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对数运算第2课时原创


第三章

THE THIRD CHAPTER

基本初等函数
2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算
学 习 目 标
1. 进一步理解对数的概念,能熟练进行指、对数式互化。掌握对数的运算性质,会计算、 化简对数.。 2. 探索对数的运算性质的过程中,灵活应用对数与指数的互化,为解决指数与 对数的问题打下基础,进而培养学生的逻辑思维能力。同时将对数与指数进行对 比,引导学生用“转化”的方法思考问题.。

重 点 难 点
重点:对数运算性质的推导及应用。 难点:对数运算性质的证明。

知 识 聚 焦
1. “积的对数 = 对数的和” log a MN = ________________; 2. “商的对数=对数的差” log a

M ? ________________; N

3.“幂的对数=指数与对数的积” loga M n ? ________________; 4. 其他重要公式: logam N ? _______________;
n

答案:1. loga MN = loga M + loga N 2. log a

M ? log a M ? log a N N

3. loga M n ? n loga M 4. logam N ?
n

n log a N m

1

典 例 精 讲
【命题方向一】化简
例1 用 log a x , log a y , loga z 表示下列各式 (1) log a

xy z

x2 y (2) lo g a 3 z
xy z

【思路探究】观察题目中对数的真数,可利用对数的运算性质直接化简. 【解析】 (1) log a (2) log a

?log z ?log y ? la oz g a xy ? l o ag a x ? lo ag

x2 y
3

z

? loga x2 y ? loga 3 z

? loga x2 ? loga y ? loga 3 z
= 2 log a x ? 变式 1

1 1 log a y ? log a z 2 3

(1) lg( xyz) ? ________________;

(1)
lg14 - (2) lg

x ? ________________; y z
2

7 (1) lg( xyz ) ? lg x ? lg y ? lg z ; 2lg 【解析】 3 +lg7 x 1 (2) lg 2 ? lg x ? 2lg y ? lg z -
lg18; 【命题方向二】计算 (2) lg 243 (1) log (47 ? 25 ) (2) lg 5 100 2 例2 lg 9 (3) log9 27 ; 【思路探究】根据底数和真数的关系,可以将真数部分均化成与底数相同的指数幂. 【解析】 (1) log2 (47 ? 25 ) ? log2 47 ? log2 25 ? 14 ? 5 ? 19 (2) lg 100 ? lg10 ?
5
2 5

y z

2

2 5
3 2

(3) log 9 27 ? log 32 3 ?
3

变式 2 ( 1 ) lg14 - 2lg

(1)
lg14 - 2lg

lg 243 7 2 2 +lg7 - lg18 ; (2) ; ( 3 ) lg 4 ? lg 25 ? 8lg 2lg5 ; lg 9 3
2

7 3

(4)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 . lg1.2

【解析】 (1)解法一: lg14-2lg

7 +lg7-lg18=lg (2× 7) -2 (lg7-lg3) +lg7-lg (32× 2) =lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7 3

-2lg3-lg2=0. 解法二:lg14-2lg
14 ? 7 7 7 +lg7-lg18=lg14-lg( )2+lg7-lg18=lg =lg1=0. 7 3 3 ( ) 2 ? 18 3

(2)解:

lg 243 lg 3 5 51g 3 5 = = = . lg 9 lg 3 2 2 lg 3 2

(3) 解: lg2 4 ? lg2 25 ? 8lg 2lg5 ? (2lg 2 ? 2lg5)2 ? 4
1 1 3 (lg 3 ? 21g 2 ? 1) lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg(3 3 ) 2 ? lg 2 3 ? 31g10 2 2 3 (4)解: = = = . 2 lg1.2 lg 3 ? 21g 2 ? 1 2 3? 2 lg 10

点 评 以上各题的解答,体现对数运算法则的综合运用,应注意掌握变形技巧,每题的各部分 变形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系,要避免错用对数运算性质 . 注意

lg 2? lg 5? 1 的应用.

【命题方向三】综合应用
例3 (1) 已知 3 ? 5 ? c ,且
a b

(1

) a?x lg1 (2)已知 f ( x) ? log 2 为奇函数,则 a ? ________________. 1? x 4- 2lg 【思路探究】在( 1)指数式与对数式的互化并结合对数运算性质(2)函数中的运用.

1 1 ? ? 2 ,则 c ? ________________; a b

7 + 1 3 【 解 析 】 ( 1 ) 3a ? c ?logc 3a ? 1 ? ? log c 3 同 理 可 得 a lg7 1 1 1 - ? log c 5 ? ? 2 ? log c 3 ? log c 5 ? 2 ? log c 15 ? 2 ?c2 ? 15?c ? 15 blg1 a b a?x a?x 8; ? log 2 ?0 , f ( x) 是 奇 函 数 , ? f ( x)? f ( ? x)? 即 0 log 2 (2) 1? x 1? x (2 ) lg 243 3 lg 9


?

a?x a?x ? 1 ,? a2 ? x2 ? 1 ? x2 ? a2 ? 1 ? a ? 1 (舍去 ?1 ) 1? x 1? x x ?x 变式 3 (1)若 x log3 4 ? 1 ,则 4 ? 4 ? ____________;
(2) f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) 是______(奇、偶、非奇非偶)函数

【解析】 (1)

x log3 4 ? 1? log 3 4 ?

