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【名师金典】(教师用书)2016版高考数学大一轮复习 第六章 不等式


第六章
第一节

不等式

不等关系与不等式

[考情展望] 1.考查有关不等式的命题真假及数式的大小比较.2.考查与不等式相关的 充分必要条件的判断.3.考查和函数、数列等知识的综合应用.

一、实数的大小顺序与运算性质的关系

a>b?a-b>0, a=b?a-b=0, a<b?a-b<0.
二、不等式的性质 1.对称性:a>b?b<a;(双向性) 2.传递性:a>b,b>c? a>c;(单向性) 3.可加性:a>b?a+c>b+c;(双向性)

a>b,c>d? a+c>b+d;(单向性)
4.可乘性:a>b,c>0? ac>bc;

a>b,c<0? ac<bc; a>b>0,c>d>0? ac>bd;(单向性)
5.乘方法则:a>b>0? a >b (n∈N,n≥2);(单向性) 6.开方法则:a>b>0?
n n

n

n a> b(n∈N,n≥2);(单向性) a b

1 1 7.倒数性质:设 ab>0,则 a<b? > .(双向性)

真、假分数的性质 若 a>b>0,m>0,则 (1)真分数的性质:

b b+m b b-m < , > (b-m>0) a a+m a a-m
(2)假分数的性质:
1

a a+m a a-m > , < (b-m>0) b b+m b b-m

1.对于实数 a,b,c,“a>b”是“ac >bc ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】 B

2

2

) B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

2.在城区限速 40 km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v 不超 过 40 km/h,写成不等式就是 ( A.v<40 km/h C.v≠40 km/h 【答案】 D 3.已知 a,b 为非零实数,且 a>b,则下列不等式一定成立的是( A.a >b
4 4

)

B.v>40 km/h D.v≤40 km/h

)

1 1 B. <

a b
a b

C.|a|>|b| 【答案】 D 4. 与 3+1 的大小关系为 2-1 < 3+1 2-1 1 1 .

D.2 >2

【答案】

5.设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: ① > ;②a <b ;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有的正确结论的序号是( A.① C.②③ 【答案】 D 6.(2013·天津高考)设 a,b∈R,则“(a-b)·a <0”是“a<b”的( A.充分而不必要条件
2

c c a b

c

c

) B.①② D.①②③

)

B.必要而不充分条件

2

C.充要条件 【答案】 A

D. 既不充分也不必要条件

3

考向一 [099] 应用不等式表示不等关系 (1)某地规定本地最低生活保障金不低于 300 元,上述不等关系写成不 等式为 .

【答案】 x≥300 (2)某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过 1 000 万元的资金购 买单价分别为 40 万元、90 万元的 A 型汽车和 B 型汽车.根据需要,A 型汽车至少买 5 辆,B 型汽车至少买 6 辆,写出满足上述所有不等关系的不等式. 【尝试解答】 40x+90y≤1 000, ? ?x≥5, ?y≥6, ? ?x,y∈N .
*

设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、 y 辆,则 x 、 y 满足

规律方法 1 1.本例(2)在求解时,常因忽略变量 x,y∈N 致误. 2.求解此类问题一定要准确将题目中文字语言转化为数学符号语言(如不等式等),特 别是注意“不超过”、 “至少”、 “低于”表示的不等关系, 同时还应考虑变量的实际意义.

*

(1)(2014·四川高考)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( A. > C. >

)

a b d c a b c d

B. < D. <

a b d c a b c d

【答案】 13 (2)已知函数 f(x)=ax +bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求 f(-2)的取值范围. 【尝试解答】 法一 设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n 为待定系数), 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.
2

4

于是得?

?m+n=4, ? ?n-m=-2, ?

解得?

?m=3, ? ?n=1, ?

∴f(-2)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故 5≤f(-2)≤10. 法二 因为?
?f?-1?=a-b, ? ?f?1?=a+b, ?

∴a=

f?-1?+f?1?
2

,b=

f?1?-f?-1?
2

.

∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4. 故 5≤f(-2)≤10. 规律方法 2 1.解题时,易忽视不等式性质成立的条件,或“无中生有”自造性质导致 推理判定失误. 2.由 a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d,求 F(x,y)的取值范围,可利用待定系数法解 决,即设 F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),用恒等变形求得 m,n,再利用不等式的性质求得

F(x,y)的取值范围.
对点训练 (1)(2015·西宁模拟)已知 a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( A.若 a>b,则 ac >bc B.若 > ,则 a>b 1 1 3 3 C.若 a >b 且 ab<0,则 >
2 2

)

a b c c

a b a b
)

1 1 2 2 D.若 a >b 且 ab>0,则 < π (2)(2015·宁波模拟)若角 α , β 满足- <α <β <π , 则 α -β 的取值范围是( 2

? 3π 3π ? A.?- , ? 2 ? ? 2 ? 3π ? C.?0, ? 2 ? ?
【答案】 (1)C (2)B

? 3π ? B.?- ,0? ? 2 ? ? π ? D.?- ,0? ? 2 ?

?-1≤α +β ≤1, ? (3)若 α ,β 满足? ?1≤α +2β ≤3, ?

试求 α +3β 的取值范围.

【解】 设 α +3β =x(α +β )+y(α +2β )=(x+y)α +(x+2y)β .
5

由?

?x+y=1, ? ?x+2y=3, ?

解得?

?x=-1, ? ?y=2. ?

∵-1≤-(α +β )≤1,2≤2(α +2β )≤6, ∴两式相加,得 1≤α +3β ≤7.

6

考向三 [101] 比较大小 (1)已知 m∈R,a>b>1,f(x)=
a b b a

m2x ,试比较 f(a)与 f(b)的大小; x-1

(2)比较 a b 与 a b (a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1)的大小. 【尝试解答】 (1)法一 ∵f(a)=

m2a m2b ,f(b)= , a-1 b-1

b ? m 2a m2b 2? a - ∴f(a)-f(b)= - =m ? ? a-1 b-1 ?a-1 b-1?
=m ·
2

a?b-1?-b?a-1? 2 b-a =m · , ?a-1??b-1? ?a-1??b-1?

当 m=0 时,f(a)=f(b); 当 m≠0 时,m >0,又 a>b>1,∴f(a)<f(b),即 f(a)≤f(b). 1 ? m 2x 2? 法二 ∵f(x)= =m ?1+ ?, x-1 ? x-1? ∴f(a)=m ?1+
2 2

? ?

1 ? 1 ? 2? ,f(b)=m ?1+ ? ?, a-1? ? b-1? 1 1 <1+ , a-1 b-1

由于 a>b>1,∴a-1>b-1>0,∴1+ 当 m=0 时,m ?1+
2

? ? ? ?

a-1? ? a-1? ?
1 ?

1 ?

=m ?1+
2

? ? ? ?

b-1? ? b-1? ?
1 ?

1 ?

,即 f(a)=f(b); ,即 f(a)<f(b),

当 m≠0 时,m ?1+
2

<m ?1+
2

∴f(a)≤f(b). (2)根据同底数幂的运算法则,采用作商法,

aabb a-b b-a ?a?a-b =a b =? ? , abba ?b?
当 a>b>0 时, >1,a-b>0, 则? ?

a b

?a?a-b>1,∴aabb>abba, ?b?
a b

当 b>a>0 时,0< <1,a-b<0, 则? ? b

?a?a-b>1,∴aabb>abba, ? ? ?a?a-b=1,∴aabb=abba, ?b?

当 a=b>0 时,? ?
a b b a

综上知 a b ≥a b (当且仅当 a=b 时取等号).
7

规律方法 3 1.第(1)中,若注意到 m ≥0,亦可构造函数 φ (x)= φ (x)是减函数,f(a)≤f(b).

