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山东省淄博市重点中学2011届高三上学期期中考试 数学文


2010— 淄博六中 2010—2011 学年度高三期中考试 文科) 数 学 试 题(文科
小题, 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分共 60 分) 选择题(

1.已知全集 U=R,集合 A= y y = x 2 ,集合 B= y y = 2 x ,则 A I CU B 为 A. Φ 2 ( . ) 已 知 B.R 命 题 C. {0}
p : ?x ∈ R

{

}

{

}





D. [0,+∞) ,
sin x ≤ 1





A 、 ?p : ?x ∈ R , sin x ≥ 1 B 、 ?p : ?x ∈ R , sin x ≥ 1 C 、 ?p : ?x ∈ R , sin x > 1 D 、
?p : ?x ∈ R , sin x > 1 3 . 不 等 式 ax 2 ? x + c > 0 的 解 集 为 {x | ?2 < x < 1} , 则 函 数
y = ax 2 + x + c 的图象大致为
y -2 0 1 x -2 0


y 1 x


y -1 0 2 x -1 0 y 2 x

A 4
( A. )

B . 已 知

C

D

1 ?π ? sin θ + cos θ = , θ ∈ ? , π ?, 则 tan θ = 5 ?2 ?

4 3

B.

3 4

C. -

4 3 D. 3 4
( )

5.圆 ( x ? 1)2 + ( y ? 3)2 = 1关于2 x + y + 5 = 0对称的圆方程是 A . (x + 7 )2 + ( y + 1)2 = 1 D. (x + 6 )2 + ( y + 2 )2 = 1 6.圆 x 2 + y 2 ? 2 Rx ? 2 Ry + R 2 = 0 在直角坐标系中的位置特征是 ) A. 圆心在直线 y=x 上 相切 C. 圆心在直线 y=-x 上 均相切 ( B. 圆心在直线 y=x 上, 且与两坐标轴均 D.圆心在直线 y=-x 上, 且与两坐标轴 B . ( x + 7 )2 + ( y + 2 ) 2 = 1 C . ( x + 6 )2 + ( y + 1)2 = 1

7.下列叙述正确的是 ( )
A. y = a x ( a > 0,且a ≠ 1) 的值域为 R B. a = (1,1) ,则其模长为 2

C.{a n }满足 a n +1 = 2a n , 则{a n }一定为等比数列

D. y = sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周

期是π 8.如右图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形,俯视 图是一个圆,那么几何体的侧面积为 ( ) A.
1 π 2

B.

2 π 2

C.

2 π 4

D.

π
4

9. 椭圆

x2 y2 + = 1 的右焦点到直线 y = 3 x 的距离是 4 3
1 2





A. 10 (

B. 数 ) 列

3 2

C.1

D. 3



{a n }的a1 = 1, a = (n, a n ), b = (a n+1 , n + 1), 且a ⊥ b, 则a100 =
C. 100
99

A.—100

B.100

D.— 100
99

1 11.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12,离心率为 , 3

则椭圆方程 A.

x2 y2 + =1 144 128 x2 y2 D. + =1 36 32

B.

x2 y2 + =1 36 20

C.

x2 y2 + =1 32 36

12.某文具店出售羽毛球拍和羽毛球,球拍每副定价 20 元,羽毛球每只定价 5 元,该店制定了两种优惠方法:①买一副球拍赠送一只羽毛球;②按总价的 92%付款。现某人计划购买 4 副球拍和 30 只羽毛球,两种方法中,更省钱的 一种是 ( ) A.不能确定 B.①②同样省钱 C.②省钱 D.①省钱
小题, 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分共 16 分) 填空题(

v r 13. a , b 的夹角为 120 o , a = 1, b = 3, 则 5a ? b = ____________ 14.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在

同一个球面上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3 ,则这个球的体积 为 .

若过点 3, ) ( 0 的直线 l 和圆 C: ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 相切, 则直线 l 的斜率为_______. 15.

16.如图是 y = f (x ) 的导数的图像,则正确的判断是 (1) f (x ) 在 (?3,1) 上是增函数 (2) x = ?1 是 f (x ) 的极小值点 (3) f (x ) 在 ( 2,4) 上是减函数,在 (?1,2) 上是增函数 (4) x = 2 是 f (x ) 的极小值点 以上正确的序号为
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 三、解答题(共六大题 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 解答题(

x x x 1 17. (12 分)已知函数 f ( x ) = sin cos + cos 2 ? . 2 2 2 2

(Ⅰ)若 f (α ) =

2 , α ∈ (0, π ), 求α的值 ; 4 ? π ? (Ⅱ)求函数 f (x) 在 ?? , π ? 上最大值和最小值. ? 4 ?

