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江苏省连云港外国语学校2010-2011学年度高二数学第一学期期末考试

江苏省连云港外国语学校 江苏省连云港外国语学校 2010-2011 学年度 第一学期期末考试
一、填空题(每题 5 分,共 14 题,计 70 分) 填空题( 1.不等式 x ? 3 x ? 4 < 0 的解集为___▲_____
2

2.椭圆

x2 y2 + = 1 的离心率为___▲_____ 25 9

3.在 ?ABC 中, ∠A = 30° , ∠B = 45° , b = 8 ,则 a = ___▲_____ 4.等差数列 {a n } 中, S10 = 120 5.x>4 是 ,那么 a2 + a9 的值是 ▲

1 1 < 的 ___________________条件 x 4
▲ _______

6.写出命题“ ?x ∈ A ,使得 x 2 ? 2 x ? 3 = 0 ”的否定

7.一个等比数列的第 9 项是 16,公比是-2,则它的第 1 项 a1 = ___▲_____

?x + y ≤ 1 ? 8.已知 x、y 满足约束条件 ? y ≤ x ,Z=2x+y 的最大值是 ___▲_____ ? y ≥ ?1 ?
9.(文)如果质点 A 的位移 S 与时间 t 满足方程 S = 2t (位移单位:米,时间单位:秒),则质点在 t = 3 时的瞬时速度 文
3





米/秒.

(理) 已知△ ABC 的三个顶点为 A (3,3,2) B (4,-3,7) C (0,5,1) M 为边 BC 的中点,则 | AM |= 理 , , , ▲ .

uuuu r

10.若双曲线 x 2 ? 4 y 2 = 4 的焦点是 F1 , F2 过 F1 的直线交左支于 A、B,若|AB|=5,则△AF2B 的周长是 ▲ .
3 2

11.(文) 函数 y= x ? 3 x ? 9 x + 5 在区间[-4, 4]上的最大值是 文



(理) 已知向量 a=(2,-1,3) 理 ,b=(-1,4,-2) ,c=(7,0,λ) , 若 a、b、c 三个向量共面,则实数 λ= ▲ 12.设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 = 9, S 6 = 36, ,则 a 7 + a 8 + a 9 = __▲____ 13.在 ?ABC 中, B = 60° , b 2 = ac ,则 ?ABC 的形状是_ ▲ __ 14. (文)若函数 f ( x ) = ? x 3 + 3 x 2 + ax + 1 在 (?∞,1] 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 文 uuu r uuu r uuu r uuu uuu r r (理) 设 O 为坐标原点,向量 OA = (1,2,3) ,OB = (2,1, 2) ,OP = (1,1, 2) ,点 Q 在直线 OP 上运动,则当 QA ? QB 取 理 得最小值时,点 Q 的坐标为 二、解答题 ▲ .

B、 b、 15.本题满分 14 分) (本题满分 在⊿ABC 中, A、 C 所对的边分别为 a、 c,已知 角 .

(a + b + c)(a + b ? c) = (2 + 3 )ab,

A = 105 0 , C = 5.

(1)求角 C 的度数

(2)求 b 的长度

x2 y2 + = 1 的左顶点,求此抛物线的标准方程;(2)若双曲 64 16 x2 y2 y2 x2 线与椭圆 + = 1 有相同的焦点,与双曲线 ? = 1 有相同渐近线,求此双曲线的标准方程. 64 16 2 6
16. (本题满分 14 分)(1)若抛物线的焦点是椭圆

17.(本题满分 14 分)已知命题 P:方程 17

x2 y2 + = 1 所表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆;命题 4 ? t t ?1 q:关于实数 t 的不等式 t 2 ? (a + 3)t + (a + 2) < 0 ,

(1) 若命题 P 为真,求实数 t 的取值范围; (2) 若命题 P 是命题 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围。

18.(本题满分 16 分)某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为 3m,如果池底每 1m2 的造价 . 2 为 150 元,池壁每 1m 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?

