当前位置:首页 >> 数学 >>

2015年全国各地高考模拟数学试题汇编函数与方程及函数的应用(理卷A)


专题 2 不等式、函数与导数 第3讲 函数与方程及函数的应用(A 卷)

一、选择题(每题 5 分,共 50 分)
2 1. (2015·山东省实验中学第二次考试·6)若方程 x ? 4 x ? m 有实数根,则所有实数根

的和可能是(



? 4、 ?6 A. ?2、

? 5、 ?6 B. ?4、

? 4、 ?5 C. ?3、

? 6、 ?8 D. ?4、

2 . (2015 · 德 州 市 高 三 二 模 ( 4 月 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 · 10) 已 知 函 数

? ?? ? ?sin ? x ? ? 1, x ? 0 f ? x? = ? ? 2 ? ? a ? 0,且a ? 1? 的图象上关于 y 轴对称的点至少有 5 对,则 ?log ? ? x ? , x ? 0 ? a
实数 a 的取值范围是( ) A. ? 0,

? ? ?

5? ? 5 ? ?

B. ?

? 5 ? ? 5 ,1? ? ? ?

C. ?

? 7 ? ? 7 ,1? ? ? ?

D. ? 0,

? ? ?

7? ? 7 ? ?

3.(2015·山东省枣庄市高三下学期模拟考试·10)

4. ( 2015 · 山 东 省 潍 坊 市 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 · 9 )

5.(绵阳市高中 2015 届第三次诊断性考试·8)已知函数



出如下四个命题:

① f (x)在

上是减函数;



在 R 恒成么

③函数 y=f(x)图象与直线 其中真命题的个数为( (A)3 个 6.(2015.成都三诊·9) ) (B)2 个

有两个交点.

(C)1 个

(D)0 个

7.(2015·陕西省西工大附中高三下学期模拟考试·12)已知函数 f(x)=ax3-3x2+1, 若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是( )

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

8.(2015·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·15)

9 . (2015 · 日 照 市 高 三 校 际 联 合 5 月 检 测 · 10) 在 ?1, ?? ? 上 的 函 数 f ? x ? 满 足 : ① ;②当 2 ? x ? 4 时, f ? x ? ? 1 ? ? x ? 3? .若 f ? x ? 图象上所 f ? 2 x? ? cf? x ? (c 为正常数)
2

有极大值对应的点均落在同一条直线上.则 c=(



A.1 或 或3

1 2

B.

1 或2 2

C. 1

D.1 或 2

10. (2015 · 山 东 省 实 验 中 学 高 三 第 三 次 诊 断 考 试 · 10) 已 知 函 数

?2 x ? 1 , ?x ? ? f ? x? ? ? ,? ? ? f ? x ? 2 ? ? 1? x

?0 1 ,把函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x 的偶数零点按从小到大的顺序 2 ?0

排列成一个数列,该数列的前 n 项的和 Sn,则S10 = A.45 D.110 二、非选择题(50 分) 11.(2015·聊城市高考模拟试题·15)已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3ax2 ? 4,若f ? x ? 存在唯一的 零点 x0 ,则实数 a 的取值范围是___________.
?2 x3 ? 3x2 ? m, 0 ≤ x ≤1, 12.(2015.南通市高三第三次调研测试·12)已知函数 f ( x) ? ? 若函 x> 1. ?mx ? 5,

B.55

C.90

数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围为 13.(2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·12)已知函数 f ( x) ? ? 函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 3 个零点,则实数 m 的取值范围是



?2 x ? 1( x ? 0) ? 若 2 ? ?? x ? 2 x( x ? 0)

2

14.(2015·德州市高三二模(4 月)数学(理)试题·15)已知函数 f ? x ? ? a ln ? x ?1? ? x 在区间 ?1, 2 ? 内任取两个实数 p, q, 且p ? q ,不等式 数 a 的取值范围为___________.

f ? p ? 1? ? f ? q ? 1? ? 1 恒成立,则实 p?q

15.(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试·15)若函数 f ( x) ?|1nx | ?mx 恰有 3 个零点, 则 m 的取值范围为 .