r r 18. (12 分)已知平面向量 a = (1, x ) , b = (2 x + 3, ? x ) ( x ∈ R ) . r r (Ⅰ)若 a ⊥ b ,求 x 的值; r r r r (Ⅱ)若 a ∥ b ,求| a - b |.
19. (12 分)如图,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线 BD 把△ ABD 折起,使 A 移到 A1 点,且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上. 1) 、求证: BC ⊥ A1 D ; 2) 、求证:平面 A1 BC ⊥ 平面 A1BD ; 3) 、求三棱锥 A1 ? BCD 的体积.
A B D A1

O

C

20. (12 分)设函数 f ( x) = ax3 + bx + c ( a ≠ 0) 为奇函数,其图象在 x=1 处的切线 与直线 x ? 6 y ? 7 = 0 垂直,导函数 f '( x ) 的最小值为 ?12 . (I)求 a, b, c的值 ; (II)求函数 f ( x ) 的单调递增区间, 并求函数 f ( x ) 在 [ ?1, 3] 上的最大值和最小值. 21. (12 分)

数列{an }, a1 = 2, an = 2an?1 + 2 n (n ≥ 2)

(I)求证数列 ?

? an ? 是等差数列 ; n ? ?2 ?

的前n项和S n ; (II)求数列 {a n }
(III) 若bn =
2n ? 1 , 求证数列{bn }为递减数列 。 an

,且 22. (14 分)已知椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,一个顶点为 A(0,-1) 其右焦点到直线 x-y+ 2 2 =0 的距离为 3. (I)求椭圆的方程; (II)是否存在斜率为 k(k≠0)的直线 l,使 l 与已知椭圆交于不同的两点 M、 N, 且|AN|=|AM|?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,请说明理由.

2010— 淄博 2010—2011 学年度高三期中考试 文科) 数 学 试 题(文科)参考答案
(本大题共 小题, 一、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分共 60 分) 选择题: ( CDCCA BDABA DD 填空题: (本大题共 小题, 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分共 16 分) ( 13.7 14.

4 π 3

15. ±

3 3

16. (3) (2)

三、解答题 17.解: (I) f ( x ) =

1 1 + cos x 1 1 2 π sin( x + ) …2 分 sin x + ? = (sin x + cos x ) = 2 2 2 2 2 4 2 π 2 π 1 ,即 sin(α + ) = sin(α + ) = 2 4 4 4 2
…………3 分

由题意知 f (α ) =

∵ α ∈ (0, π ) 即 α + ∴α +

π

π
4

=

5π 6

π 5π ∈( , ) 4 4 4 α
=

?

7π 12

…………6 分

(II)∵

?

π
4

≤α ≤π 即

0 ≤α +

π
4



5π 4

…………8 分

∴ f ( x ) max = f ( ) =

π

4

2 , 2

f ( x ) min = f (π ) = ?

1 2

…………12 分

18.解: (Ⅰ)若 a ⊥ b ,则 a · b = (1, x ) · (2 x + 3, ? x ) = 1× (2 x + 3) + x( ? x ) = 0 . 整理得 x ? 2 x ? 3 = 0 ,解得: x = ?1 或 x = 3 .………………………4 分
2

r

r

r

r

(Ⅱ)若 a ∥ b ,则有 1 × ( ? x) ? x (2 x + 3) = 0 ,即 x (2 x + 4) = 0 . 解得: x = 0 或 x = ?2 .………………………………………………8 分 当 x = 0 时, a = (1, 0) , b = (3, 0) ; ∴| a - b |=| (1, 0) ?(3, 0) |=| ( ?2, 0) | =

r

r

r

r

r r

(?2) 2 + 02 = 2 .………………10 分

当 x = ?2 时, a = (1, ? 2) , b = ( ?1, 2) ; ∴| a - b |=| (1, ? 2) ?( ?1, 2) |=| (2, ? 4) | =

r

r

r r

22 + (?4)2 = 2 5 . ……12 分

19.证明: (Ⅰ)∵ A1 在平面 BCD 上的射影 O 在 CD 上, ∴

A1O ⊥平面 BCD ,又 BC ? 平面 BCD

∴ BC ⊥ A1O ……2 分

又 BC ⊥ CO, A1O I CO = O, ∴ BC ⊥ 平 面 A1CD , 又 A1 D ? 平面A1CD , ∴

BC ⊥ A1 D …4
(Ⅱ)∵

ABCD 为矩形 ,∴

A1 D ⊥ A1 B A1 D ⊥ 平面 A1 BC ,又 A1 D ? 平面 A1 BD
……8 分 A1

由(Ⅰ)知 A1 D ⊥ BC , A1 B I BC = B ∴ ∴ 平面 A1 BC ⊥ 平面 A1 BD (Ⅲ)∵ A1 D ⊥ 平面 A1 BC , ∴

A1 D ⊥ A1C .…10 分
A

D

O

C

∵ A1 D = 6, CD = 10 , ∴ A1C = 8 , ∴

B

1 1 VA1 ? BCD = VD ? A1BC = ? ( ? 6 ? 8) ? 6 = 48 . …12 分 3 2

20.解: (Ⅰ)∵ f ( x ) 为奇函数,∴ f ( ? x) = ? f ( x )