2

x

x-1

(x>1),判断出

2.(1)“作差比较法”的过程可分为四步:①作差;②变形;③判断差的符号;④作出 结论.其中关键一步是变形,手段可以有通分、因式分解、配方等.(2)“作商比较法”的 依据是“ >1,b>0? a>b”,在数式结构含有幂或根式时,常采用比商法. 对点训练 若 a>b>0,试比较 a a+b b与 a b+b a的大小. 【解】
2

a b

(a a+b b)-(a b+b a )=a( a- b)+b( b- a)=( a- b )(a-b)

=( a- b) ( a+ b), ∵ a+ b>0,( a- b) >0, ∴(a a+b b)-(a b+b a)>0, ∴a a+b b>a b+b a.
2

易错易误之十一 不等式变形中盲目扩大范围 —————————— [1 个示范例] —————— 设函数 f(x)=x +bx+c(n∈N ,b,c∈R).
n
*

?1 ? (1)设 n≥2,b=1,c=-1,证明 f(x)在区间? ,1?内存在唯一零点; ?2 ?
(2)设 n 为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求 b+3c 的最大值和最小值. 【解】 (1)当 b=1,c=-1,n≥2 时,f(x)=x +x-1,
n

? ? ? ? f? ?f(1)=? n- ?×1<0, 2 2 2
1 1 1

? ?

?

?

?1 ? ?1 ? n-1 ∴f(x)在区间? ,1?内有零点,又当 x∈? ,1?时,f′(x)=n·x +1>0, ?2 ? ?2 ? ?1 ? ?1 ? ∴f(x)在? ,1?上是单调递增的,∴f(x)在? ,1?内存在唯一零点. 2 ? ? ?2 ?
(2)法一 由 n 为偶数,且|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,

8

?-1≤f?-1?≤1, ? ∴? ?-1≤f?1?≤1. ?

?0≤b-c≤2, ? 即? ?-2≤b+c≤0. ?

本例(2)在求解中常犯以下错误: ∵ n 为 偶 数 , 且 |f( - 1)|≤1 , |f(1)|≤1 , ∴
? ?0≤b-c≤2, ? ?-2≤b+c≤0. ?

因此-1≤b≤1,且-2≤c≤0.∴-7≤b+3c≤1, 故 b+3c 的最大值为 1,最小值为-7. 出错原因为:(1)忽视字母 b、c 相互制约的条件,片面将 b,c 分割开来导致字母范围 发生变化. (2)多次运用同向不等式相加这一性质,不是等价变形,扩大变量的取值范围,致使最 值求解错误.

作上述不等式组表示的可行域,如图所示. 令 t=b+3c,则 c= - . 3 3 平移 b+3c=0,知直线过原点 O 时截距最大,过点 A 时截距最小,∴t=b+3c 的最大 值为 0+3×0=0;最小值为 0+3×(-2)=-6. 法二 由题意知?
?f?-1?=1-b+c, ? ? ?f?1?=1+b+c,

t b

解得 b=

f?1?-f?-1?
2

,c=

f?1?+f?-1?-2
2



∴b+3c=2f(1)+f(-1)-3.又∵-1≤f(-1)≤1, -1≤f(1)≤1, ∴-6≤b+3c≤0. 当 b=0,c=-2 时,b+3c=-6;当 b=c=0 时,b+3c=0, ∴b+3c 的最小值为-6,最大值为 0. 【防范措施】 处理该类问题的方式常有两种: (1)利用待定系数法先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次 性”使用不等式的运算求得待求整体的范围. (2)运用线性规划,根据 t=b+3c 的几何意义,数形结合求 t 的最值. ———————— [1 个防错练] ——————— 已知函数 f(x)=ax -c,且 f(1)∈[-4,-1],f(2)∈[-1,5],求 f(3)的取值范围. 【解】 法一 (以 a、c 为桥梁,方程组思想) ∵f(x)=ax -c.
2 2

9

∴?

?f?1?=a-c ? ? ?f?2?=4a-c

1 a= [f?2?-f?1?] ? ? 3 ?? 4 1 -c= f?1?- f?2? ? ? 3 3 8 9

?

f(3)=9a-c=- f(1)+ f(2).
5 5 20 -4≤f?1?≤-1? ≤- f?1?≤ 3 3 3 8 8 40 -1≤f?2?≤5? - ≤ f?2?≤ 3 3 3 ∴f(3)的取值范围为[-1,20]. 法二 (待定系数法)设 f(3)=λ f(1)+μ f(2), ∴9a-c=λ (a-c)+μ (4a-c). 5 λ =- ? ? 3 ,解得? 8 ? ?μ =3

5 3

? ? ?? -1≤f(3)≤20. ? ?

? ?9=λ +4μ ∴? ? ?-1=-λ -μ

.

5 8 ∴f(3)=- f(1)+ f(2).下同法一,略. 3 3 课时限时检测(三十四) 不等关系与不等式 (时间:60 分钟 满分:80 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.若 a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( 1 1 A. < )

a b a b > c2+1 c2+1

B.a >b

2

2

C.

D.a|c|>b|c|

【答案】 C 2.已知 a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,则下列选项中不一定能成立的是( A. < )

c b a a

B. D.

b-a >0 c a-c <0 ac

b2 a2 C. < c c
【答案】 C

10

3.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分不必要条件是( A.a>b+1 C.a >b
2 2

)

B.a>b-1 D.a >b
3 3

【答案】 A 1 1 4.若 A= 2+3 与 B= +2,则 A,B 的大小关系是(

x

x

)

A.A>B C.A≥B 【答案】 A

B.A<B D.不确定

π 5.若角 α ,β 满足- <α <β <π ,则 α -β 的取值范围是( 2

)

? 3π 3π ? A.?- , ? 2 ? ? 2 ? 3π ? C.?0, ? 2 ? ?
【答案】 B 6.设 a>0,b>0,(
a b

? 3π ? B.?- ,0? ? 2 ? ? π ? D.?- ,0? ? 2 ?
)

A.若 2 +2a=2 +3b,则 a>b B.若 2 +2a=2 +3b,则 a<b C.若 2 -2a=2 -3b,则 a>b D.若 2 -2a=2 -3b,则 a<b 【答案】 A 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.某次数学智力测验,共有 20 道题,答对一题得 5 分,答错一题得-2 分,不答得零 分,某同学有一道题未答,那么这个学生至少答对多少题,成绩才能不低于 80 分,列出其 中的不等关系: .(不用化简)
*

a

b

a

b

a

b

【答案】 5x-2(19-x)≥80,x∈N
2 2

8.x +y +1 与 2(x+y-1)的大小关系是 【答案】 x +y +1>2(x+y-1) 9.已知 a,b,c∈R,有以下命题: ①若 a>b,有 ac >bc ; ②若 ac >bc ,则 a>b; ③若 a>b,则 a·2 >b·2 . 以上命题中正确的是 【答案】 ②③
c c
2 2 2 2 2 2



(请把正确命题的序号都填上).

11

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)已知 12<a<60,15<b<36,求 a-b, 的取值范围. 【解】 ∵15<b<36,∴-36<-b<-15. 又 12<a<60,∴12-36<a-b<60-15, ∴-24<a-b<45. 又 1 1 1 12 a 60 < < ,∴ < < , 36 b 15 36 b 15

a b

1 a ∴ < <4. 3 b 11.(12 分)下面为某省农运会官方票务网站分布的几种球类比赛的门票价格,某球迷 赛前准备 1 200 元,预订 15 张下表中球类比赛的门票. 比赛项目 足球 篮球 乒乓球 票价(元/场) 100 80 60

若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下, 该球迷想预订上表中三种球类比赛 门票, 其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同, 且篮球比赛门票的费用不超过足球比 赛门票的费用,求可以预订的足球比赛门票数. 【解】 设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是 n 张, 则足球比赛门票预订(15 -2n)张,由题意得 80n+60n+100?15-2n?≤1 200, ? ? ?80n≤100?15-2n?, ? ?n∈N*, 5 解得 5≤n≤5 , 14 由 n∈N 知,n=5,∴15-2n=5, 故可预订足球比赛门票 5 张. 12.(13 分)若实数 a、b、c 满足 b+c=5a -8a+11,b-c=a -6a+9,试比较 a、b、
2 2 *

c 的大小.
【解】 ∵b-c=a -6a+9=(a-3) ≥0, ∴b≥c.①
? ?b+c=5a -8a+11, 又? 2 ?b-c=a -6a+9, ?
2 2 2

∴c=2a -a+1.
12

2

? 1?2 1 2 则 c-a=2a -2a+1=2?a- ? + >0, ? 2? 2
∴c>a.② 由①②得 b≥c>a.