16 . (2015. 菏 泽 市 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 · 15) 已 知 函 数 f ( x) 满 足
f ( x ? 1 )? ? 1 ,且 f ( x) 是偶函数,当 x ? [?1, 0] 时, f ( x) ? x 2 ,若在区间 [?1,3] 内,函数 f ( x)

g ( x) ? f ( x) ? log a ( x ? 2) 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是

17.若函数 f ( x) ?

ln kx ? ln( x ? 1) 不存在零点,则实数 k 的取值范围是 ▲ 2



3 18. (2015·苏锡常镇四市高三数学调研(二模) ·13)已知函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? ax ? 2 恰

有 2 个零点,则实数 a 的取值范围为 19. (2015· 盐城市高三年级第三次模拟考试· 17) (本小题满分 10 分) 某地拟建一座长为 640 米的大桥 AB ,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩 A 、 B 造价总共为 100 万 元,当相邻两个桥墩的距离为 x 米时(其中 64 ? x ? 100 ) ,中间每个桥墩的平均造价为

80 x x x 万元,桥面每 1 米长的平均造价为 (2 ? ) 万元. 3 640
(1)试将桥的总造价表示为 x 的函数 f ( x ) ; (2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩 A 、 B 除外)应建多少个桥 墩?

第 19 题

专题 2 不等式、函数与导数 第3讲
1.【答案】D 【命题立意】本题旨在考查函数与方程。 【思路点拨】 函数 y=|x2+4x|由函数 y=x2+4x 的图象纵向对折变换所得, 画出函数图象可得函 数 y=|x2+4x|的图象关于直线 x=-2 对称,则方程|x2+4x|=m 的实根也关于直线 x=-2 对称,对 m 的取值分类讨论,最后综合讨论结果,可得答案. 【解析】函数 y=|x2+4x|由函数 y=x2+4x 的图象纵向对折变换所得: 如下图所示:

函数与方程及函数的应用(A 卷)答案与解析

由图可得:函数 y=|x2+4x|的图象关于直线 x=-2 对称,则方程|x2+4x|=m 的实根也关于直线 x=-2 对称, 当 m<0 时,方程|x2+4x|=m 无实根, 当 m=0 或 m>4 时,方程|x2+4x|=m 有两个实根,它们的和为-4, 当 0<m<4 时,方程|x2+4x|=m 有四个实根,它们的和为-8, 当 m=4 时,方程|x2+4x|=m 有三个实根,它们的和为-6. 2.【答案】D 【命题立意】本题旨在考查数形结合的知识.

【解析】函数过原点,故问题等价于函数 f ? x ? ? loga x 与函数 f ? x ? = sin ?

?? ? x ? ? 1, x ? 0 ?2 ? 7 ,从 7

在区间(0,+∞)最少有 4 个交点,两函数有三个交点时满足: log a 7 ? ?2 ? a ?

而实数 a 的取值范围是: ? 0, 3.【答案】C

? ? ?

7? ? .故选:D 7 ? ?

【命题立意】本题是求函数零点的问题,通过构造两个函数画出函数图象,找出图象焦点个 数,要求学生准确画出函数图象。 【 解 析 】 由 题 令
x f ( x) ? log2 ? 2 , 则 f (x ? ) x l2 o ?g , 所 2以

f ( 2?)

