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高二数学(人教A版)《3.3.1函数的单调性与导数》导学案


§3.3.1 函数的单调性与导数
[自学目标]:
1. 会熟练求导,求函数单调区间,证明单调性。 2. 会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况 [重点]: 会熟练用求导,求函数单调区间 [难点]: 证明单调性 [教材助读]: 1、复习回顾 (1)常函数: C ' ? 0 (C 为常数); (2)幂函数 : ( x (3)三角函数 :
n

)' ? nxn?1 ( n ? Q )
(sin x )? ? cos x
1 . x

(cos x )? ? ? sin x
1 . x ln a

(4)对数函数的导数: (ln x )? ?

(log a x )? ?

(5)指数函数的导数:

(e x )? ? e x .

? ? ax l n (a x ) a a(?

a 0? ,

1).

2、函数的单调性与其导数的正负有如下关系 在 某 个 区 间 (a,b) 内 , 如 果 ________, 那 么 函 数 y ? f ( x ) 在 这 个 区 间 内 单 调 递 增 ; 如 果

f ?( x ) ? 0,那么函数 y ? f ( x ) 在这个区间内单调________. 如果恒有 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 是
________。 [预习自测] 1、 已知导函数 f ?( x ) 的下列信息: 当 1 < x < 4 时, f ?( x ) ? 0; 当 x > 4 , 或 x < 1 时, f ?( x ) ? 0; 当 x = 4 , 或 x = 1 时, f ?( x ) ? 0. 试画出函数 f ( x ) 的图象的大致 形状.

请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来,待课堂 上与 老师和同学探究解决。

[合作探究 展示点评] 探究一:利用单调性求单调区间
1

判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x 3 ? 3 x;

(2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3;

(3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? );

(4) f ( x) ? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 24 x ? 1.

探究二:利用单调性判断函数图象 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找 出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象.

一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 , 那么函数在这个 范围内变化得快 , 这 时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.

如图 ,函数 y ? f ( x ) 在 (0, b ) 或 ( a , 0) 内的图象 “陡峭 ”,在 ( b, ?? ) 或 ( ??, a ) 内的图象平 缓.

[当堂检测] 1 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4; (3) f ( x) ? 3 x ? x 3 ;

(2) f ( x) ? e x ? x; (4) f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x.

2

2.函数 y ? f ( x) 的图 象如图所示, 试画出导函数 y ? f '( x) 图象的大致形状。

[拓展提升]
1.讨论二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的单调区间。

2 .求证: 函数 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 2 ? 7 在(0,2)内是减函数。

3

1 1 ★3.若函数 f(x)= x3- ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)内单调递减,在(6,+∞)上单调递增, 3 2 试求 a 的范围.

4


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