1 1 1 10 ? 3 x ? 4 ? 4x ? 3 ? 4 x ? 4? x ? 3 ? ? x 3 3

(2) 点 评

f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x2 ) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) 是偶函数

问题中同时出现指数式和对数式时,一般要把问题转化,统一到一种表达式上,在求解 过程中,根据题目的需要,将指数式转化为对数式,或将对数式转化为指数式,同时注意对 数运算性质在函数性质中的运用。 【课堂总结】 1.对数的运算三条运算法则. 2.注意点: 公式的逆用: lg 5 ? lg 2 ? lg10 ? 1;真数的取值范围必须是 (0, ??) ; 3.对公式容易错误记忆,要特别注意:

loga (MN ) ? loga M loga N ,loga (M ? N ) ? loga M ? loga N

跟 踪 检 测
1、 (2009 湖南文) log2

2 的值为( )
C. ? 1 2 D. 1 2

A. ? 2

B. 2

2.(2013·四川) lg 5 ? lg 20 的值是____________ 3. 求值 lg 5
2

?

2 lg 8 ? lg 5 ? lg 20 ? (lg 2) 2 . 3

2 2 4.(2012·北京)已知函数 f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 ,则 f (a ) ? f (b ) ? ____________

4

反 馈 平 台
1. (2013·浙江)已知 x,y 为正实数,则 ( )

A.2lg x ?lg y ? 2lg x ? 2lg y C.2lg x lg y ? 2lg x ? 2lg y
2.计算(1) log 2 6 ? log 2 3 ?

B.2lg( x? y ) ? 2lg x 2lg y D.2lg( xy ) ? 2lg x 2lg y

(2) 2log5 10 ? log5 0.25 ? 2.已知 a, b, c 是 ?ABC 的三边, 且关于 x 的方程 x2 ? 2x ? lg(c2 ? b2 ) ? 2lg a ? 1 ? 0 有相等 的实数根,判断 ?ABC 的形状. 3.(2012 北京文改编)函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) ,若 f ( x1 x2 ...xn ) ? 16 ,则

f ( x12 ) ? f ( x22 ) ? ... ? f ( xn2 ) ? ____________
跟踪检测参考答案
1.解答: log 2

2 ? log 2 2 2 ?

1

1 2

2.解答: lg 5 ? lg 20 ? lg 100 ? 1 3. 解答:原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2 = 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3. 4.解答: f (ab) ? lg(ab) ? 1 ? ab ? 10 ,

f (a 2 ) ? f (b2 ) ? lg a2 ? lg b2 ? lg(a2b2 ) ? lg100 ? 2
5. 解答: 选 D.选项 A.2 选项 C,2
lgx·lgy lgx lgy

lg x ? lg y

lgy lgx+lgy lg(x+y) ? 2lg x 2lg y y,故 A 错误;选项 B,2lgx· 2 =2 ≠2 ,故 B 错误;

=(2 ) ,故 C 错误.
2 2

6.解答:

方程有相等的实数根?? ? 0 即 4 ? 8lg a ? 4 ? 4lg(c ? b ) ? 0

? 2lg a ? lg(c2 ? b2 ) ,?lg a2 ? lg(c2 ? b2 ) ,即 a 2 ? c2 ? b2 ? ?ABC 为直角三角形
反馈平台参考答案
5

1.解答: 选 D.选项 A.2 选项 C,2
lgx·lgy lgx lgy

lg x ?lg y

lgy lgx+lgy lg(x+y) ? 2lg x 2lg y y,故 A 错误;选项 B,2lgx· 2 =2 ≠2 ,故 B 错误;

=(2 ) ,故 C 错误.

2.解答: (1)log 2 6 ? log 2 3 ? log 2

6 ? log 2 2 ? 1 3

(2) 2log5 10 ? log5 0.25 ? log5 102 ? log5 0.25 ? log5 100 0.25 ? log5 25 ? 2 2.解答: 方程有相等的实数根?? ? 0 即 4 ? 8lg a ? 4 ? 4lg(c2 ? b2 ) ? 0

? 2lg a ? lg(c2 ? b2 ) ,?lg a2 ? lg(c2 ? b2 ) ,即 a 2 ? c2 ? b2 ? ?ABC 为直角三角形
3.解答:

f ( x1x2 ...xn ) ? 16?loga ( x1x2 ...xn ) ? 16 ,

? f ( x12 ) ? f ( x22 ) ? ... ? f ( xn2 ) ? loga x12 ? loga x22 ? ...loga xn2 ? 2(loga x1 ? loga x2 ? ...loga xn )
? 2l oga ( x1 x2 ...xn ) ? 32

6


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