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徐汇区2015年高三数学文科二模试卷


2014 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三年级数学学科(文科)
2015.4

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得 0 分.

1? ? 2 1.已知集合 A= ?1, 2, ? ,集合 B = ? y | y ? x , x ? A? ,则 A B ? 2 ? ?
2.若复数 z ? 1 ? 2i (i 为虚数单位) ,则 z ? z ? z ? .



3.已知直线 l 的一个法向量是 n ? 1, ? 3 ,则此直线的倾斜角的大小为

?

?



4.某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体 800 名学生中抽取 50 名学生进行体能测试.现 将 800 名学生从 1 到 800 进行编号,求得间隔数 k ?
800 ? 16 .若从 1 ~ 16 中随机抽取 1 个数的结果是 50

抽到了 7 ,则在编号为 33 ~ 48 的这 16 个学生中抽取的一名学生其编号应该是 5.已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? ) (0 ? ? ? ? ) 的图像有一个横坐标为 为 . . .



? 的交点,则常数 ? 的值 3

6.设函数 f ( x) ? log2 (2x ? 1) ,则不等式 2 f ( x) ? f ?1 (log2 5) 的解为 7.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S15 ? 15 ,则 a8 的值为

8.从 2 位男同学和 8 位女同学中选两人参加志愿者活动,假设每位同学选 到的可能性都相同, 则选到两位性别相同的同学的概率是 果用最简分数表示) 9.执行如图所示的程序框图,输出的结果 a ?
?1 ? ?2 10.矩阵 ? 3 ? ? ?n ? a12 a1i

. (结



a1n ? ? a22 a2i a2 n ? a32 a3i a3n ? 中每一行都构成公比为 2 的等比数 ? ? an 2 ani ann ? ? S 列,第 i 列各元素之和为 Si ,则 lim 2 n n ? . n ?? n ? 2

1 2 主视图

左视图

11 . 一 个 正 三 棱 柱 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 三 棱 柱 的 体 积
1

俯视图





g ( x) 是定义域为 R 的偶函数, 12. 设 f ( x) 是定义域为 R 的奇函数, 若函数 f ( x) ? g ( x) 的值域为 [1,3) ,

则函数 f ( x) ? g ( x) 的值域为



13 . ?ABC 所 在 平 面 上 一 点 P 满 足 P A? P C? A B , 若 ?A B P 的 面 积 为 6 , 则 ?ABC 的 面 积 为 .

C上 14.对于曲线 C 所在平面上的定点 P 0 ,若存在以点 P 0 为顶点的角 ? ,使得 ? ? ?AP 0 B 对于曲线

的任意两个不同的点 A, B 恒成立,则称角 ? 为曲线 C 相对于点 P ,并称其中最小的“界 0 的“界角” 角”为曲线 C 相对于点 P .曲线 C : y ? x2 ? 1 相对于坐标原点 O 的“确界角”的大小 0 的“确界角” 是 .

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得 0 分.
n is c r a 15. “? ? 1 1 ”是“ sin ? ? ”的( 3 3



(A)充分不必要条件 (C)充要条件 16.下列不等式中,与不等式 (A) ? x ? 3?? 2 ? x ? ? 0

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
x?3 ? 0 同解的是( 2? x


2? x ?0 x?3

(B) ? x ? 3?? 2 ? x ? ? 0

(C)

(D)

3? x ?0 x?2

17.曲线 x ? y 与直线 x ? 3 围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是(
?x ? y ? 0 ? (A) ? x ? y ? 0 ? x?3 ? ?x ? y ? 0 ? (B) ? x ? y ? 0 ? x?3 ? ?x ? y ? 0 ? (C) ? x ? y ? 0 ? x?3 ? ?x ? y ? 0 ? (D) ? x ? y ? 0 ? x?3 ?



2 18.已知函数 f ? x ? ? x ? sin x .给出下列三个命题:

? ? ?? ? ? ?? (1) f ? x ? 是定义域为 R 的奇函数; (2) f ? x ? 在 ? ? , ? 上单调递增; (3)对于任意的 x1 , x2 ? ? ? , ? , ? 2 2? ? 2 2?

都有 ? x1 ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? 0 .其中真命题的序号是(
2



(A)(1)(2)

(B)(1)(3)

(C) (2)(3)

(D)(1)(2)(3)

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图,在 Rt ?AOB 中, ?OAB ?
?
6

,斜边 AB ? 4 , D 是 AB 的中点.现将 Rt ?AOB 以直角边 AO 为
?
2

轴旋转一周得到一个圆锥,点 C 为圆锥底面圆周上的一点,且 ?BOC ? (1)求该圆锥的全面积; (2)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)



20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a cos C ? c cos A ? 2b cos A . (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 3, c ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

3

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示,它的外框是一 个等腰梯形 PQRS ,内部是一段抛物线和一根横梁.抛物线的顶点 与梯形上底中点是焊接点 O ,梯形的腰紧靠在抛物线上,两条腰的 中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点 A, B ,抛物线与梯形下 底的两个焊接点为 C , D .已知梯形的高是 40 厘米, C、D 两点间的 距离为 40 厘米. (1)求横梁 AB 的长度; (2)求梯形外框的用料长度. (注:细钢管的粗细等因素忽略不计,计算结果精确到 1 厘米. )
S C D R A B P O Q

4

22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.
1? 1? 1? 1? 已知函数 f ( x) ? ? x ? ? , g ( x) ? ? x ? ? . 2? x? 2? x?