2 2

l ? o g ? 2 , 3













x x g ( x) ? log2 ? 2 ? sin 2? x ? 2 ? log 2 ? sin 2? x , 令 g ( x )? 0, 则
x log 2 ? x si? nx 2,令 y ? log2 , y ? sin 2 ? x ,画

出两个函数的图像为: 通过图像可知有三个交点,所以函数零点个数为 3 个。 4.【答案】D 【命题立意】本题旨在考查分段函数,函数的零点及其应用. 【解析】令 2f2(x)-f(x)=0,解得 f(x)=0 或 f(x)= 的零点个数,可转化为求方程 f(x)=0 或 f(x)=

1 ,故要求函数 y=2f2(x)-f(x) 2

1 的解的个数,由 f(x)=0,可得|lnx|=0 2

或-x=0,解得 x=1 或 x=0;由 f(x)= x=-

e 1 1 1 ,可得|lnx|= 或-x= ,解得 x= e 或 x= 或 2 2 2 e

1 ;综合可得有 5 个零点. 2
6

5.【答案】B 【命题立意】研究分段函数的性质,画出草图,利用图象研究性质.
4

2

10

5

5

2

4

【解析】当 x<0 时,函数 f ( x) ? e x ? x ? 1显然是增函数,且 f (0) ? 0 ;当 x ? 0 时,函数

1 f ( x) ? ? x3 ? 2 x , f ?( x) ? ? x2 ? 2 且 f (0) ? 0 , 所 以 函 数 在 [0, 2) 上 单 调 增 , 在 3

[ 2, ??) 上单调减, f极大值 ( x) ? f ( 2) ?
6.【答案】B 【命题立意】本题旨在考查函数的零点.

4 2 ,由此画出函数大致图象. 故①,③正确. 3

【解析】设 g ( x) ? ln x , h( x) ? 2? x? ? 3 ,当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? ?3 ,作出图象,两函数 有一个交点即一个零点;当 2 ? x ? 3 时, h( x) ? 1 , ln 2 ? g ( x) ? ln 3 ,此时两函数又一交 点,即又一零点,共两个零点. 7.【答案】B 【命题立意】本题旨在考查函数的单调性与导数,函数的零点. 【解析】 (1)当 a=0 时,函数 f(x)=-3x2+1,显然有两个零点,不合题意; (2)当 a>0 时, 由于 f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2) ,利用导数的正负与函数单调性的关系可得(-∞,0)和

2 2 ,+∞)时函数单调递增, (0, )时函数单调递减,显然存在负零点,不舍题意; (3) a a 2 当 a<0 时,利用导数的正负与函数单调性的关系可得(-∞, )和(0,+∞)时函数单 a 2 ? 2 ?f( )?0 调递减, ( ,0)时函数单调递增,要使得函数有唯一的零点且为正,则满足 ? a , a ? ? f (0) ? 0 2 2 即有 a×( )3-3×( )2+1>0,则有 a2>4,解得 a<-2 或 a>2(不合条件 a<0,舍去) ; a a
( 综合可得 a<-2. 8.【答案】②③ 【命题立意】本题旨在考查创新定义,函数的基本性质,函数的定义域与值域问题. 【解析】①中,f(x)=sin(

? x) ,其周期为 T=4,由正弦函数的性质可得 A=[0,1]为函数 2

的一个“可等域区间” ,同时 A=[-1,0]也是函数的一个“可等域区间” ,不满足唯一性;② 中,f(x)=2x2-1,当 A=[-1,1]时,f(x)∈[-1,1],满足条件,又由二次函数的图象 可知,满足条件的集合只有一个,也满足唯一性;③中,f(x)=|1-2x|,当 A=[0,1]时,

此时 x∈[0,1],函数 f(x)单调递增,又 f(0)=0,f(1)=1 满足条件,也满足唯一性; ④中,f(x)=log2(2x-2) ,该函数在(1,+∞)上单调递增,若存在“可等域区间” ,则 满足 ?

