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高一数学人教A版必修二 课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2_图文

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

学案· 新知自解

1.了解空间中两条直线的三种位置关系.理解两异面直线的定义,会用平 面衬托来画异面直线. 2.理解平行公理(公理 4)和等角定理. 3.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角,会在直角 三角形中求简单异面直线所成的角.

空间两直线的位置关系

2.异面直线 (1)定义:把不同在______ 任一 平面内的两条直线叫作异面直线. (2)画法:(通常用平面衬托)

平行公理与等角定理 1.平行公理(公理 4)与等角定理 (1)平行公理

平行 .这一性质叫作空间 ①文字表述:平行于同一条直线的两条直线_______ 平行公理 . ____________
②符号表述: (2)等角定理 a∥ b? ?
?? _______. a∥c b∥ c ? ?

平行 ,那么这两个角 ______ 相等 或 ______ 互补 . 空间中如果两个角的两边分别对应______

2.异面直线所成的角 θ (1)定义:已知两条异面直线 a, b,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′

直角 叫作异面直线 a 与 b 所成的角(或 ∥ b,我们把 a′与 b′所成的______( 锐角 或 ______)
夹角).

0°<α≤90° (2)范围:____________.
(3)当 θ= ______ a⊥b 90° 时, a 与 b 互相垂直,记作______.

[化解疑难] 求异面直线所成的角需注意的问题 (1)a 与 b 所成角的大小与点 O 无关,为了简便,点 O 常取在两条异面直线 中的一条上,例如取在直线 b 上,然后过点 O 作直线 a′∥ a,a′与 b 所成的角 即为异面直线 a 与 b 所成的角. (2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角, 实现了空间问 题向平面问题的转化. (3)两条直线垂直,既包括相交垂直,也包括异面垂直.

1 .一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是 ( ) A.平行或异面 C.异面 B.相交或异面 D.相交

解析: 假设 a 与 b 是异面直线,而 c∥a,则 c 显然与 b 不平行(否则 c∥b, 则有 a∥b,矛盾).因此 c 与 b 可能相交或异面.

答案:

B

2.l1,l2, l3 是空间三条不同的直线,则下列说法正确的是( A. l1⊥ l2, l2⊥l3? l1∥ l3 B. l1⊥ l2, l2∥l3? l1⊥ l3 C. l1∥ l2∥ l3?l1, l2, l3 共面 D. l1, l2, l3 共点?l1, l2,l3 共面

)

解析: 对于 A,空间中直线的垂直有异面垂直和相交垂直两种,当 l1,l2, l3 共面时,结论成立;当 l1, l2, l3 不共面时,l1 与 l3 不一定平行,故不正确. 对于 B,两条平行直线中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三 条直线,故正确. 对于 C, 互相平行的三条直线不一定共面, 如三棱柱的三条侧棱,故不正确. 对于 D,共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故不正确.

答案:

B

3.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与对角线 AC1 异面的棱有________条.
解析: 与 AC1 异面的棱有 A1B1, A1D1, BB1,DD1, CD, BC.共 6 条.

答案:

6

教案· 课堂探究

空间位置关系的判断 自主练透型 (2015· 德阳市中江县龙台中学高二(上 )期中)如图,点 P、 Q、R、 S 分 别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 是异面直线的 一个图是( )

解析: A 中的 PQ 与 RS 是两条平行且相等的线段;B 中的 PQ 与 RS 是两 1 条平行且相等的线段;D 中,由于 PR 平行且等于 SQ,故四边形 SRPQ 为梯形, 2 故 PQ 与 RS 是两条相交直线,它们和棱交于同一个点;C 中的 PQ 与 RS 是两条 既不平行,又不相交的直线,故选 C.

答案:

C

[归纳升华] 判定两直线异面的常用方法 1.定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内; 2.排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交)的情况.

1.(2015· 蚌埠市五河高中高二(上)期中)若两条直线和一个平面相交成等角, 则这两条直线的位置关系是( A.平行 C.相交 ) B.异面 D.平行、异面或相交

解析: 答案:

两直线可能相交、平行,也可能异面,故选D. D

公理 4 及等角定理的应用 多维探究型 在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,P、Q、M、N 分别为 AD、AB、C1D1、 B1C1 的中点,求证:A1P∥ CN,A1Q∥ CM,且∠PA1Q=∠ MCN.

证明: 取 A1B1 的中点 K, 连接 BK、 KM.易知四边形 MKBC 为平行四边形. 所以 CM∥ BK. 又因为 A1K∥BQ 且 A1K= BQ, 所以四边形 A1KBQ 为平行四边形, 所以 A1Q∥ BK, 由公理 4 有 A1Q∥CM, 同理可证 A1P∥ CN, 由于∠ PA1Q 与∠ MCN 对应边分别平行, 且方向相反, 所以∠ PA1Q=∠ MCN.

[归纳升华] 证明两直线平行的常用方法 :(1)利用平面几何的结论,如平行四边形的对 边,三角形的中位线与底边;(2)定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直 线没有公共点;(3)利用公理 4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.

2.如图所示,空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、 BC、 CD、 DA 的中点.求证:四边形 EFGH 是平行四边形.

证明:

因为 EH 是△ ABD 的中位线,

1 所以 EH 綊 BD. 2 1 同理 FG 綊 BD, 2 所以 EH 綊 FG, 所以四边形 EFGH 为平行四边形.

求异面直线所成的角 多维探究型 (2015· 大同一中高二(上)月考)如图,在三棱锥 A-BCD 中,O,E 分别 是 BD, BC 的中点,AO⊥ OC,CA=CB= CD=BD=2,AB=AD= 2,求异面 直线 AB 与 CD 所成角的余弦值.

解析: 取 AC 的中点 M, 连接 OM, ME, OE, 由 E 为 BC 的中点知 ME∥ AB, OE∥ DC, 所以直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角. 1 2 1 在△ OME 中, EM= AB= , OE= DC= 1, 2 2 2 因为 OM 是 Rt△ AOC 斜边 AC 上的中线, 1 所以 OM= AC= 1, 2 取 EM 的中点 H,连 OH,则 OH⊥ EM, 在 Rt△ OEH 中, 1 2 × EH 2 2 2 所以 cos∠ OEM= = = . OE 1 4

[归纳升华] 求异面直线所成角的一般步骤: (1)找 (或作出)异面直线所成的角——用平移 法,若题设中有中点,常考虑中位线.(2)求——转化为求一个三角形的内角,通 过解三角形,求出所找的角.(3)结论——设(2)所求角大小为 θ.若 0° <θ≤ 90° , 则 θ 即为所求;若 90° <θ< 180° ,则 180° -θ 即为所求.

3. (2015· 杭州市重点中学高二联考)如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 F、G、H 分别为 AA1、AB、BB1、B1C1 的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角 等于________.

解析: 取 A1B1 中点 M 连接 MG,MH,则 MG∥EF,MG 与 GH 所成的角 等于 EF 与 GH 所成的角.容易知道△ MGH 为正三角形,∠MGH=60° ,所以 EF 与 GH 所成的角等于 60° .

答案:

60°

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