(1)求函数 h( x) ? f ? x ? ? 2g ? x ? 的零点; (2)设 F ( x) ? f 2 ? x ? ? mf ? x ? (其中常数 m ? 0 ) ,求 F ? x ? 的最小值; (3)若直线 l : ax ? by ? c ? 0 ? a, b, c为常数? 与 f ( x) 的图像交于不同的两点 A、B ,与 g ( x) 的图像交 于不同的两点 C、D ,求证: AC ? BD .

5

23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 对 于 一 组 向 量 a1 , a2 , a3 ,?, an ( n ? N * ) , 令 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an , 如 果 存 在
a p ( p ??1, 2,3

. , n? ),使得 | a p |?| S n ? a p | ,那么称 a p 是该向量组的“ h 向量”

(1)设 an ? (n, x ? n) ( n ? N * ),若 a3 是向量组 a1 , a2 , a3 的“ h 向量” , 求实数 x 的取值范围;
1 (2)若 an ? (( ) n ?1 , 0) ( n ? N * ),向量组 a1 , a2 , a3 ,?, an 是否存在“ h 向量”? 3

给出你的结论并说明理由; ( 3 )已知 a1、、 ,其中 a1 ? ( a2 a3 均是向量组 a1 , a2 , a3 的“ h 向量”

ex e? x , 0) , a2 ? ( , 0) ,求证: 2 2

|a1 |2 +|a2 2 | +| a3 2|可以写成一个关于 e x 的二次多项式与一个关于 e ? x 的二次多项式的乘积.

6

文科参考答案 一、 1. 6. 10. 二、 15. 三、 A 填空题: (每题 4 分)

?1?
x?0

2.

6 ? 2i

3. 8.
29 45

? 6
9.
3

4.

39

5.

? 6 ? 2

7. 1 11.

1 4

3

12.

? ?3, ?1?

13.

12

14.

选择题: (每题 5 分) 16. 解答题 D 17. A 18. D

19、解: (1) Rt ?AOB 中, OB ? 2 即圆锥底面半径为 2 圆锥的侧面积 S侧 ? ? rl ? 8? ??????.4’ 故圆锥的全面积 S全 =S侧 +S底 ? 8? +4? ? 12? ??????.6’ (2)过 D 作 DM / / AO 交 BO 于 M ,连 CM 则 ? CDM 为异面直线 AO 与 CD 所成角??????.8’
Q AO ? 平面OBC ? DM ? 平面OBC ? DM ? MC

在 Rt ?AOB 中, AO ? 2 3
Q D 是 AB 的中点

? DM ? 3

?M 是 OB 的中点
5 3

? OM ? 1 ? CM ? 5

在 Rt ?CDM 中, tan ?CDM ?

?

15 ,??????.10’ 3

??CDM ? arctan

15 15 ,即异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan ??????.12’ 3 3

20、解: (1) sin A cos C ? sin C cos A ? 2sin B cos A ??????.3’
7

所以 sin ? A ? C ? ? 2sin B cos A ,即 sin B ? 2sin B cos A
1 由 sin B ? 0 ? cos A ? ??????.6’ 2

由于 0 ? A ? ? ,故 A ? (2)由余弦定理得,

?
3

??????.7’
2

? 3?

? 22 ? AC 2 ? 2 ? 2 ? AC ? cos

?
3

所以 AC ? 1 ??????.12’
1 ? 3 故 S?ABC ? 2 ? 2 ?1? sin 3 ? 2 ??????.14’

21、解: (1)如图,以 O 为原点,梯形的上底所在直线为 x 轴,建立直角坐标系 设梯形下底与 y 轴交于点 M ,抛物线的方程为: x2 ? 2 py ? p ? 0? 由题意 D ? 20, ?40? ,得 p ? ?5 , x2 ? ?10 y ???.3’ 取 y ? ?20 ? x ? ?10 2 , 即 A ?10 2, ?20 , B 10 2, ?20

?

? ?

?
A

y P O Q x

AB ? 20 2 ? 28 ? cm ?
答:横梁 AB 的长度约为 28cm??????..6’ (2)由题意,得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一 的公共点 设 lRQ : y ? 20 ? k x ? 10 2 ? k ? 0 ? ??????..7’
? ? y ? 20 ? k x ? 10 2 ? x 2 ? 10kx ? 100 2 ? 2k ? 0 ? x 2 ? ?10 y ? ?
S C M D R B

?