第二节 一元二次不等式及其解法 [考情展望] 1.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题.2.会从实 际情景中抽象出一元二次不等式模型.3.以函数、 导数为载体, 考查不等式的参数范围问题.

一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 判别式 Δ =b -4ac
2

Δ >0

Δ =0

Δ <0

二次函数

y=ax +bx+c (a>0)的图象

2

一元二次方程

ax +bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

2

有两相异实根 x1,x2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}

有两相等实根 x1=x2=- {x|x≠x1} ?

b 2a

没有实数根 R ?

不等式恒成立问题的解法 不等式 ax +bx+c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 时,b=0,c>0;
2

13

?a>0, ? ? 当 a≠0 时, ?Δ <0; ?

不等式 ax +bx+c<0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0

2

? ?a<0, 时,b=0,c<0;当 a≠0 时,? ?Δ <0. ?

1.不等式 2x -x-1>0 的解集是(

2

)

? 1 ? A.?- ,1? ? 2 ?
B.(1,+∞) C.(-∞,1)∪(2,+∞) 1? ? D.?-∞,- ?∪(1,+∞) 2? ? 【答案】 D

x-1 2.不等式 ≤0 的解集为( 2x+1
? ? ? 1 A.?x?- <x≤1 ? ? ? 2 ? ? ? 1 C.?x?- ≤x≤1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

)
? ? 1 ? B.?x?x≥1或x<- 2 ? ? ? ? ? ? 1 D.?x?x≥1或x≤- 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

【答案】 A 3.函数 y= 1 6-x-x
2

的定义域是



【答案】 {x|-3<x<2}

? 1 1? 2 4.一元二次不等式 ax +bx+2>0 的解集是?- , ?,则 a+b 的值是 ? 2 3?
【答案】 -14



5.(2013·重庆高考)关于 x 的不等式 x -2ax-8a <0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-

2

2

x1=15 ,则 a= (
A. C. 5 2 15 4 7 B. 2 15 D. 2

)

14

【答案】 A 6. 已知关于 x 的不等式 x -ax+2a>0 在 R 上恒成立, 则实数 a 的取值范围是 【答案】 (0,8)
2



考向一 [102] 一元二次不等式的解法 已知不等式 ax -3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b 的值; (2)解不等式 ax -(ac+b)x+bc<0. 【尝试解答】 (1)因为不等式 ax -3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b},所以 x1=1 与 x2=b 是方程 ax -3x+2=0 的两个实数根,b>1 且 a>0.由根与系数的关系, 3 ? ?1+b=a, 得? 2 ?1×b=a. ?
2 2 2 2 2

解得?

? ?a=1, ?b=2. ?

(2)不等式 ax -(ac+b)x+bc<0, 即 x -(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. 当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为?. 所以,当 c>2 时,不等式 ax -(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式 ax -(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式 ax -(ac+b)x+bc<0 的解集为?. 规律方法 1 1.解一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别式 符号判断对应方程根的情况,然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次.一般按下面次序进行讨论; 首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即 Δ 的符号进行分类,最后 当根存在时,根据根的大小进行分类. 对点训练 (1)不等式 ax +bx+c>0 的解集为{x|2<x<3},则不等式 ax -bx+c>0 的解集为 .
2 2 2 2 2 2

【答案】 {x|-3<x<-2}
15

1 (2)a∈R,解关于 x 的不等式 x- ≥a(x-1).

x

【解】 原不等式可转化为 (1)当 a=1 时,(*)式为

?x-1?[?1-a?x+1] ≥0(*)

x

x-1 ≥0,解得 x<0 或 x≥1. x

1 ? ? ?1-a??x-1??x+ ? ? 1-a? (2)当 a≠1 时,(*)式为 ≥0

x

①若 a<1,则 a-1<0,

1

a-1

<0,解得 1

1

a-1

≤x<0,或 x≥1; 1 ;

②若 1<a≤2,则 1-a<0, ③若 a>2,则 a-1>1,0<

a-1

≥1,解得 x<0,或 1≤x≤

a-1

1 1 <1,1-a<0,解得 x<0,或 ≤x≤1; a-1 a-1

综上,当 a=1 时,不等式解集为{x|x<0 或 x≥1}. 当 a<1 时,不等式解集为?x?
? ? ? ?

? 1 ≤x<0,或x≥1 ?a-1

? ? ?. ? ?

当 1<a≤2 时,不等式解集为
? ? ? 1 ?x?x<0,或1≤x≤ a - 1 ? ? ? ? ? ?. ? ? ? ? ? ?

当 a>2 时,不等式解集为?x?x<0,或

? ?

1 ≤x≤1 a-1

? ? ?. ? ?

16

考向二 [103] 不等式恒成立问题 设函数 f(x)=mx -mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 【尝试解答】 (1)要使 mx -mx-1<0 恒成立, 若 m=0,显然-1<0; 若 m≠0,
? ?m<0 则? 2 ?Δ =m +4m<0 ?
2 2

? -4<m<0.

所以 m 的取值范围为{m|-4<m≤0}. (2)要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立,只需 mx -mx+m<6 恒成立(x∈[1,3]),
2

? 1?2 3 2 又因 x -x+1=?x- ? + >0, ? 2? 4
所以 m< 6 6

x2-x+1

. = 6 ,

因为 y=

x2-x+1 ? 1?2 3 ?x- ? +

?

2?

4

? 1?2 3 由 t=?x- ? + 在[1,3]上是增函数, ? 2? 4
∴y= 6

x2-x+1

在[1,3]上是减函数,

6 因此函数的最小值 ymin= . 7 6 所以,m 的取值范围是{m|m< }. 7 规律方法 2 1.对于一元二次不等式恒成立问题, 恒大于 0 就是相应的二次函数的图象 在给定的区间上全部在 x 轴上方, 恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部 在 x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是 主元,求谁的范围,谁就是参数. 对点训练 (1)(2015·衡水模拟)若 a∈R,且对一切实数 x 都有 ax +ax+a+3>0,那 么 a 的取值范围是( A.(0,+∞) C.(-∞,-4) ) B.[0,+∞) D.(-∞,-4]∪(0,+
17
2

∞)

? 1? 2 (2)(2015·郑州模拟)若不等式 x +ax+1≥0 对一切 x∈?0, ?都成立,则 a 的最小值 ? 2?
是 . 5 【答案】 (1)B (2)- 2 (3)若 x∈[-1,+∞)时,x -2ax+2≥a 恒成立,试求 a 的取值范围. 【解】 法一 令 f(x)=x -2ax+2,x∈[-1,+∞),
2 2

f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为 x=a.
(1)当 a∈(-∞,-1)时,结合图象知,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(- 1)=2a+3. 要使 f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a, 即 2a+3≥a,解得-3≤a<-1; (2)当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a , 由 2-a ≥a,解得-2≤a≤1,∴-1≤a≤1. 综上所述,所求 a 的取值范围为-3≤a≤1. 法二 由已知得 x -2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒成立, 令 f(x)=x -2ax+2-a, Δ >0, ? ? 即 Δ =4a -4(2-a)≤0 或?a<-1, ? ?f?-1?≥0.
2 2 2 2 2

