当前位置:首页 >> 数学 >>

2013届高考数学专题训练试题12

第一部分

专题三

第2讲

三角函数的图象与性质

(限时 60 分钟,满分 100 分) 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,共 36 分) π 1.下列函数中,在区间(0, )上为增函数且以 π 为周期的函数 2 是( ) x A.y=sin 2 C.y=-tanx B.y=sinx D.y=-cos2x

π 解析:由函数的周期为 π 可排除 A、B 选项;再由在(0, )上为 2 增函数可排除 C 选项. 答案:D 3 3 2.已知点 P(sin π,cos π)落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 4 4 θ 的值为( π A. 4 ) 3π B. 4 5π C. 4 D. 7π 4

3π π 2 解析:∵sin =sin = , 4 4 2 3π π 2 2 2 cos =-cos =- ,即 P( ,- ). 4 4 2 2 2 ∴|OP|= ? - 22 2 ? +?- ?2=1,角 θ 为第四象限角. 2 2

2 2 2 7π 又∵sinθ= =- ,θ∈[0,2π),∴θ= . 1 2 4 答案:D

3.M,N 是曲线 y=πsinx 与曲线 y=πcosx 的两个不同的交点, 则|MN|的最小值为( A.π D.2π 解析:当|MN|最小时,点 M,N 必为两曲线的相邻的两个交点, 所以可设为 M π 2π 5π 2π ( , ), N( , - ), 根 据 两 点 间 距 离公 式 得 |MN|= 4 2 4 2 π2+? 2π?2= 3π. 答案:C 4. (精选考题· 天津高考) 右图是函数 y=Asin(ωx π 5π +φ)(x∈R)在区间[- , ]上的图象,为了得到这 6 6 个函数的图象,只要将 y=sinx(x∈R)的图象上所有的点( ) ) B. 2 π C. 3 π

π A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来 3 1 的 倍,纵坐标不变 2 π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来 3 的 2 倍,纵坐标不变 π C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来 6 1 的 倍,纵坐标不变 2 π D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来 6 的 2 倍,纵坐标不变

2π 解析:观察图象可知,函数 y=Asin(ωx+φ)中 A=1, ω =π,故 π π π ω=2,ω×(- )+φ=0,得 φ= ,所以函数 y=sin(2x+ ),故只要 6 3 3 π 把 y=sinx 的图象向左平移 个单位,再把各点的横坐标缩短到原来 3 1 的 倍即可. 2 答案:A 5.已知 f(x)=sinx+ 3cosx(x∈R),函数 y=f(x+φ)的图象关于 直线 x=0 对称,则 φ 的值可以是( A. π D. 6 1 3 π 解析: 因为 f(x)=sinx+ 3cosx=2( sinx+ cosx)=2sin(x+ ), 2 2 3 π 所以 f(x+φ)=2sin(x+ +φ), 3 因为 y=f(x+φ)的图象关于直线 x=0 对称,因此 π π π π sin(0+ +φ)=± 1,可得 +φ=kπ+ (k∈Z),即 φ=kπ+ ,因 3 3 2 6 π 此 φ 的值可以是 . 6 答案:D 6.使 y=cosωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现 2 次最大值,至多 出 现 ( ) A.1<T≤2 B.1≤T≤2 3 次 最 大 值 , 则 周 期 T 的 取 值 范 围 是 π 2 ) B. π 3 C. π 4

1 C. <T≤1 2

1 D. ≤T≤1 2

1 解析:由已知,函数的最小正周期 T≤1,且 2T≥1,故 ≤T≤1. 2 答案:D 二、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 6 分,共 18 分) π 7.设函数 y=2sin(2x+ )的图象关于点 P(x0,0)成中心对称,若 3 π x0∈[- ,0],则 x0=________. 2 π 解析:设 2x0+ =kπ(k∈Z), 3 ∴x0= kπ π - (k∈Z), 2 6

π π 又∵x0∈[- ,0],∴令 k=0 得 x0=- . 2 6 答案:- π 6

8.函数 f(x)= 3sinxcosx+cos2x 的单调递增区间为________. 解析: ∵f(x)= 1+cos2x 3 π 1 π sin2x+ =sin(2x+ )+ , ∴由 2kπ- 2 2 6 2 2

π π π π ≤2x+ ≤2kπ+ , k∈Z, 得其单调递增区间为[kπ- , kπ+ ], k∈Z. 6 2 3 6 π π 答案:[kπ- ,kπ+ ],k∈Z 3 6 π 1 9.①存在 α∈(0, )使 sinα+cosα= ; 2 3 ②存在区间(a,b)使 y=cosx 为减函数且 sinx<0; ③y=tanx 在其定义域内为增函数; π ④y=cos2x+sin( -x)既有最大、最小值,又是偶函数; 2

π ⑤y=|sin 2x+ |的最小正周期为 π, 6 以上命题错误的为________(填序号). π 解析:①当 α∈(0, )时,sinα+cosα>1,故①错;②若 y=cosx 2 为减函数,则 x∈[2kπ,π+2kπ],k∈Z,此时 sinx>0,故②错;③ π 当 x 分别取 π,2π 时,y 都是 0,故③错;④∵y=cos2x+sin( -x) 2 =2cos2x+cosx-1,∴既有最大、最小值,又是偶函数,故④对;⑤y π π =|sin2x+ |的最小正周期为 ,故⑤错. 6 2 答案:①②③⑤ 三、解答题(本大题共 3 个小题,共 46 分) 10.(本小题满分 15 分)设函数 f(x)=2cos2x+sin2x+a(a∈R). (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; π (2)当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 2,求 a 的值,并求出 y= 6 f(x)(x∈R)的对称轴方程. 解:(1)f(x)=2cos2x+sin2x+a π =1+cos2x+sin2x+a= 2sin(2x+ )+1+a, 4 2π 则 f(x)的最小正周期 T= ω =π. π π π 且当 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z)时,f(x)单调递增, 2 4 2 3π π 即 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 8 8 π π π 7π (2)当 x∈[0, ]时? ≤2x+ ≤ , 6 4 4 12

π π 当 2x+ = , 4 2 π π 即 x= 时,sin(2x+ )=1. 8 4 所以 f(x)max= 2+1+a=2?a=1- 2. π π 令 2x+ =kπ+ 则 4 2 x= kπ π + (k∈Z)为 f(x)的对称轴. 2 8

π 3 11.(本小题满分 15 分)已知函数 f(x)=2cosx· sin(x+ )- . 3 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)用五点作图法画出函数 f(x)在一个周期内的图象. π 3 解:(1)f(x)=2cosx· sin(x+ )- 3 2 π π 3 =2cosx(sinxcos +cosxsin )- 3 3 2 1 3 3 3 =2cosx( sinx+ cosx)- =sinxcosx+ 3cos2x- 2 2 2 2 1+cos2x 1 3 = sin2x+ 3· - 2 2 2 1 3 π = sin2x+ cos2x=sin(2x+ ), 2 2 3 ∴T=π. (2)①列表: 2x+ x f(x) π 3 0 π - 6 0 π 2 π 12 1 π π 3 0 3π 2 7π 12 -1 2π 5π 6 0

②画图:

12.(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 π π A>0,ω>0,- <φ< ),其部分图象如图所示. 2 2

(1)求 f(x)的解析式; π π π (2)求函数 g(x)=f(x+ )· f(x- )在区间[0, ]上的最大值及相应 4 4 2 的 x 值. 解:(1)由题图可知,A=1, T π = ,所以 T=2π, 4 2 ω=1. π π π π 又 f( )=sin( +φ)=1,且- <φ< , 4 4 2 2 π 所以 φ= , 4 π 所以 f(x)=sin(x+ ). 4 π (2)由(1)f(x)=sin(x+ ), 4 π π 所以 g(x)=f(x+ )· f(x- ) 4 4

π π π π =sin(x+ + )· sin(x- + ) 4 4 4 4 π =sin(x+ )sinx 2 =cosx· sinx 1 = sin2x. 2 π 因为 x∈[0, ],所以 2x∈[0,π],sin2x∈[0,1]. 2 1 1 故 sin2x∈[0, ]. 2 2 π 1 当 x= 时,g(x)取得最大值 . 4 2

π 1.(精选考题· 重庆高考)已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的 2 部分图象如图所示, 则( )