19.(本小题满分 16 分) 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n = 本小题满分

1 (a n ? 1) 3

(2)证明:数列 {a n } 是等比数列,并求 a n . (1)求 a1 , a 2 及 a 3 ;

20.(本题满分 16 分) . (文)已知函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + bx + 2 与直线 4 x ? y + 5 = 0 切于点 P ( ?1 ,1)(Ⅰ)求实数 a, b 的值; 文 . (Ⅱ)若 x > 0 时,不等式 f ( x ) ≥ mx 2 ? 2 x + 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

z
D1

C1
B1
E F C y

(理) 已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 底面边长 AB = 2 ,侧棱 BB1 的长为 4,过点 理

A1

B 作 B1C 的垂线交侧棱 CC1 于点 E , 交线段 B1C 于点 F . D 为原点, 、 以 DA DC 、
D

DD1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系 D ? xyz ,如图.
(Ⅰ)求证: A1C ⊥ 平面 BED ; (Ⅱ)求 A1 B 与平面 BDE 所成角的正弦值的大小.

x

A

B

高二数学试题参考答案(仅供参考 高二数学试题参考答案 仅供参考!) 试题参考答案 仅供参考
1. (-1,4) 2.
2

4 5

3. 4 2 7.

4. 8.

24

5.充分不必要

6. ?x ∈ A, 使得 x ? 2 x ? 3 ≠ 0 10.18 ( (理)

1 16
12. 45

3 2

9 . 文) 54 (理)3 ( 14. (文) a ≤ ?3

11. (文)41(理)10 (

13. 等边三角形

4 4 8 , , ) 3 3 3

15.(本题满分共 14 分) . 本题满分共 解:(I)∵(a+b+c)(a+b-c)=(2+ 3)ab 即 a2+2ab+b2-c2=(2+ 3)ab ∴a2+b2-c2= 3ab. a +b -c 3 ∴cccC= 2ab = 2 . C=30° (II)∵A=105°,C=30° ∴B=45° c b 由正弦定理得:cinB=cinC cin45° cinB ∴c=cinC·c= ×5=5 2. cin30° ………………14 分
2 2 2

………………3 分 ………………6 分 ………………8 分 ………………10 分

2 2 16. 解: (I)椭圆 x + y = 1 的左顶点为(-8,0) ,∴抛物线的焦点为(-8,0) ,……2 分

64

16

设抛物线方程为 y 2 = ?2 px( p > 0) , 则?

p = ?8, p = 16, 2

………………………………4 分 ………………………………6 分

∴所求抛物线的标准方程为 y 2 = ?32 x .

(II)椭圆

x2 y 2 + = 1 的焦点为 F1 (?4 3, 0), F2 (4 3, 0) , 64 16 y 2 x2 3 ? = 1 的渐近线方程为 y = ± x, 2 6 3

……………………8 分

双曲线

…………………………10 分

设所求双曲线方程为

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) , a2 b2
…………………………12 分

? a 2 + b 2 = 48, 由题意知: ? ? b 3 = , ? 3 ? a
∴?

?a 2 = 36, 2 ? b = 12.

∴ 所求双曲线方程为

x2 y 2 ? = 1. 36 12

…………………………14 分

17. (1)Q 方程

x2 y2 + = 1 所表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆 4? t t ?1

∴ 4 ? t > t ? 1 > 0 ------------4 分
解得: 1 < t <

5 ------------7 分 2

(2)Q 命题 P 是命题 q 的充分不必要条件

∴1< t <

5 2 是不等式 t ? ( a + 3)t + ( a + 2) < 0 解集的真子集-------10 分 2 5 -----12 分 2

法一:因方程 t 2 ? ( a + 3)t + ( a + 2) = 0 两根为 1, a + 2 故只需 a + 2 >

解得: a >

1 ----------14 分 2 5 2

法二:令 f ( t ) = t 2 ? ( a + 3)t + ( a + 2) ,因 f (1) = 0, 故只需f ( ) < 0 ------12 分

解得: a >

1 2

-------------14 分

18.解:设水池底面一边的长度为 xm,水池的总造价为 l 元,根据题意,得

l = 240000 + 720( x +

1600 ) 。。。。。。。5 。。。。。。 x

≥ 240000 + 720 × 2 x ?