?

?

?

?

?

? 得 Q ? 5 2, 0 ? , R ?15 2, ?40 ? ? OQ ? 5 2, MR ? 15 2, RQ ? 30 梯形周长为 2 ? 5 2 ? 15 2 ? 30 2 ? ? 100 2 ? 141? cm ?

则 ? ? 100k 2 ? 400 2 ? 2k ? 0 ? k ? ?2 2 ,即 lRQ : y ? ?2 2 x ? 20 ????..10’

?

2

答:制作梯形外框的用料长度约为 141cm??????..14’
8

22、解: (1)由 h( x) ?

3x 1 3 3 ,函数 h( x) 的零点为 x ? ? ???4’ ? ?0? x ?? 2 2x 3 3
2

m ? m2 ? (2)则 F ( x) ? ? f ? x ? ? ? ? ?????..5’ 2? 4 ?
函数 f ? x ? 的值域为 ? ??, ?1? 若? 若?

?1, ??? ?????..6’

m2 m m ? ? ??, ?1? ,即 m ??2, ??? , f ? x ? ? ? 时,有 F ( x)min ? ? ?????..8’ 2 2 4
m ? ? ?1, 0? ,即 m ??0,2? , f ? x ? ? ?1 时,有 F ( x)min ? 1 ? m 2

综上所述: F ( x)min

? m2 m ? ? 2, ?? ? ?? ?????.10’ ?? 4 ?1 ? m m ? ? 0, 2 ? ?

(3)设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ?

?ax ? by ? c ? 0 2c ? 2 ?????..14’ 1? 1 ? ? ? 2a ? b ? x ? 2cx ? b ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ? 2 a ? b y ? x ? ? ? ? 2? x? ? ?ax ? by ? c ? 0 2c ? 2 同理由 ? 1? 1 ? ? ? 2a ? b ? x ? 2cx ? b ? 0 ,则 x3 ? x4 ? ? 2a ? b ? y ? 2?x? x? ? ? ?
则 AB 中点与 CD 中点重合,即 AC ? BD ?????..16’ 23、解:(1)由题意,得: | a3 |?| a1 ? a2 | ,则 9 ? ( x ? 3) 2 ? 9 ? ( 2 x ? 3) 2 ?????..2’ 解得: ? 2 ? x ? 0 ?????..4’ (2) a1 是向量组 a1 , a2 , a3 ,?, an 的“ h 向量” ,证明如下:

a1 ? (1,0) , | a1 |? 1
1 1 [1 ? ( ) n?1 ] 1 1 1 3 而 a 2 ? a3 ? ? ? a n ? ( 3 ,0) ? ( ? ? ( ) n?1 ,0) ?????..7’ 1 2 2 3 1? 3 1 1 1 n ?1 1 1 1 1 n ?1 2 1 0 ? ? ?( ) ? ,0 ? [ ? ?( ) ] ? , 2 2 3 2 2 2 3 4
9

1 1 1 1 故 | a2 ? a3 ? ? ? an |? [ ? ? ( ) n?1 ]2 ? 0 2 ? ?1 2 2 3 4
即 | a1 |?| a2 ? a3 ? ? ? an | 所以 a1 是向量组 a1 , a2 , a3 ,?, an 的“ h 向量”?????..10’ (3)由题意得: | a1 |?| a2 ? a3 | , | a1 |2 ?| a2 ? a3 |2 ,即 a1 ? ( a 2 ? a 3 ) 2
a1 ? a 2 ? a3 ? 2a2 ? a3 ,同理 a2 ? a1 ? a3 ? 2a1 ? a3 , a3 ? a1 ? a2 ? 2a1 ? a2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

三式相加并化简,得: 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? 2a1 ? a2 ? 2a1 ? a3 ? 2a2 ? a3 即 (a1 ? a2 ? a3 ) 2 ? 0 , | a1 ? a2 ? a3 |? 0 ,所以 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ?????..13’ 由 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,则 a3 ? (?
|a1|2 +|a2 |2 +|a3 |2 ? ?

2

2

2

e x ? e? x ,0) 2

e2 x e?2 x (e x ? e? x )2 ? ? 2 2 2

e2 x e?2 x 1 2 x ?2 x ? ? (e ? e ? 2) 2 2 2

? e2 x ? e?2 x ? 1 ?????..15’

? (ex ? e? x )2 ?1 ? (ex ? e? x ? 1)(ex ? e? x ? 1)
? (e x ? 1 1 ? 1)( ? x ? e ? x ? 1) x e e

? (e2 x ? ex ? 1)(e?2 x ? e? x ? 1) ?????..18’
(注:分解结果不唯一)

10


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