解得-3≤a≤1. 故 a 的取值范围为{a|-3≤a≤1}. 考向三 [104] 一元二次不等式的实际应用 行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能 停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离 s(m)与汽车的车 速 v(km/h)满足下列关系:s= + (n 为常数,且 n∈N),做了两次刹车试验,有关试 100 400
? ?6<s1<8, 验数据如图 6-2-1 所示,其中? ?14<s2<17. ?

nv

v2

18

图 6-2-1 (1)求 n 的值; (2)要使刹车距离不超过 12.6 m,则行驶的最大速度是多少? 【尝试解答】 (1)由试验数据知,

s1= n+4,s2= n+ ,
2 6< n+4<8, ? ? 5 ∴? 7 49 14< n+ <17, ? ? 10 4 又 n∈N,∴取 n=6. 3v v (2)由(1)知,s= + ,v≥0. 50 400 3v v 依题意,s= + ≤12.6, 50 400 即 v +24v-5 040≤0,解之得-84≤v≤60. 注意到 v≥0,所以 0≤v≤60. 故行驶的最大速度为 60 km/h. 规律方法 3 1.(1)求解本例的关键是文字语言、图形语言,符号语言之间的合理转
2 2 2 2

2 5

7 10

49 4

5<n<10, ? ? 解之得?5 95 <n< . ? 14 ?2

3v v 化.(2)避免忽视 v≥0 的限制条件,及 + ≤12.6 中的等号. 50 400 2.解不等式的实际应用中,常以函数模型为载体,解题时要理清题意,准确找出其中 的不等关系,引进数学符号恰当表示,最后用不等式的解回答实际问题. 对点训练 某种商品,现在定价 p 元,每月卖出 n 件,设定价上涨 x 成,每月卖出数量 减少 y 成,每月售货总金额变成现在的 z 倍. (1)用 x 和 y 表示 z;

19

2 (2)若 y= x,求使每月售货总金额有所增加的 x 值的范围. 3 【解】 (1)按现在的定价上涨 x 成时,上涨后的定价为 p?1+ ?元,每月卖出数量为 ? 10?

?

x?

y? ? n?1- ?件,每月售货总金额是 npz 元, 10

?

?

因而 npz=p?1+ ?·n?1- ?, ? 10? ? 10? ?10+x??10-y? 所以 z= . 100 2 ? ? ?10+x??10- x? 3 2 ? ? (2)当 y= x 时,z= , 3 100 要使每月售货总金额有所增加,即 z>1, 2 ? ? 应有(10+x)·?10- x?>100, 3 ? ? 即 x(x-5)<0,所以 0<x<5,所以,要使每月售货总金额有所增加,则 x 的取值范围是 (0,5).

?

x?

?

y?

思想方法之十四 数形结合巧解不等式 不等式中的数形结合问题, 在解题时既要想形又要以形助数, 常见的“以形助数”的方 法有: (1)借助数轴,运用数轴的有关概念,解决与绝对值有关的问题,解决数集的交、并、 补运算非常有效. (2)借助函数图象,利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法,需注意 的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化. —————————— [1 个示范例] ————— (2013·四川高考)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x) =x -4x,那么,不等式 f(x+2)<5 的解集是 【解析】 设 x<0,则-x>0. ∵当 x≥0 时,f(x)=x -4x,∴f(-x)=(-x) -4(-x). ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,
2 2 2



20

∴f(-x)=f(x),∴f(x)=x +4x(x<0),
? ?x -4x,x≥0, ∴f(x)=? 2 ?x +4x,x<0. ?
2

2

由 f(x)=5 得?

?x -4x=5, ? ? ?x≥0

2

或?

?x +4x=5, ? ? ?x<0,

2

∴x=5 或 x=-5. 观察图象可知 f(x)<5,得-5<x<5. ∴由 f(x+2)<5,得-5<x+2<5,∴-7<x<3. ∴不等式 f(x+2)<5 的解集是{x|-7<x<3}. ————————— [1 个对点练] ——————— (2015·镇江模拟)已知函数 f(x)=x +ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为 【解析】 法一:f(x)=x +ax+b=?x+ ? +b- . 4 ? 2?
2 2


2

?

a?2

a

4b-a a 2 2 由题意 =0,即 a -4b=0,所以不等式 f(x)<c 可转化为 x +ax+ -c<0,由已 4 4

2

2

m+m+6=-a, ? ? 知可得 m,m+6 为方程 x +ax+ -c=0 的两根,则? a2 4 m?m+6?= -c, ? 4 ?
2

a2

a [-?2m+6?] 所以 c= -m(m+6)= -m(m+6) 4 4
=m +6m+9-m -6m=9. 法二:f(x)=x +ax+b=?x+ ? +b- . 4 ? 2?
2 2 2

2

2

?

a?2

a2

4b-a 2 由题意 =0,即 a -4b=0, 4

2

21

所以不等式 f(x)<c,即 x +ax+ <c, 4 即?x+ ? <c,由已知必有 c>0, ? 2? 且- c- <x< c- , 2 2

2

a2

?

a?2

a

a

? ? 即不等式解集是?- c- , c- ?,于是 2 2? ?
a a a a m=- c- ,m+6= c- ,
2 2

a? ? a? ? 因此(m+6)-m=? c- ?-?- c- ?=2 c,故 c=9. 2 2? ? ? ?
【答案】 9 课时限时检测(三十五) 一元二次不等式及其解法 (时间:60 分钟 满分:80 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1 2 1.设 x∈R,则“x> ”是“2x +x-1>0”的( 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 1? ? 1 2 2 2.已知不等式 ax -bx-1≥0 的解集是?- ,- ?,则不等式 x -bx-a<0 的解集是 3? ? 2 ( ) A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞) 1? ?1 ? ? D.?-∞, ?∪? ,+∞? 3? ?2 ? ? )

?1 1? C.? , ? ?3 2?
【答案】 A

? ? ??1 3.(2013·湖北高考)已知全集为 R,集合 A= ?x?? ? ??2 ?

? ?x ? ? ≤1?,B={x|x2-6x+8≤0}, ? ? ?

则 A∩?RB=( A.{x|x≤0}

)

B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2 或 x>4}
22

D.{x|0<x≤2 或 x≥4} 【答案】 C 4.若不等式 x +ax-2>0 在区间[1,5]上有解,则 a 的取值范围是(
2

)

? 23 ? A.?- ,+∞? ? 5 ?
C.(1,+∞) 【答案】 B

? 23 ? B.?- ,1? ? 5 ?
23? ? D.?-∞,- ? 5? ?

5.不等式 x -2x+5≥a -3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 ( A.[-1,4] B.(-∞,-2]∪[,5+∞) C.(-∞,-1)∪[4,+∞) D.[-2,5] 【答案】 A
? ?x -4x+6,x≥0, 6.设函数 f(x)=? ?x+6,x<0, ?
2

2

2

)

则不等式 f(x)>3 的解集是(

)

A.(-3,1)∪(3,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) 【答案】 A 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

B.(-3,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)

7.(2013·广东高考)不等式 x +x-2<0 的解集为 【答案】 (-2,1) 8. 已知关于 x 的不等式 【答案】 -2

2



ax-1 1 <0 的解集是{x|x<-1 或 x>- }, 则实数 a= x+1 2

.

9.若不等式 x -2ax+a>0 对一切实数 x∈R 恒成立,则关于 t 的不等式 at +2t-3< 1 的解集为 .

2

2

【答案】 {t|t<-3 或 t>1} 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)解关于 x 的不等式 x -(a+a )x+a <0(a∈R). 【解】 原不等式可化为(x-a)(x-a )<0, (1)当 a=a 即 a=0 或 a=1 时,原不等式变为 x <0 或(x-1) <0,解集为?; (2)当 a>a 即 0<a<1 时, 解集为{x|a <x<a};
23
2 2 2 2 2 2 2 2 3

(3)当 a >a 即 a<0 或 a>1 时,解集为{x|a<x<a }; 综上得:原不等式的解集为: 当 a=0 或 a=1 时,为?; 当 0<a<1 时,为{x|a <x<a}; 当 a<0 或 a>1 时,为{x|a<x<a }. 11.(12 分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律: 每生产产品 x(百台),其总成本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台的 生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入(万元)R(x)满足
? ?-0.4x +4.2x-0.8,0≤x≤5, R(x)=? ?10.2,x>5. ?
2 2 2

2

2

假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律: (1)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时盈利最大?求此时每台产品的售价为多少? 【解】 依题意得 G(x)=x+2,设利润函数为 f(x), 则 f(x)=R(x)-G(x),
?-0.4x +3.2x-2.8,0≤x≤5, ? 所以 f(x)=? ?8.2-x,x>5. ?
2

(1)要使工厂有盈利,则有 f(x)>0, 因为 f(x)>0
? ?0≤x≤5, ∴? 2 ?-0.4x +3.2x-2.8>0 ? ?0≤x≤5, ? ∴? 2 ? ?x -8x+7<0 ? ?x>5, 或? ?8.2-x>0. ?

或 5<x<8.2.

∴1<x≤5 或 5<x<8.2,即 1<x<8.2. 所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于 100 台小于 820 台的范围内. (2)0≤x≤5 时,f(x)=-0.4(x-4) +3.6, 故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6. 而当 x>5 时,f(x)<8.2-5=3.2 所以当工厂生产 400 台产品时,盈利最大, 此时,
2

R?4?
4

=2.4(万元/百台)=240(元/台).

即每台产品的售价为 240 元. 12.(13 分)设函数 f(x)=ax -3x+1,若对于任意 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0 成立, 求实数 a 的值.
24
3

【解】 (1)若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)=1>0 恒成立. 3 1 3 (2)若 x∈(0,1]时,f(x)=ax -3x+1≥0 化为 a≥ 2- 3.

x

x

3 1 3?1-2x? 设 g(x)= 2- 3,则 g′(x)= . 4

x

x

x

? 1? ?1 ? ∴g(x)在区间?0, ?上单调递增,在区间? ,1?上单调递减. ? 2? ?2 ?
1 ∴g(x)max=g( )=4,从而 a≥4. 2 3 1 3 (3)若 x∈[-1,0)时,f(x)=ax -3x+1≥0 化为 a≤ 2- 3.

x

x

3 1 3?1-2x? 设 h(x)= 2- 3,则 h′(x)= , 4

x

x

x

∴h(x)在[-1,0)上单调递增. ∴h(x)min=h(-1)=4,从而 a≤4. 综上所述,实数 a 的值为 4.

第三节 [ 考情展望 ]

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1. 考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值 ( 或取值范

围).2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围.3.利用线性规划方法设计解决实际 问题的最优方案.

一、二元一次不等式表示的平面区域及其判断方法 1.二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线 Ax+By+C=0 分成三类: (1)满足 Ax+By+C=0 的点; (2)满足 Ax+By+C>0 的点; (3)满足 Ax+By+C<0 的点. 2.二元一次不等式表示平面区域的判断方法

25

直线 l: Ax+By+C=0 把坐标平面内不在直线 l 上的点分为两部分, 当点在直线 l 的同 一侧时,点的坐标使式子 Ax+By+C 的值具有相同的符号,当点在直线 l 的两侧时,点的坐 标使 Ax+By+C 的值具有相反的符号. 二、线性规划中的基本概念 名称 线性约束条件 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于 x,y 的一次解析式 满足线性约束条件的解(x,y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值同直线 z-ax-by=0 在 y 轴上截距的关系 求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,利用其几何意义,通过求 y=- x+ 的截 距 的最值间接求出 z 的最值. (1)当 b>0 时,截距 取最大值时,z 也取最大值;截距 取最小值时,z 也取最小值. (2)当 b<0 时,结论与 b>0 的情形恰好相反.

a b

z b

z b

z b

z b

1.不等式组?

? ?x-3y+6≥0 ?x-y+2<0 ?

表示的平面区域是(

)

【答案】 B
26

y≤2, ? ? 2.已知变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, ? ?x-y≤1,
A.12 【答案】 B B.11 C.3 D.-1

则 z=3x+y 的最大值为(

)

3.某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一 箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品, 每千克 A 产品获利 40 元. 乙车间加工一 箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间 每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时, 甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )

A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 【答案】 B

x≥1, ? ? 4 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 不 等 式 组 ?x+y≤0, ? ?x-y-4≤0
是 . 【答案】 1

表示的平面区域的面积

x+y≤2, ? ? 5.(2013·福建高考)若变量 x,y 满足约束条件?x≥1, ? ?y≥0,
和最小值分别为( A.4 和 3 C.3 和 2 【答案】 B ) B.4 和 2

则 z=2x+y 的最大值

D.2 和 0

x+2y-4≤0, ? ? 6.(2014·浙江高考)当实数 x,y 满足?x-y-1≤0, ? ?x≥1
则实数 a 的取值范围是 .

时,1≤ax+y≤4 恒成立,

27

? 3? 【答案】 ?1, ? 2 ? ?

考向一 [105] 二元一次不等式(组)表示的平面区域 2x+y-6≤0, ? ? (1)不等式组?x+y-3≥0, ? ?y≤2, A.4 B.1 C.5 D.6 4 所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两 3

表示的平面区域的面积为(

)

x≥0, ? ? (2)若不等式组?x+3y≥4, ? ?3x+y≤4,
部分,则 k 的值是( A. C. 7 3 4 3 3 B. 7 3 D. 4 )

【答案】 (1)B (2)A 规律方法 1 4 ? 4? 1.解答本例(2)的关键是根据直线 y=kx+ 过定点?0, ?,利用面积相等 3 ? 3?

确定直线所经过的边界上的点. 2.二元一次不等式(组)表示平面区域的判定方法: (1)同号上, 异号下. 当 B(Ax+By+C)>0 时, 区域为直线 Ax+By+C=0 的上方, 当 B(Ax +By+C)<0 时,区域为直线 Ax+By+C=0 的下方. (2)直线定界、特殊点定域.应注意是否包括边界,若不包括边界,则应将边界画成虚 线;若直线不过原点,特殊点常选取原点. 0≤x≤2, ? ? 对点训练 已知关于 x,y 的不等式组?x+y-2≥0, ? ?kx-y+2≥0 4,则 k 的值为( A.1 ) C.1 或-3 D.0
28

所表示的平面区域的面积为

B.-3

【答案】 A

考向二 [106] 求目标函数的最值
? ?1≤x≤3, (2013·课标全国卷Ⅰ改编)设 x,y 满足约束条件? ? ?-1≤x-y≤0,

(1)求 z=2x-y 的最大值. (2)若 z= x +y ,求 z 的取值范围. 【尝试解答】 (1)作出可行域,进一步探索最大值. 作出可行域如图阴影部分. 作直线 2x-y=0,并向右平移,当平移至直线过点 B 时,
2 2

z=2x-y 取最大值.
而由?
?x=3, ? ?x-y=0, ?

得 B(3,3).

∴zmax=2×3-3=3. (2)z= x +y 表示可行域内的点到原点的距离,观察可 行域知, 可行域内的点 A 和点 C 到原点的距离分别为最大和最 小. 又由?
? ?x=1 ?x-y=0 ?
2 2

得 A(1,1).

由?