?2m ? 2 ? 2m ?log2 (2m ? 2) ? m ,即 ? ,则 m,n 是方程 2x-2x+2=0 的两个根,设 f n ? log2 (2n ? 2) ? n ? 2n ? 2 ? 2

(x)=2x-2x+2,而 f′(x)=2xlnx-2,当 x>1 时,f′(x)>0,此时函数 f(x)单调递增, 那么 f(x)=2x-2x+2=0 不可能存在两个解,此时不存在“可等域区间” . 9.【答案】 D 【命题立意】本题旨在考查函数不等式,极值点,三点共线. 【 解 析 】 先 令 1 #x

2 , 那 么 2 # 2x
x 2

4, f ( x) =

f (2 x) 1 2 = [1-( 2 x-3) ] ; 再 令 c c

4 #x

8 ,那么 2 #

1 1 2 4 , f ( x) = cf ( x) = c[1-( x-3)] ; 2 2

分别算出它们的极值点为( , ), (3,1) , (6, c) ,三点共线解得 c ? 1或c ? 2 . 10.【答案】C 【命题立意】本题考查了分段函数,函数的零点及数列求和.
x ?2 【解析】当 0 ? x ? 2 时,有 ?2 ? x ? 2 ? 0 ,则 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 1 ? 2 ,

3 1 2 c

x ?4 当 2 ? x ? 4 时,有 0 ? x ? 2 ? 2 ,则 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 1 ? 2 ? 1, x ?6 当 4 ? x ? 6 时,有 2 ? x ? 2 ? 4 ,则 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 1 ? 2 ? 2 , x ?8 当 6 ? x ? 8 时,有 4 ? x ? 2 ? 6 ,则 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 1 ? 2 ? 3,

以此类推,当 2n ? x ? 2n ? 2(n ? Z ) 时,则 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 1 ? 2
x 函数 f ( x) ? 2 的图象与直线 y ?

x ?2 n?2

?n.

1 1 x ? 1 的交点为 (0,1), ( ?1, ) ,由于指数函数 f ( x) ? 2x 2 2 1 x 为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点.将函数 f ( x) ? 2 和 y ? x ? 1 的图象同时 2 1 x 向下平移一个单位,即得到函数 f ( x) ? 2 ? 1和 y ? x 的图象,取 x ? 0 的部分,可见它 2 1 1 们只有两个交点 (0,1), ( ?1, ) .即当 x ? 0 时,方程 f ( x ) ? x ? 0 有两个根 x ? ?1, x ? 0 ; 2 2

当 0 ? x ? 2 时,由函数图象平移可得 g ( x ) ? f ( x ) ?

1 x 的零点为 1 , 2 ;以此类推,函数 2
上 的 零 点 分 别 为

g ( x) ? f ( x) ?

1 x 2



(2, 4], (4, 6],…, (2n, 2n ? 2]

3, 4,5, 6,…,2n+1,2n+2 ;综上所述,函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 x 的偶数零点按从小到大的顺 2

序 排 列 所 得 数 列 为 0, 2, 4,, 6, … , 其 通 项 公 式 为 an ? 2(n ? 1) , 前 10 项 的 和

S10 ?

10(0 ? 18) ? 45 . 2

11.【答案】 (??,1). 【命题立意】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值问题. 【解析】由题意 f/(x)=3x2-6ax, 当a ? 0时, f/(x) ? 0 ?函数f ( x)单调递增,只有一个零 点. f/(x) ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 2a.? f ( x)在(- ?, 0),( 2a,??)递增,在( 0,2a)递减.

?只要满足f (2a) ? 0即8a 3 ?12a 3 ? 4 ? 0解得a ? 1. 综上实数 a 的取值范围 (??,1).
12.【答案】 (?5,0) 【命题立意】本题考查分段函数,函数的两点,意在考查分析转化能力,中等题. 【解析】当 m ? 0 时,由下图可知,函数 f ( x) 的图象与 x 无交点.

当 ? 5 ? m ? 0 时,由下图可知,函数 f ( x) 的图象与 x 有且只有两个不同的交点.

