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高二数学(人教A版)《3.1.2导数的概念》导学案


§3.1.2 导数的概念
[自学目标]:
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 3.会求函数在某点的导数.

[重点]: 瞬时速度、瞬 时变化率的概念、导数的概念. [难点]: 导数的概念 [教材助读]:
1. 一般地,函数 y ? f ( x ) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是

我们称它为函数 y ? f ( x ) 在 x ? x0 处的

记作

即: 说明: (1)导数即为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率; (2) ?x ? x ? x0 ,当 ?x ? 0 时, x ? x0 ,所以 f ?( x0 ) ? lim [ 预习自测] 1、一铅球沿斜面自由滚下 ,其运动方程是 s(t ) ? t (s 的单位:m,t 的单位:s)则小球
2

?x ?0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

在 t=5 时的瞬时速度为

2、一物体的运动方程是 s(t ) ? 1 ? t ? t 求物体在 3s 末的瞬时速度.
2

请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来,待课堂 上与老师和同学探究解决。

[合作探究 展示 点评]
1

探究一:导数的定义 例 1 (1)求函数 y ? 3x 2 在 x ? 1 处的导数. ( 2)求函数 f ( x) ? ? x 2 ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求 ?f ? ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,再求

?y ?y ,最后求 lim ? x ? 0 ?x ?x

探究二:导数的应用 例 2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第

xh 时,原油的温度(单位: C )为 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) ,计算第 2 h 时和第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

[当堂检测]
2 1.质点运动规律为 s ? t ? 3 ,求质点在 t ? 3 的瞬时速度为.

2.求曲线 y ? f ( x) ? x 在 x ? 1 时的导数.
3

3.例 2 中,计算第 3h 时和第 5h 时,原油温度 的瞬时变化率, 并说明它们的意义.

2

[拓展提升]
2 1、一物体的运动方程是 s ? 3t 则在 t ? 2 时刻的瞬时速度 是(



A、3 B、4 C、7 2、根据导数的定义求下列函数的导数 (1) 求函数 y ? x2 ? 3 在 x ? 1 处的导数.

D、5

(2)求函数 y ?

1 在 x ? a(a ? 0) 处的导数. x

[课后作业]
1. 一质点运动的方程为 s ? 5 ? 3t 2 ,则在一段时间 ?1, 1 ?△t ? 内相应的平均速度为 A. 3△ t ? 6 B. ? 3△t ? 6 C. 3△ t ? 6 D. ? 3△t ? 6 2. 将半径为 R 的球加热,若球的半径增加△R,则球的体积增加△y 约等于 A.

4? 3 R △R 3

B. 4?R 2 △R

C. 4?R 2

D. 4?R△R

3. 已知函数 y ? x ? ? 1 的图象上一点(1,2)及邻近一点 ?1 ?△x, 2 ?△y ? ,则 A. 2 B. 2x C. 2+△x D. 2+△ x 2

△y 等于 △x

4. 自变量 x 0 变到 x 1 时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 A. 在区间 ?x 0 , x1 ? 上的平均变化率 B. 在 x 0 处的变化率 C. 在 x 1 处的变化量 D. 在区间 ?x 0 , x 1 ? 上的导数 5.若函数 f ?x ? 在 x ? a 处的导数为 A,求 lim

f ?a ?△x ? ? f ?a ?△x ? 。 △x ?0 2△x
3

7. 质点 M 按规律 v ? 3 ? 4 t 做直线运动,则质点的加速度 a=___________ 8. 下面说法正确的是 A. 若 f ??x 0 ? 不存在,则曲线 y ? f ?x ? 在点( x 0 , f ?x ? )处没有切线 B. 若曲线 y ? f ?x ? 在点( x 0 , f ?x 0 ? )处有切线,则 f ??x 0 ? 必存在 C. 若 f ??x 0 ? 不存 在,则曲线 y ? f ?x ? 在点( x 0 , f ?x 0 ? )处的切线斜率不存在 D. 若曲线 y ? f ?x ? 在点( x 0 , f ?x 0 ?)处没有切线,则 f ??x 0 ? 可能存在 9. 已知曲线 C: y ? x 3 。 (1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线方程 (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点?

10. 设 x 0 ? ?a , b ? , y ? f ?x ? 在 x 0 处可导是 y ? f ?x 0 ? 在(a,b)内可导的( A. B. C. D. 充分非必要条件 必要而非充分条件 充要条件 既非充分又非必要条件

)

14.过点(-1,0)作抛物线 y ? x 2 ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为( ) A. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. 3x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 15.若曲线 y ? x 4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直, 则 l 的方程是?

4


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