1600 。。。。。。 。。。。。。10 x = 240000 + 720 × 2 × 40 = 297600 1600 , 即x = 40时, l有最小值2976000. 。。。。。。16 。。。。。 x

当x =

因此,当水池的底面是边长为 40m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是 297600 元

1 1 ( a1 ? 1) ,得 a1 = ? ; 3 2 1 1 1 当 n = 2 时, S2 = a1 + a2 = ( a2 ? 1) ,得 a2 = ,同理可得 a3 = ? .…………8 分 3 4 8 a 1 1 1 1 1 (2)当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = ( an ? 1) ? ( an ?1 ? 1) = an ? an ?1 ,所以 n = ? . 3 3 3 3 an ?1 2
19.解: (1)当 n = 1 时, a1 = S1 =

? 1? 故数列 {a n } 是等比数列, an = ? ? ? ..…………16 分 ? 2?
2 20. (文)解:(Ⅰ) f ′( x ) = 3 x + 2ax + b

n

…………………2 分

由题意得: ?

? f ′(?1) = 4, ?3 ? 2a + b = 4, 即? ? f (?1) = 1, ??1 + a ? b + 2 = 1,

…………………4 分 …………………………6 分

解得: a = b = ?1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ( x ) = x ? x ? x + 2
3 2

∵ f ( x ) ≥ mx ? 2 x + 2 ,
2

∴ mx ≤ x ? x + x.
2 3 2

∵ x > 0,

∴m ≤

x3 ? x2 + x 1 , 即 m ≤ x + ? 1 , …………………………10 分 2 x x
( x > 0)

法一: 令 g ( x ) = x +

1 ?1 x

∴ g ( x) ≥ 2 x ?

1 ?1 = 2 ?1 = 1 , x

…………………………12 分

当且仅当 x = ∴m ≤1

1 时取等号,即 x = 1 时, g ( x ) min = 1 , x 1 ?1 x
( x > 0)

…………………14 分 ………………………15 分

(法二) 令 g ( x ) = x +

∴ g ′( x) = 1 ? x ?2 = 0得x = 1 ,
当 x ∈ (0,1) 时, g ′( x ) < 0, g ( x ) 为减函数, 当 x ∈ (1, +∞) 时, g ′( x ) > 0, g ( x ) 为增函数, 当 x = 1 时, g ( x ) min = 1 , ∴m ≤1 (Ⅰ) D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), (理)解:

……………………12 分

…………………14 分 …………………………16 分

A1 (2, 0, 4), B1 (2, 2, 4), C1 (0, 2, 4), D1 (0, 0, 4) ………………2 分
设 E (0, 2, t ) ,则 BE = ( ?2, 0, t ), B1C = ( ?2, 0, ?4) . ∵ BE ⊥ B1C ,

z
D1

C1
B1
E F C y

uuu r

uuur

A1

uuu uuur r ∴ BE ? B1C = 4 + 0 ? 4t = 0 .
∴ t = 1. ∴ E (0, 2,1) , BE = ( ?2, 0,1) . ∵ A1C = ( ?2, 2, ?4), DB = (2, 2, 0) ,

D

x

A

B

uuu r

…………………4 分

uuur

uuu r

∴ A1C ? BE = 4 + 0 ? 4 = 0 且 A1C ? DB = ?4 + 4 + 0 = 0 , …………………6 分 ∴ A1C ⊥ BD 且 A1C ⊥ BE , ∴ A1C ⊥ 平面 BDE .

uuur uuu r uuur uuur

uuur uuu r

uuu r

uuur

uuu r

…………………………8 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A1C = ( ?2, 2, ?4) 是平面 BDE 的一个法向量,………………9 分 ∵ A1 B = (0, 2, ?4) ,

uuur

uuur

uuur uuur uuur uuur 20 30 A1C ? A1 B ∴ cos A1C , A1 B = uuur uuur = = , 6 | A1C || A1 B | 24 20
∴ A1 B 与平面 BDE 所成角的正弦值为

………14 分

30 . 6

…………………………16 分


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