A.ω=1,φ= C.ω=2,φ=

π 6 π 6

π B.ω=1,φ=- 6 D.ω=2,φ=- π 6

2π 7π π 解析:依题意得 T= ω =4( - )=π, 12 3 π ω=2,sin(2× +φ)=1. 3

π 又|φ|< , 2 所以 2π π π +φ= ,φ=- . 3 2 6

答案:D 2.下列关系式中正确的是( A.sin11° <cos10° <sin168° B.sin168° <sin11° <cos10° C.sin11° <sin168° <cos10° D.sin168° <cos10° <sin11° 解析: 注意到 sin168° =sin(180° -12° )=sin12° cos10° , =sin80° , 且 0° <11° <12° <80° <90° ,因此 sin11° <sin12° <sin80° ,即 sin11° <sin168° <cos10° . 答案:C π 3.(精选考题· 辽宁高考)设 ω>0,函数 y=sin(ωx+ )+2 的图象 3 向右平移 A. D.3 π 4π 解析:法一:函数 y=sin(ωx+ )+2 的图象向右平移 后得到 3 3 函数 y=sin[ω(x- =sin(ωx- 4π π )+ ]+2 3 3 2 3 4π 个单位后与原图象重合,则 ω 的最小值是( 3 B. 4 3 ) C. 3 2 )

4π π ω+ )+2 的图象, 3 3

π 因为两图象重合,所以 sin(ωx+ )+2 3

=sin(ωx-

4π π ω+ )+2, 3 3

π 4π π ∴ωx+ =ωx- ω+ +2kπ,k∈Z. 3 3 3 3 3 ∴ω= k,k∈Z.当 k=1 时,ω 的最小值是 . 2 2 π 法二:本题的实质是已知函数 y=sin(ωx+ )+2(ω>0)的最小正 3 4π 周期是 ,求 ω 的值. 3 2π 4π 3 由 T= ω = ,∴ω= . 3 2 答案:C π 4.已知 f(x)=sinx,x∈R,g(x)的图象与 f(x)的图象关于点( , 4 0)对称,则在区间[0,2π]上满足 f(x)≤g(x)的 x 的范围是( π 3π A.[ , ] 4 4 π 3π C.[ , ] 2 2 B.[ 3π 7π , ] 4 4 3π 3π , ] 4 2 )

D.[

π 解析:设(x,y)为 g(x)的图象上任意一点,则其关于点( ,0)对 4 π π 称的点为( -x, -y), 由题意知该点必在 f(x)的图象上, ∴-y=sin( 2 2 π -x),即 g(x)=-sin( -x)=-cosx,由 sinx≤-cosx,得 sinx+cosx 2 π 3π 7π = 2sin(x+ )≤0,解得 ≤x≤ . 4 4 4 答案:B 5.设函数 f(x)=2cos2x+2 3sinxcosx+m(x∈R), (1)求函数 f(x)的最小正周期;

π 1 7 (2)若 x∈[0, ], 是否存在实数 m, 使函数 f(x)的值域恰为[ , ]? 2 2 2 若存在,请求出 m 的取值;若不存在,请说明理由. 解:(1)∵f(x)=2cos2x+2 3sinxcosx+m π =1+cos2x+ 3sin2x+m=2sin(2x+ )+m+1 6 ∴函数 f(x)的最小正周期 T=π. π (2)假设存在实数 m 符合题意,∵x∈[0, ], 2 π π 7π π 1 ∴ ≤2x+ ≤ ,则 sin(2x+ )∈[- ,1], 6 6 6 6 2 π ∴f(x)=2sin(2x+ )+m+1∈[m,3+m]. 6 1 7 1 又∵f(x)∈[ , ],解得 m= , 2 2 2 1 1 7 ∴存在实数 m= ,使函数 f(x)的值域恰为[ , ]. 2 2 2 6.(精选考题· 山东高考)已知函数 f(x)=sin(π-ωx)cosωx+ cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 , 纵坐标 2 π 不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0, ]上的最小 16 值. 解:(1)因为 f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx, 所以 f(x)=sin ωxcos ωx+ 1 1 1 = sin2ωx+ cos2ωx+ 2 2 2 1+cos2ωx 2



2 π 1 sin(2ωx+ )+ . 2 4 2 2π =π, 2ω

由于 ω>0,依题意得 所以 ω=1. (2)由(1)知 f(x)= 所以 g(x)= 当 0≤x≤ 所以

2 π 1 sin(2x+ )+ , 2 4 2

2 π 1 sin (4x+ )+ . 2 4 2

π π π π 时, ≤4x+ ≤ , 16 4 4 2

2 π ≤sin (4x+ )≤1. 2 4 1+ 2 . 2 π ]上的最小值为 1. 16

因此 1≤g(x)≤

故 g(x)在区间[0,