?x=3 ? ? ?x-y=-1

得 C(3,4).
2 2

故|OA|= 1+1= 2,|OC|= 3 +4 =5. ∴z 的取值范围为[ 2,5]. 规律方法 2 1.本例求解的关键在于:(1)准确作出可行域;(2)明确目标函数的几何意 义. 2. (1)线性目标函数 z=ax+by 的几何意义与直线 ax+by-z=0 在 y 轴上的截距有关, 当 b>0 时,直线 ax+by-z=0 在 y 轴上的截距越大,z 值越大;当 b<0 时,情况相反. (2)常见的非线性目标函数的几何意义:
2 2

y- b 表示点 (x, y) 与点 (a, b)连线的斜率; x- a

?x-a? +?y-b? 表示点(x,y)与点(a,b)的距离.

y≤x, ? ? 对点训练 (1)(2014·广东高考)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1,

且 z=2x

29

+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,则 m-n=( A.5 B.6 C.7 D.8

)

?x-y-1≤0, ? (2)(2014·山东高考)已知 x,y 满足约束条件? ? ?2x-y-3≥0,

当目标函数 z=ax+ )

by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值 2 5时,a2+b2 的最小值为(
A.5 C. 5 B.4 D.2

x+y-2≥0, ? ? (3)(2014·北京高考)若 x,y 满足?kx-y+2≥0, ? ?y≥0, k 的值为(
A.2 C. 1 2 ) B.-2 1 D.- 2

且 z=y-x 的最小值为-4,则

【答案】 (1)B (2)B (3)D

考向三 [107] 线性规划的实际应用 某企业生产 A,B 两种产品,生产每吨产品所需的劳动力、煤和电耗如 下表: 产品品种 劳动力(个) 3 10 煤(吨) 9 4 电(千瓦) 4 5

A 产品 B 产品

已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元,生产每吨 B 产品的利润是 12 万元,现因条件限 制,该企业仅有劳动力 300 个,煤 360 吨,并且供电局只能供电 200 千瓦,试问该企业如何 安排生产,才能获得最大利润? 【尝试解答】 设生产 A,B 两种产品分别为 x 吨,y 吨,利润为 z 万元,依题意,得 3x+10y≤300, ? ?9x+4y≤360, ?4x+5y≤200, ? ?x≥0,y≥0. 目标函数为 z=7x+12y. 作出可行域,如图阴影所示.

30

当直线 7x+12y=0 向右上方平行移动时,经过 M 时 z 取最大值.
?3x+10y=300, ? 解方程组? ? ?4x+5y=200,

得?

?x=20, ? ? ?y=24.

因此,点 M 的坐标为(20,24). ∴该企业生产 A,B 两种产品分别为 20 吨和 24 吨时,才能获得最大利润. 规律方法 3 1.求解本例的关键是找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,转化为 简单的线性规划问题.为寻找各量之间的关系,最好是列出表格. 2.解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分析题意,设出未知量;(2)列出线性约束 条件和目标函数;(3)作出可行域并利用数形结合求解;(4)作答. 对点训练 某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大, 求黄瓜和韭菜的种植 面积(单位:亩)分别是多少亩? 【解】 设种植黄瓜 x 亩,韭菜 y 亩,由题意得

x+y≤50, ? ? ?1.2x+0.9y≤54, ? ?x,y∈N*.

x+y≤50, ? ? 即?4x+3y≤180, ? ?x,y∈N*.

设总利润为 z,则 z=x+0.9y. 作可行域如图所示,

31

由?

? ?x+y=50, ?4x+3y=180. ?

得 A(30,20).

当目标函数线 l 向右平移,移至点 A(30,20)处时,目标函数取得最大值,即当黄瓜种 植 30 亩,韭菜种植 20 亩时,种植总利润最大. ∴黄瓜和韭菜分别种植 30 亩、20 亩时,一年种植的总利润最大.

思想方法之十五 数形结合破解线性规划中参变量问题 线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值问题, 从图形上找思路恰好体现了数形 结合思想的应用. 含参变量的线性规划问题,其参变量的设置形式通常有以下两种: (1)条件中的参变量:条件不等式组中含有参变量,由于不能明确可行域的形状,因此 增加了解题时画图分析的难度. 求解这类问题时要有全局观念, 结合目标函数逆向分析题意, 整体把握解题的方向. (2)目标函数中的参变量:目标函数中设置参变量,旨在增加探索问题的动态性和开放 性.从目标函数的结论入手,对图形的动态进行分析,对变化过程中的相关量准确定位,这 是求解这类问题的主要思维方法. —————————— [1 个示范例] —————

32

(2013· 课 标 全 国 卷 Ⅱ ) 已 知 a > 0 , x , y 满 足 约 束 条 件

x≥1, ? ? ?x+y≤3, ? ?y≥a?x-3?.
A. 1 4 1 B. 2

若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=(

)

C.1

D.2

【解析】 作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).

易知直线 z=2x+y 过交点 A 时,z 取最小值, 由?
? ?x=1, ?y=a?x-3?, ?

得?

? ?x=1, ?y=-2a, ?

1 ∴zmin=2-2a=1,解得 a= ,故选 B. 2 ———————— [1 个对点练] ——————— (2014·课标全国卷Ⅰ)设 x, y 满足约束条件? 7,则 a=( A.-5 C.-5 或 3 ) B.3 D.5 或-3
?x+y≥a, ? ? ?x-y≤-1,

且 z=x+ay 的最小值为

【解析】 当 a=-5 时,作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).

33

由?

? ?x-y=-1, ? ?x+y=-5

得交点 A(-3,-2),

则目标函数 z=x-5y 过 A 点时取得最大值.

zmax=-3-5×(-2)=7,不满足题意,排除 A,C 选项.
当 a=3 时,作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).

由?

? ?x-y=-1, ?x+y=3 ?

得交点 B(1,2),则目标函数 z=x+3y 过 B 点时取得最小值.zmin=1

+3×2=7,满足题意. 【答案】 B

34

课时限时检测(三十六) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 (时间:60 分钟 满分:80 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)

x-y+5≥0, ? ? 1.不等式组?y≥a, ? ?0≤x≤3,
A.a<5 C.5≤a<8 【答案】 C

表示的平面区域是一个三角形,则 a 的范围是(

)

B.a≥8 D.a<5 或 a≥8

2.如果点(1,b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 和 3x-4y+5=0 之间,则 b 应取的整 数值为( A.2 C.3 【答案】 B 3.已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是( A.(1- 3,2) C.( 3-1,2) 【答案】 A ) B.(0,2) D.(0,1+ 3) ) B.1 D.0

x-y+1≥0, ? ? 4.(2013·课标全国卷Ⅱ)设 x,y 满足约束条件?x+y-1≥0, ? ?x≤3,
小值是( A.-7 C.-5 【答案】 B ) B.-6 D.-3

则 z=2x-3y 的最

5.(2013·湖北高考)某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要 求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为( A.31 200 元 C.36 800 元 B.36 000 元 D.38 400 元 )

35

【答案】 C

x+y≥2, ? ? 6.已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1),若点 M(x,y)为平面区域?x≤1, ? ?y≤2
→ → 个动点,则OA·OM的取值范围是( A.[-1,0] C.[0,2] 【答案】 C 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) B.[0,1] D.[-1,2] )

上的一

x-4y+3≤0, ? ? 7.已知点 P(x,y)满足?3x+5y≤25, ? ?x-1≥0,
标原点)的最大值为 【答案】 22 5 .

→ 定点为 A(2,0),则|OP|sin∠AOP(O 为坐

x+2y-3≤0, ? ? 8.已知变量 x,y 满足约束条件?x+3y-3≥0, ? ?y-1≤0,
仅在点(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围为

若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)



?1 ? 【答案】 ? ,+∞? ?2 ?
→ 9.(2013·北京高考)已知点 A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域 D 由所有满足AP → → =λ AB+μ AC(1≤λ ≤2,0≤μ ≤1)的点 P 组成,则 D 的面积为 【答案】 3 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁 矿石的价格 c 如下表: .

a A B
50% 70%

b(万吨)
1 0.5

c(百万元)
3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),求购买铁矿 石的最少费用为多少百万元?

36

【解】 设购买铁矿石 A 为 x 万吨,购买铁矿石 B 为 y 万吨,总费用为 z 百万元. 0.5x+0.7y≥1.9, ? ?x+0.5y≤2, 根据题意得? x≥0, ? ?y≥0. 5x+7y≥19, ? ?2x+y≤4, 整理为? x≥0, ? ?y≥0. 线性目标函数为 z=3x+6y 画可行域如图所示:

当 x=1,y=2 时,z 取得最小值, ∴zmin=3×1+6×2=15(百万元). 故购买铁矿石的最少费用为 15 百万元.

x≥2, ? ? 11. (12 分)(2013·浙江高考改编)设 z=kx+y, 其中实数 x, y 满足?x-2y+4≥0, ? ?2x-y-4≤0.
若 z 的最大值为 12,求实数 k 的值. 1 【解】 作出可行域如下图中阴影所示,由图可知,当 0≤-k< 时,直线 y=-kx+z 2 1 经过点 M(4,4)时 z 最大,所以 4k+4=12,解得 k=2(舍去);当-k≥ 时,直线 y=-kx 2 9 +z 经过点 N(2,3)时 z 最大,所以 2k+3=12,解得 k= (舍去);当-k<0 时,直线 y=- 2

kx+z 经过点 M(4,4)时 z 最大,所以 4k+4=12,解得 k=2,符合.综上可知,k=2.

37

a+b≤4c, ? ?3a+b≥5c, 12.(13 分)已知正数 a、b、c 满足约束条件? a b≥c·e . ? ? c
取值范围. 【解】 作不等式组

其中 c 为参数,求 的

b a

a+b≤4c, ? ?3a+b≥5c, ? a ? ?b≥c·ec.

表示的平面区域如图所示.

又 k= 表示平面区域内的动点 P(a,b)与原点 O(0,0)连线的斜率.
?a+b=4c, ? ?3a+b=5c, ?

b a

由?

c 7 得 a= 且 b= c, 2 2

?c 7 ? 即 A? , c?, ?2 2 ?
∴OA 的斜率最大,即? ?max=7, a 设点 B?x0,c·e ?是函数 b=c·e 图象上任意一点. c

?b? ? ?

? ?

x0?

?

a c

则曲线 b=c·e 的切线 OB 的斜率最小.

a c

a 1 a 又 b′=c·e · =e , c c c
∴kOB=b′|a=x0=e ,

x0 c

38

x0 c·e c 又 kOB= . x0 x0 c·e c x0 ∴ =e ,从而 x0=c, x0 c
则点 B(c,ce). 经检验知,点 B(c,ce)在可行域, 此时,kOB=e =e =e. 因此? ?min=kOB=e. 所以 的取值范围为[e,7].

x0 c

c c

?b? ?a?
b a

第四节 [考情展望] 决实际问题. 1.利用基本不等式 ab≤ 2

基本不等式 求最值、证明不等式.2.利用基本不等式解

a+b

一、基本不等式 ab≤

a+b
2

1.基本不等式成立的条件:a>0,b>0. 2.等号成立的条件:当且仅当 a=b 时等号成立. 3.其中

a+b
2

称为正数 a,b 的算术平均数, ab称为正数 a,b 的几何平均数.

由公式 a +b ≥2ab 和 ab≤ (1) + ≥2(a,b 同号);

2

2

a+b
2

可以引申出的常用结论

b a a b

39

(2) + ≤-2(a,b 异号); 2 a+b (3) ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 +

b a a b

a2+b2
2

(a>0,b>0)(或 ab≤?

?a+b?2≤a +b (a>0,b>0). ? 2 ? 2 ?

2

2

a b

二、利用基本不等式求最大、最小值问题 1.如果 x,y∈(0,+∞),且 xy=P(定值). 那么当 x=y 时,x+y 有最小值 2 P.(简记:“积定和最小”) 2.如果 x,y∈(0,+∞),且 x+y=S(定值). 那么当 x=y 时,xy 有最大值 .(简记:“和定积最大”) 4

S2

1 1.函数 y=x+ (x>0)的值域为(

x

)

A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(0,+∞) C.[2,+∞) D.(2,+∞) 【答案】 C 2.已知 m>0,n>0,且 mn=81,则 m+n 的最小值为 ( A.18 【答案】 A 3.设 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时,x 的值为( A. C. 1 3 3 4 1 B. 2 2 D. 3 ) B.36 C.81 D.243 )

【答案】 B

40

4.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均 仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用 8 与仓储费用之和最小,每批应生产产品应为 【答案】 80 件.

x

5.下列不等式一定成立的是(

)

? 2 1? A.lg?x + ?>lg x(x>0) 4? ?
B.sin x+
2

1 ≥2(x≠kπ ,k∈Z) sin x

C.x +1≥2|x|(x∈R) D. 1 >1(x∈R) x +1
2

【答案】 C 6.(2013·四川高考)已知函数 f(x)=4x+ (x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,则 a = . 【答案】 36

a x

考向一 [108] 利用基本不等式求最值 (1)下列命题中正确的是( 1 A.y=x+ 的最小值是 2 )

x

4 B.y=2-3x- (x>0)的最大值是 2-4 3

x

4 2 C.y=sin x+ 2 的最小值是 4 sin x 4 D.y=2-3x- (x<0)的最小值是 2-4 3

x

(2)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是

41

( A. 24 5 28 B. 5 C.5 D.6

)

【答案】 (1)B (2)C 规律方法 1 1.第(1)题的解题关键是“逐一验证均值不等式的适用条件”. 第(2)小题 求解的关键是条件的恰当变形与“1”的代换, 常见错误是条件与结论分别利用基本不等式, 导致错选 A,根本原因忽视等号成立条件. 2.利用基本不等式求函数最值时,注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和 最小”.常用的方法为拆、凑、代换、平方. 3 4 对点训练 (1)已知 x>0,y>0,且 x+y=1,且 + 的最小值是

x y

. .

(2)设 x,y 为实数,若 x +y +xy=1,则 x+y 的最大值是

2

2

(3)(2014·四川高考)设 m∈R, 过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y -m+3=0 交于点 P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是 A.[ 5,2 5] C.[ 10,4 5] 【答案】 (1)7+4 3 2 (2) 3 3 (3)B B.[ 10,2 5] D.[2 5,4 5] .

考向二 [109] 简单的不等式证明 (2013·课标全国卷Ⅱ)设 a, b, c 均为正数, 且 a+b+c=1, 证明: (1)ab 1 a b c +bc+ca≤ ;(2) + + ≥1. 3 b c a 【尝试解答】 (1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca, 得 a +b +c ≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c) =1. 即 a +b +c +2ab+2bc+2ca=1. 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ . 3 (2)因为 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c, 故 + + +(a+b+c)≥2(a+b+c), 即 + + ≥a+b+c.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a2 b

b2 c

c2 a

a2 b2 c2 b c a a2 b2 c2 b c a

42

所以 + + ≥1. 规律方法 2 1.“1”的代换是解决问题的关键,代换变形后能使用基本不等式是代换 的前提,不能盲目变形. 2.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式,通 过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果,必要时,也 需要运用“拆、拼、凑”的技巧,同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到. 考向三 [110] 基本不等式的实际应用 (2014·湖北高考)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车 流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 76 000v v 行驶,单位:米/秒),平均车长 l(单位:米)的值有关,其公式为 F= 2 . v +18v+20l (1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为 辆/时; 辆/时. 76 000 = 121 v· +18

a2 b2 c2 b c a

(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 【尝试解答】 (1)当 l=6.05 时,F= 76 000v 76 000 = ≤ v +18v+121 121 v+ +18 2
2

v

v

76 000 =1 900.当且仅当 v=11 米/秒时等号成立,此时车流量最大为 1 900 辆/时. 22+18 (2)当 l=5 时,F= 76 000v 76 000 = ≤ v2+18v+100 100 v+ +18 2 v 76 000 76 000 = =2 000.当 20+18 100 v· +18

v

且仅当 v=10 米/秒时等号成立,此时车流量最大为 2 000 辆/时.比(1)中的最大车流量增 加 100 辆/时. 【答案】 (1)1 900 (2)100 规律方法 3 解实际应用题要注意以下几点: (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数; (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值; (3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求 解. 对点训练 某厂家拟在 2013 年举行促销活动, 经调查测算, 该产品的年销售量(即该厂 的年产量)x 万件与年促销费用 m 万元(m≥0)满足 x=3-

k (k 为常数),如果不搞促销活 m+1

动,则该产品的年销售量只能是 1 万件.已知 2012 年生产该产品的固定投入为 8 万元,每 生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成
43

本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用). (1)将 2013 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 2013 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 【解】 (1)由题意知,当 m=0 时,x=1(万件), ∴1=3-k,即 k=2.∴x=3- 2

m+1

.