即 ? ax 3 ? bx + c = ? ax 3 ? bx ? c
2

∴c = 0

…………1 分 …………3 分

∵ f '( x ) = 3ax + b 的最小值为 ?12 ,∴ a > 0, b = ?12. 又直线 x ? 6 y ? 7 = 0 的斜率为 因此, f '(1) = 3a + b = ?6 ∴ a = 2 , b = ?12 , c = 0 . (Ⅱ) f ( x ) = 2 x ? 12 x .
3

1 6
…………5 分 …………6 分

f '( x ) = 6 x 2 ? 12 = 6( x + 2)( x ? 2) ,列表如下:

x
f '( x ) f ( x)

( ?∞, ? 2)

? 2 0
极大

( ? 2, 2)

2 0
极小

( 2, +∞ )

+


?


+
↗ …………9 分

所以函数 f ( x ) 的单调增区间是 ( ?∞, ? 2) 和 ( 2, +∞ ) . ∵ f ( ?1) = 10 , f ( 2) = ?8 2 , f (3) = 18

∴ f ( x ) 在 [ ?1, 3] 上的最大值是 f (3) = 18 ,最小值是 f ( 2) = ?8 2 .……12 分

21. :(I)∵ a n = 2a n ?1 + 2 n (n ≥ 2 )



a n 2a n ?1 a a = n + 1 ? n ? n ?1 = 1 n n 2 2 2 2 n ?1 a ?a ? ∴ ? n ?为等差数列 , 首项为 1 = 1, 公差d = 1 n 21 ?2 ?
(II)

LLL 2分 LLLL 4分

∴ S n = 1 × 21 + 2 × 2 2 + 3 × 2 3 + L + (n ? 1) × 2 n ?1 + n × 2 n 2S n = 两式相减得: ? S n = 2 + 2 + 2 + L + 2 ? n × 2
1 2 3 n n +1

1 × 2 2 + 2 × 2 3 + LLLLLL + (n ? 1) × 2 n + n × 2 n +1

L 5分 LL 6分 LLL 7分 LLL 8分

2 1 ? 2n ? n × 2 n +1 1? 2 ∴ S n = 2 ? 2 n +1 + n × 2 n +1 = (n ? 1) × 2 n +1 + 2 =

(

)

(III) bn =

2n ? 1 2n ? 1 = >0 an n ? 2n 2n + 1 ( n + 1) ? 2 n +1


∴ bn +1 =

bn +1 (2n + 1) ? n 2n 2 + n = = …10 分 bn (2n ? 1) ? (n + 1) ? 2 2(2n 2 + n ? 1)

又Q

2 2n 2 + n ? 1 ? 2n 2 + n = 2 n 2 + n ? 2
2

(

) (

)

当n ≥ 1时, 2n + n ? 2 > 0, ∴ 2 2n 2 + n ? 1 > 2n 2 + n > 0 b ∴ n +1 < 1即bn +1 < bn , ∴{bn }为递减数列 bn
22. (本小题满分 14 分) (I)解:由题意,设椭圆方程为:

(

)

LLLL12分

x2 + y 2 = 1 (a>1) , a2
| a2 ? 1 ? 0 + 2 2 | = 3 ,解得:a= 3 2
…………5

则右焦点为 F ( a 2 ? 1 ,0) ,由已知

∴椭圆方程为: 分

x2 + y2 =1 3

(II)解:设存在满足条件的直线 l,其方程为 y=kx+b(k≠0)



? y = kx + b ? 2 ?x + y2 =1 ? ? 3

得: (3k 2 + 1) x 2 + 6bkx + 3b2 ? 3 = 0



…………7 分

、N(x2,y2)是方程①的两根,则 设 M(x1,y1)

? = 36k 2b2 ? 12(3k 2 + 1)(3b2 ? 3) = 36k 2 ? 12b2 + 12 > 0
由韦达定理得: x1 + x2 = ?



…………9 分

6bk 3k 2 + 1
……10 分

从而 MN 的中点 P 的坐标为( ?

3bk b ) , 3k 2 + 1 3k 2 + 1 ∵|AM|=|AN| ∴AP 是线段 MN 的垂直平分线 ∴AP⊥MN

于是

? (?1) 1 1 3k + 1 = ? , b = 3k 2 + 1 , 2 k 2 3bk ? 2 ?0 3k + 1
2

b

(

)

………12 分

代入②并整理得: 2+1) 2-1)<0,∴-1<k<1 (3k (k 故满足条件的直线 l 存在,其斜率 k 的范围为-1<k<1 且 k≠0. ………14 分


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