2014 年 5 月高三冲刺模拟一理科数学试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) i3 1、复数 z ? (其中 i 为虚数单位) ,则下列说法中正确的是( 1? i
A.在复平面内复数 z 对应的点在第一象限 C.若复数 z1 ? z ? b(b ? R ) 为纯虚数,则 b ? ? 2、设全集 U ? {x ? Z 则M ?( ) A. {1, 2,3} )

B.复数 z 的共轭复数 z ? ?

1 i ? 2 2

1 2

D.复数 z 的模 | z |?

1 2

6 ? 1}, M ? N ? {1, 2}, CU ( M ? N ) ? {0}, (CU M ) ? N ? {4,5} , x ?1
C. {1, 2} D. {?1,1, 2}

B. {?1,1, 2,3}

3、如果满足 ?ABC ? 60? , AC ? 12 , BC ? k 的△ ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围 是 ( ) A. k ? 8 3 B. 0 ? k ? 12 C. k ? 12 D. 0 ? k ? 12 或 k ? 8 3 4、 已知一个空间几何体的三视图如图所示, 且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上, 则球的表面积是( ) 49 7 A. ? B. ? 9 3 28 28 C. ? D. ? 3 9

5、如图,在△ABC 中, AN ? m 的值为( ) B.

????

??? ? ??? ? 2 ???? 1 ???? NC ,P 是 BN 上的一点,若 AP ? m AB ? AC ,则实数 3 9
D.3

1 A. 9

1 3

C.1

25 (t 1? t 的单位: s , v 的单位: m / s )行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位; m )是
6、一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v ? t ? ? 7 ? 3t ? ( ) B. 8 ? 25ln A. 1 ? 25ln 5

11 3

C. 4 ? 25ln 5

D. 4 ? 50ln 2

7、2013 年 11 月 24 日,伊朗与伊朗核谈判六国(美国、英国、法国、俄罗斯、中国和德国) 在瑞士日内瓦达成阶段性协议,会后六国外长合影留念,若中俄两国外长表示友好要相邻 排列,且均不与美国外长相邻,则不同的站位种数为( ) A. 48 B. 72 C. 144 D. 168 8、将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成 1000 个同样大小的小正方体。经过搅拌后, 从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为 X ,则 X 的均值为 E ? X ? ? ( A. )

27 125

B.

6 5

C.

51 125

D.

3 5

9、过椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH(H 为垂足) ,延长 3 2

PH 到点 Q,使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点 P 在椭圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹的离心率的取值 范围为( )

3 3 3 3 C. ( D. [ ,1) ,1) , ] 2 3 3 2 10.若对于定义在 R 上的函数 f ( x ) ,其图象是连续不断的,且存在常数 ? ( ? ? R )使得 f ( x ? ? ) ? ? f ( x) ? 0 对任意实数 x 都成立,则称 f ( x) 是一个“ ? —伴随函数”. 有下列关 于“ ? —伴随函数”的结论: ① f ( x) ? 0 是常数函数中唯一个“ ? —伴随函数”; ② f ( x) ? x 不是“ ? —伴随函数”; 1 ③ f ( x) ? x2 是一个“ ? —伴随函数”; ④“ —伴随函数”至少有一个零点. 2
A. (0,

3 ] 3

B. (

其中正确结论的个数是 ( A.1 个 B.2 个

) C.3 个 D.4 个

二、填空题(本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
(一)必考题(11-14 题) 11.直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 ? ,则 值为 . .

1 的 sin ? ? 2 cos 2 ?
2

12. 某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出 S 的值是

? ? ? ? ?y ? 0 ?y ? t ? ? ? ? ? ? 13. M ? ?( x, y ) | ? x ? 0 ? , N ? ?( x, y ) | ? x ? 3 ?, ? ? x ? y ? 5 ? 0? ? ? x ? y ? 5 ? 0? ? ? ? ? ? ?

( x, y) ? M ? N , 当 2 x ? y 取 得 最 大 值 时 , ( x, y) ? N , ( x, y) ? M ,则实数 t 的取值范围是 .

14. 数 列 {2n ?1} 的 前 n 项 组 成 集 合 An ? {1,3,7,?, 2n ?1} , 从 集 合 An 中 任 取 k ( 1, 2,?, n )个数,其所有可能的 k 个数的乘积的和为 Tk (若只取一个数,则规定乘积为 此数本身) ,记 Sn ? T1 ? T2 ? ? ? Tn .例如: 当 n ? 1 时, A 1 ? {1}, T 1 ? 1, S1 ? 1 ; 当 n ? 2 时, A2 ? {1,3}, T1 ? 1 ? 3, T2 ? 1? 3, S2 ? 1 ? 3 ? 1? 3 ? 7 . 则(1) S3 ? ; (2) Sn ? . (二)选考题(在第 15、16 两题中任选一题作答) 15. (选修 4—1:几何证明选讲) 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 交于点 E,过点 A 作圆的切线与 CD 的延长线交 于点 F,如果 DE ?