13.【答案】 【命题立意】本题主要考查分段函数的图像

【解析】 交点。

有 3 个零点,即函数

与函数

的图象有三个不同

观察图象可知: 14.【答案】a≤15 【命题立意】本题旨在考查函数的单调性,导函数知识. 【解析】不妨设 p>q,则 p-q>0,

f ? p ? 1? ? f ? q ? 1? ? 1, f ? p ? 1? ? f ? q ? 1? ? p ? q, p?q ? ? f ? p ? 1? ? ? p ? 1? ? ??? ? f ? q ? 1? ? ? q ? 1? ? ? ? 0,
令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ,则由题意可知函数 g(x)在(2,3)内单调递减,

g ? x ? ? a ln ? x ? 1? ? x 2 ? x, g ' ? x ? ?

a ? 2 x ? 1 ? 0 在(2,3)内恒成立, x ?1

a ? 2 x ? 1, a ? ? x ? 1?? 2 x ? 1? ,结合二次函数的性质,可知 a≤15.故答案为:a≤15. x ?1
15.【答案】 (0,) 【命题立意】本题重点考查了函数的性质、函数的导数计算、函数零点的求解,函数的单调 性与导数等知识. 【解析】令 f ( x) ?|1nx | ?mx ? 0 ,得到函数 y ?| ln x | 与 y ? mx ,它们在同一坐标系内的 图象如下:

1 e

当 x ? 1 时, y ? ln x , y ? ?

1 ,设该两个函数图象相切,此时切点为 ( x0 , y0 ) ,则有 x

?1 ?x ? m 0 ? 1 1 ? ? y0 ? mx0 ,解得 m ? ,结合图象得,欲使有三个零点,则需满足: m ? (0, ) . e e ? y ? ln x 0 ? 0 ? ?
16.【答案】[5,+∞) 【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质,函数的零点与方程的根的关系,考查转化与化 归思维. 【解析】由于 f(x+1)=-

1 ,则有 f(x+2)=f(x) ,即 f(x)是周期为 2 的周期函数, f ( x)

又 f(x)是偶函数,当 x∈[-1,0]时,f(x)=x2,则有当 x∈[0,1]时,f(x)=x2,故当 x ∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么当 x∈[1,3]时,f(x)=(x-2)2,而函数 g(x)=f(x)- loga(x+2)有 4 个零点,故函数 y=f(x)的图象与 y=loga(x+2)有 4 个交点,数形结合可 得 1≥loga(3+2) ,解得 a≥5. 17.【答案】 (0,4) ; 【命题立意】 本题考查函数的零点问题及对数函数的性质, 将函数的零点问题转换到不等式 问题利用基本不等式解决.

? ?kx ? 0 【解析】由题意可知 ? x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ?1 且 x ? 0 ,由对数的性质可得 ? ? ln kx ? ? ln( x ? 1) ? 2

ln kx ? 2 ln( x ? 1) ? ln( x ? 1) 2 ,可得 kx ? ( x ? 1) 2 ? k ? ( x ? 1) ? x ? 1 ? 2, ( x ? ?1, x ? 0)
2

x

x

1 1 1 1 ? ?2, 或 x ? ? 2 ? x ? ? 2 ? 0 或 x ? ? 2 ? 4 , x x x x ln kx 1 要使函数 f ( x) ? ? ln( x ? 1) 不存在零点,只需 k 取 x ? ? 2 取值集合的补集, 2 x
由于 x ? 即 {x | 0 ? k ? 4} ,当 k ? 0 时,函数无意义,故 k 的取值范围应为: (0,4) . 18.【答案】a<-1 或 a>1 【命题立意】本题旨在考查函数的图象与性质,函数的零点. 【解析】令 f(x)=|x3-4x|+ax-2=0,则有|x3-4x|=2-ax,可知函数 y=|x3-4x|与 y=2- ax 恰有 2 个交点,如图所示,此时两函数有交点 3 个,此时-a=1 或-a=-1,解得 a=-1 或 a=1,而要满足两函数的图象恰好有 2 个交点,则必有 a<-1 或 a>1.

19.【答案】 (1)f(x) =x 2 ?