8+16x 又∵每件产品的销售价格为 1.5× (万元).

x

∴2012 年的利润

y=x?1.5×

? ?

8+16x?

x

?-(8+16x+m) ? ? ?
m+1? ?
2 ? -m

=4+8x-m=4+8?3- =29-??m+1?+

? ?

m+1? ?

16 ?

(m≥0).

(2)∵m≥0 时,(m+1)+

16 ≥2 16=8. m+1 16 =m+1, m+1

∴y≤29-8=21,当且仅当

即当 m=3(万元)时,ymax=21(万元). 所以该厂家 2013 年的促销费用投入为 3 万元时,厂家的利润最大,最大为 21 万元.

44

思想方法之十六 消元思想在基本不等式求最值中的巧用 所谓消元思想就是将未知数的个数由多化少, 逐一解决的思想方法. 由于应用基本不等 式“ ab≤

a+b
2

”求最值时需满足三个条件(一正、二定、三相等),且只限于“二元”范畴

之内,故对于多元求最值问题可采用消元思想,转化为“二元”问题. —————————— [1 个示范例] —————— (理)(2013·山东高考)设正实数 x,y,z 满足 x -3xy+4y -z=0,则
2 2

xy 2 1 2 当 取得最大值时, + - 的最大值为 z x y z
( A.0 B.1 9 C. 4 D.3 )

【解析】 含三个参数 x,y,z,消元,利用基本不等式及配方法求最值.

z=x2-3xy+4y2(x>0,y>0,z>0),


xy xy 1 1 = = ≤ =1. z x2-3xy+4y2 x 4y 4-3 + -3 y x x 4y 2 2 2 2 2 2 ,即 x=2y 时等号成立,此时 z=x -3xy+4y =4y -6y +4y =2y ,∴ y x

当且仅当 =

2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 ?1 ?2 + - = + - =- 2+ =-? -1? +1,∴当 y=1 时, + - 的最大值为 1. y x y z 2y y 2y2 y y x y z ? ? ————————— [1 个对点练] ———————

y2 设 x,y,z 为正实数,满足 x-2y+3z=0,则 的最小值是 xz
【解析】 由 x-2y+3z=0 可得 y= 所以 = =



x+3z
2



y2 x2+9z2+6xz xz 4xz

x 9z 3 + + 4z 4x 2

45

≥2

x 9z 3 · + 4z 4x 2

3 3 = + =3, 2 2 当且仅当 x=3z 时取“=”. 【答案】 3 课时限时检测(三十七) 基本不等式 (时间:60 分钟 满分:80 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.若函数 f(x)=x+ A.1+ 2 C.3 D.4 1

x-2

(x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=(

)

B.1+ 3

【答案】 C 2.下列不等式:①a +1>2a;② A.0 C.2 B.1 D.3
2

a+b 1 2 ≤2;③x + 2 ≥1,其中正确的个数是( x +1 ab

)

【答案】 B 3.(2013·福建高考)若 2 +2 =1,则 x+y 的取值范围是( A.[0,2] C.[-2,+∞) 【答案】 D 1 4 4.已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= + 的最小值是( B.[-2,0] D.(-∞,-2]
x y

)

a b

)

A. C.

7 2 9 2

B.4 D.5

【答案】 C 5.设 a,b,c 均大于 0,则“abc=1”是“ A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充分必要条件
46

1

a



1

b



1

c

≤a+b+c”的(

)

D.既不充分也不必要的条件 【答案】 A 6. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b), 其全程的平均时速为 v, 则( A.a<v< ab C. ab<v< B.v= ab D.v= )

a+b
2

a+b
2

【答案】 A 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1 1 7.若 a>0,b>0,且 ln(a+b)=0,则 + 的最小值是

a b



【答案】 4 8.某公司一年需购买某种货物 200 吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为 2 万元,一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运 费与总存储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是 【答案】 20 1 |a| 9.(2013·天津高考)设 a+b=2,b>0,则 + 的最小值为 2|a| b 【答案】 3 4 . .

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0, 求:(1)xy 的最小值;(2)x+y 的最小值. 【解】 ∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0, (1)xy=2x+8y≥2 16xy, ∴ xy≥8,∴xy≥64. 当且仅当 2x=8y 且 2x+8y-xy=0,即 y=4,x=16 时“=”成立. 故 xy 的最小值为 64. 2 8 (2)由 2x+8y=xy,得: + =1,

y x

?2 8? ∴x+y=(x+y)·1=(x+y)? + ? ?y x?
2x 8y =10+ + ≥10+8=18.

y

x

2x 8y 当且仅当 = 且 2x+8y-xy=0,即 y=4,x=16 时“=”成立.

y

x

故 x+y 的最小值为 18.
47

11.(12 分)已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: 1 1 1 ? 1?? 1? (1) + + ≥8;(2)?1+ ??1+ ?≥9.

a b ab

?

a??

b?

1 1 1 ?1 1? 【证明】 (1) + + =2? + ?,

a b ab

?a b?

∵a+b=1,a>0,b>0, 1 1 a+b a+b a b ∴ + = + =2+ + ≥2+2=4,

a b

a

b

b a

1 1 1 1 ∴ + + ≥8(当且仅当 a=b= 时等号成立). a b ab 2 (2)法一 ∵a>0,b>0,a+b=1, 1 a+b b ∴1+ =1+ =2+ ,

a

a

a

1 a 同理 1+ =2+ ,

b

b

? 1?? 1? ? b?? a? ∴?1+ ??1+ ?=?2+ ??2+ ? ?
a?? b? ? a?? b?

?b a? =5+2? + ?≥5+4=9. ?a b?
1 ? 1?? 1? ∴?1+ ??1+ ?≥9(当且仅当 a=b= 时等号成立). 2 ? a?? b? 1 1 1 ? 1?? 1? 法二 ?1+ ??1+ ?=1+ + + ,

?

a??

b?

a b ab

1 1 1 由(1)知, + + ≥8,

a b ab b?

1 1 1 ? 1?? 1? 故?1+ ??1+ ?=1+ + + ≥9.

?

a??

a b ab

12.(13 分)有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通 1 2 部门规定,大桥上的车距 d(m)与车速 v(km/h)和车长 l(m)的关系满足:d=kv l+ l(k 为正 2 的常数),假定车身长为 4 m,当车速为 60(km/h)时,车距为 2.66 个车身长. (1)写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式; (2)应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆是最多? 1 2.66l- l 2 2.16 【解】 (1)因为当 v=60 时,d=2.66l,所以 k= = 2 =0.000 6, 2 60 l 60 ∴d=0.002 4v +2.
2

48

1 000v 1 000v (2)设每小时通过的车辆为 Q,则 Q= ,即 Q= = 2 d+4 0.002 4v +6

1 000 6 0.002 4v+



v

6 ∵0.002 4v+ ≥2

v

6 0.002 4v× =0.24,

v

1 000 12 500 6 12 500 ∴Q≤ = ,当且仅当 0.002 4v= ,即 v=50 时,Q 取最大值 . 0.24 3 v 3 即当 v=50(km/h)时,大桥每小时通过的车辆最多.

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