3 CE , AC ? 8 5 ,D 为 EF 的中点,则 AB= 4



16. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xoy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线

? ( 2 cos? ? sin ? ) ? 2a ? 0 与曲线 ?
则实数 a 的取值范围为 .

? x ? sin ? ? cos ? ( ? 为参数)有两个不同的交点, ? y ? 1 ? sin 2?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)
17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 cos( 2 x ?

2? ? ) ? 2 sin 2 ( x ? ) ,钝角 ⊿ABC(角 A、B、C 所对的边 .. 3 12

长分别为 a、b、c)的角 B 满足 f ( B) ? 1 . (1)求函数 f(x)的单调递增区间;] (2)若 b ? 3, c ? 3 3 ,求 B 、 a .[ 18.(本小题满分 12 分) 将各项均为正数的数列 ?an ? 排成如下所示的三角形数阵(第 n 行有 n 个数,同一行中,下 标小的数排在左边) 。 bn 表示数阵中,第 n 行、第 1 列的数。已知数列 ?bn ? 为等比数列,且 从第 3 行开始,各行均构成公差为 d 的等差数列(第 3 行的 3 个数构成公差为 d 的等差数 列;第 4 行的 4 个数构成公差为 d 的等差数列,……) , a1 ? 1 , a12 ? 17 , a18 ? 34 。 (1)求数阵中第 m 行、第 n 列的数 A(m , 。 n) (用 m 、 n 表示) (2)求 a2014 的值;

a1 a2 a4 a7
… … …

a3 a5 a6 a9


a8

a10


19.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D 是棱 CC1 上的一点, P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点,且 PB1 ∥平面 BDA1 . (1)求证:CD=C1D (2)求二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值; (3)求点 C 到平面 B1DP 的距离
B D A C

A1 C1

P

B1

20.(本小题满分 12 分) 某公司为了实现 2015 年 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案: 销售利润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金数额 y (单位:万元)随销售利润 x (单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过 5 万元,同时奖金数额不超过利润的
x y1 ? 0.025x , y2 ? 1.003x , y3 ? log7 ? 1 ,问其中是否有模 600 4 型能完全符合公司的要求?说明理由. (参考数据: 1.003 ? 6 , 7 ? 2401 )

25%,现有三个奖励模型:

21.(本小题满分 13 分) 2 已知抛物线 y =6x 上的两个动点 A(x1, y1)和 B(x2, y2), 其中 x1 ? x2 且 x1 ? x2 ? 4 . 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C . (1)试证直线 AB 的垂直平分线经过定点。 (2)设 AB 中点为 M ( x0 , y0 ) ,求⊿ABC 面积的表达式,要求用 y0 表示。 (3)求⊿ABC 面积的最大值。

22.(本小题满分 14 分)

a ? ln x ? 1 , g ( x) ? (ln x ?1)e x ? x . x (1)求函数 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值; (2) 是否存在实数 x0 ? (0, e] , 使曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直?若存在,
已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 求出 x0 的值,若不存在,请说明理由;

1 1 1 n 1 en (3)求证: (1 ? ? ? ? ? ) ? ? ln[k (k ? 1)(k ? 2)] ? (n ? ) ? ln 2 3 n k ?1 4 n!
答案 选择题

(n ? N * )

CADCA
填空题

CCDDB
12、10 16、 ?0, ? 13、 t ? 4 14、 (1) 63 (2 分) (2) 2
n ( n ?1) 2

5 11、 2
15、24

? 1 (3 分)

? 1? ? 4?

三、解答题 17、

18、解答】 (1)设 ?bn ? 的公比为 q 。 依题意, a12 为数阵中第 5 行、第 2 列的数; a18 为数阵中第 6 行、第 3 列的数。 ∴ ∴ ∴

b1 ? 1 , bn ? qn ? 1 , a12 ? q4 ? d ? 17 , a18 ? q5 ? 2d ? 34 。……………
q ? 2 , d ? 1 , bn ? 2
n ?1

3分



?1 ………………… 6分 A( m,n )? mb ? ( n ? 1 ) d? m 2 ? n。 ?1 (2)由 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 62 ? 1953 ,1 ? 2 ? 3 ? ? ? 62 ? 63 ? 2016 , 2013 ? 1953 ? 60 知, a2014 为数阵中第 63 行,第 61 列的数。

………………… 12 分 a2013 ? 262 ? 60 。 19、解析: (1)连接 B1 A 交 BA1 于 O , ? B1P // 面BDA1 , B1P ? 面AB1P, 面AB1P ? 面BA1D ? OD, ? B1P // OD ,又 O 为 B1 A 的中点,? D为AP 中点,?C1为A1P , ??ACD ? ?PC1D ?C1D ? CD ,D 为 CC1 的中点。…………4 分 AH ? AD ,连接 BH , (2)由题意 AB ? AC, AB ? AA 1 ? AB ? 面AA1C1C ,过 B 作 则 BH ? AD ,? ? AHB 为二面角 A ? A1D ? B 的平面角。 ∴ 在 ?AA1 D 中, AA1 ? 1, AD ?

5 5 , , A1D ? 2 2

2 5 2 5 3 5 AH 2 , BH ? , cos ?AHB ? ? 5 ? …………8 分 则 AH ? 5 5 BH 3 5 3 5 1 1 (3)因为 VC ?B1PD ? VB1PCD ,所以 h ? S ?B1PD ? A1 B1 ? S ?PCD , A 1B 1 ?1 3 3 1 1 1 S?PCD ? S?PC1C ? S?PC1D ? ? ? , 2 4 4

9 5 ?5? 3 5 4 ? 2 5 ,sin ?DB P ? 5 , 在 ?B1 DP 中, B1 D ? , B1P ? 5, PD ? .cos ?DB1P ? 4 1 3 2 2 5 5 2? ? 5 2 1 3 5 3 1 ? S?B1PD ? ? ? 5 ? ? , h ? ………………… 12 分 2 2 5 4 3
20、解 : 由 题 意 , 符 合 公 司 要 求 的 模 型 只 需 满 足 : 当 x ∈ [ 10 , 1000 ] 时 ① 函 数 为 增 函 数 ; ② 函 数 的 最 大 值 不 超 过 5 ; ③ y≤x? 25% ( 1 ) y =0.025 x , 易 知 满 足 ① , 但 当 x >200 时 , y >5 不 满 足 公 司 要 求 ; …2 分 x ( 2 ) y =1.003 , 易 知 满 足 ① , 但 当 x >600 时 , y >6 不 满 足 公 司 要 求 ; …4 分
x y3 ? log7 ?1 易 知 满 足 ① , 当 x ∈ [10 , 1000] 时 , y3 ? log7 1000 ? 1 ? log7 2401 ? 1 ? 5 , 满 足 ② , ……… 7 分 1 1 1 1 x ? ? ? ?0 , 对 于 ③ , 设 F ? x ? ? log7 ? 1 ? 25%x , , F ? ? x ? ? x ln 7 4 10 ln 7 4 Fmax ? x ? ? F ?10? ? 0 ,满足条件③。…………11 分

( 3)

所以,只有 y3 ? log7 x ? 1 满 足 题 意 。 …………12 分

21、设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?

x1 ? x 2 y ? y2 ? 2, y 0 ? 1 , 2 2

y 2 ? y1 y ? y1 6 3 . ? 22 ? ? 2 x 2 ? x1 y 2 ? y1 y 0 y 2 y1 ? 6 6 y 线段 AB 的垂直平分线的方程是 y ? y 0 ? ? 0 ( x ? 2) . (1) 3 易知 x ? 5, y ? 0 是(1)的一个解,所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点, 且点 C 坐标为 (5,0) .………4 分 y 3 由(1)知直线 AB 的方程为 y ? y 0 ? (2) ( x ? 2) ,即 x ? 0 ( y ? y 0 ) ? 2 . 3 y0 k AB ?
2 (2)代入 y 2 ? 6 x 得 y 2 ? 2 y0 ( y ? y0 ) ? 12 ,即 y 2 ? 2 y0 y ? 2 y0 ? 12 ? 0 .

(3)

依题意, y1 , y2 是方程(3)的两个实根,且 y1 ? y2 ,
2 2 2 所以 ? ? 4 y0 ? 4(2 y0 ?12) ? ?4 y0 ? 48 ? 0 ,

? 2 3 ? y0 ? 2 3 .
AB ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

? (1 ? (

y0 2 ) )( y1 ? y 2 ) 2 3

? (1 ? ? (1 ?

2 y0 ) [y (1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] 9 2 y0 2 2 )(4 y0 ? 4(2 y0 ? 12)) 9

2 2 2 (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) . 3 定点 C (5,0) 到线段 AB 的距离 ?
2 h ? CM ? (5 ? 2) 2 ? (0 ? y 0 ) 2 ? 9 ? y 0 .

S ?ABC ?

1 1 2 2 2 AB ? h ? (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) ? 9 ? y0 …………8 分 2 3

?

2 2 2 ? 24 ? 2 y0 ? 9 ? y0 14 1 1 1 1 9 ? y0 2 2 2 7 (9 ? y0 )(24 ? 2 y0 )(9 ? y0 )? ( )3 ? 3 3 2 3 2 3

………………11 分
2 2 当且仅当 9 ? y0 ,即 y0 ? ? 5 , ? 24 ? 2 y0

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3 6 ? 35 6 ? 35 A( , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3 14 7 .……………13 分 所以, ?ABC 面积的最大值为 3 A(
22、解: (1)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??)

a x?a x?a ? ln x ? 1 ? 0? x?a ∴ f ?( x) ? 令 f ?( x )? 2 x x x2 ① 若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 (0, e] 上单调递增,此时, f ( x ) 无最小值; ② 若 0 ? a ? e ,则当 x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? [a, e] 时, f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x ) 在区间 (0, a ] 上单调递减,在区间 ( a, e] 上单调递增, ∴当 x ? a 时, f ( x ) 有最小值 ln a ; ③ 若 a ? e ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 (0, e] 上单调递减, a ∴当 x ? e 时, f ( x ) 有最小值 . e ? ? 不存在 , a ? 0 ? 综上: f ? x ? min ? ? ln a , 0 ? a ? e …………4 分 ? a ? , a?e ? e 1 x x (2) ∵ g ( x) ? (ln x ?1)e ? x ∴ g ?( x) ? ( ? ln x ? 1) ? e ? 1 x 1 由(1)可知:当 a ? 1 时, f ( x) ? ? ln x ? 1 在区间 (0, e] 上有最小值 ln1 ? 0 x 1 1 x ∴ f ( x) ? ? ln x ? 1 ? 0 ∴当 x0 ? (0, e] 时, g ?( x0 ) ? ( ? ln x0 ? 1) ? e 0 ? 1 ? 0 x x0 ∵曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直等价于:方程 g ?( x0 ) ? 0 有实数解, 而 g ?( x0 ) ? 0 即方程 g ?( x0 )? 0 无实数解,


f ( x) ?

故不存在实数 x0 ? (0, e] ,使曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直。……8 分 (3)由(1)可知:当 a ? 1 时, f ( x) ? 即 当 x ? 1 时,恒有

1 ? ln x ? 1 ? 0 对 ?x ? [0, ??) 恒成立, x

1 ? 1? l n x . . . . . . . . (*) x 1 取 x ? n (n ? N * ) ,得 ? 1 ? ln n n 1 1 1 en 1 ? ? ? ? ? ? n ? ln 1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? n ? ln n ! ? ln ∴ ? ? ? ? 2 3 n n! n 1 1 1 e 故 1 ? ? ? ? ? ? ln (n∈N*) 2 3 n n! 又 在(*)式中,取 x ? k ? k ? 1?? k ? 2? (k∈N*),得:

ln ? ? k ? k ? 1?? k ? 2 ? ? ? ? 1?


? ? 1 1 1 1 ? 1? ? ? ?? k ? k ? 1?? k ? 2 ? k k ? 1 k ? 1 k ? 2 ? ? ? ?? ? ? ? 2

1 ? ? n ] ( ) 2) 4 k ?1 1 1 1? n 1? en ? ? ? ? 故 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ln ? k ? k ? 1?? k ? 2 ? ? ? ? n ? ? ? ln (n∈N*) 2 3 n ? k ?1 4? n! ? ? 或:又 在(*)式中,取 x ? k (k ? 1)(k ? 2) (k ? N * ) , 得: ln[k (k ? 1)(k ? 2)] ? ln 6 ? ln e ? 1 n 1 ∴ ? ln[k (k ? 1)(k ? 2)] ? n ? (n ? ) 4 k ?1 [ ?l nk k (? 1k )?(
故 (1 ?

n

1 1 1 ? 2 )? n ] ? ? [ 2 2 n ( ? 1n )? (

1 1 1 n 1 en ? ? ? ? ) ? ? ln[k (k ? 1)(k ? 2)] ? (n ? ) ? ln (n∈N*)………14 分 2 3 n k ?1 4 n!


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