3

51200 ? 1 80 1 x 2 ? x 2 ? 1380 ( 64 ? x ? 100 ) ; (2)7. 3 3

【命题立意】本题旨在考查实际应用问题,函数及其应用,函数的解析式,导数及其应 用,函数的最值. 【解析】 (1) 由桥的总长为 640 米, 相邻两个桥墩的距离为 x 米, 知中间共有 ( 个桥墩,于是桥的总造价 f ( x) ? 640(2 ?

640 ? 1) x

x x 80 640 )? x( ? 1) ? 100 , 640 3 x

即 f ( x) ? x 2 ?
3 2

3

640 ? 80 ? 1 80 1 x 2 ? x 2 ? 1380 3 3

51200 ? 1 80 1 2 =x ? x ? x 2 ? 1380 ( 64 ? x ? 100 )………………………………5 分 3 3
(表达式写成 f ( x)=x x ?

51200 80 ? x ? 1380 同样给分) 3 3 x

(2)由(1)可求 f ?( x) ?

3 1 640 ? 40 ? 3 40 ? 1 x2 ? x 2 ? x 2 ,整理得 2 3 3

1 ?3 f ?( x) ? x 2 (9x 2 ? 80x ? 640 ? 80) , 6
由 f ?( x) ? 0 , 解 得 x1 ? 80 , x2 ? ?

640 (舍) , 又 当 x ? (64,80) 时 , f ?( x) ? 0 ; 当 9

x ? (80,100) 时 , f ?( x ) ? 0, 所 以 当 x ? 80 , 桥 的 总 造 价 最 低 , 此 时 桥 墩 数 为
640 ? 1=7 …………………10 分 80


赞助商链接
相关文章:
函数方程及其应用历年高考题
函数方程及其应用历年高考题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。函数方程及其应用...出函数的图象进行解答 3.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 两县城 A ...
...数学(理)同步双测:专题2.2《函数图像的应用及函数与方程》(A)...
2017年高三数学(理)同步双测:专题2.2《函数图像的应用及函数与方程》(A)卷含答案解析 - 语文数学英语,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习...
...数学)基本初等函数函数与方程及函数的应用专题卷(全...
2018届二轮(文科数学)基本初等函数函数与方程及函数的应用专题卷(全国通用)_高考...答案:D 2.(2015·安徽卷)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A.y=cos...
...数学(理)同步双测:专题2.2《函数图像的应用及函数与方程》(A)...
2017年高三数学(理)同步双测:专题2.2《函数图像的应用及函数与方程》(A)卷含答案解析 - 数学,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元 测试检测,单元 ...
...第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
2015高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义:专题一 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第三讲 基本初等函数、函数与方程...
2018届高考数学二轮专题复习培优训练 函数与方程及函数的应用_...
2018届高考数学二轮专题复习培优训练 函数与方程及函数的应用 - 函数与方程及函数的应用 A组 1 1.(文)函数 f(x)=-+log2x 的一个零点落在区间 ( B x A...
2018届高考数学二轮函数方程、函数的实际应用题专题卷(...
2018届高考数学二轮函数方程函数的实际应用题专题卷(全国通用)_高考_高中教育_教育专区。天天练 8 函数方程函数的实际应用题 一、选择题 1.下列函数中,既是...
...函数与基本初等函数 第三节 函数、方程及其应用
2013版《6年高考4年模拟》:第二章 函数与基本初等函数 第三节 函数方程及其应用_高三数学_数学_...卷] 已知 a>0,b∈R,函数 f(x)=4ax3-2bx-a...
函数、方程及其应用 高考题精选
函数方程及其应用 高考题精选_数学_高中教育_教育专区。第三节 函数方程...(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 两县城 A B 相距 20km,现计划...
高考数学闯关密练特训2-8函数与方程、函数模型及其应用...
高考数学闯关密练特训2-8函数与方程函数模型及其应用新人教A版(含解析)_数学...?lnx+2x-6 (理)(2011·舟山月考)函数 f(x)=? ?-x x+ ? 0 x x ...
更多相关标签: