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直线与圆】圆与圆知识点总结、经典例题及解析


直线与圆、圆与圆位置关系
【考纲说明】
1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系,能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。 2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

【知识梳理】
一、直线与圆的位置关系 1、 直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离,判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法 (1)代数法:把直线方程与圆的方程联立成方程组,消去 x 或 y 整理成一元二次方程后,计算判别式

? ? b 2 ? 4ac

? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相交 ? 直线 l 与圆 C 有两交点

? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相切 ? 直线 l 与圆 C 有一交点
? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相离 ? 直线 l 与圆 C 无交点
(2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 的大小关系:

d ? r ? 直线 l 与圆 C 相交 ? 直线 l 与圆 C 有两交点
d ? r ? 直线 l 与圆 C 相切 ? 直线 l 与圆 C 有一交点

d ? r ? 直线 l 与圆 C 相离 ? 直线 l 与圆 C 无交点
2、圆的切线方程 若圆的方程为 x ? y ? r , P ( x0 , y0 ) 在圆上, 点 则过 P 点且与圆 x ? y ? r 相切的切线方程为 xo x ? yo y ? r 2 .
2 2 2 2 2 2

经过圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 上一点 P ( x0 , y0 ) 的切线方程为 (
2 2 2

x ? xo y ? yo ? a)2 ? ( ? b) 2 ? r 2 . 2 2

3、直线与圆相交 直线与圆相交时,若 l 为弦长,d 为弦心距,r 为半径,则有 r ? d ?
2 2

l2 ,即 l ? 2 r 2 ? d 2 ,求弦长或已知弦 4

长求其他量的值时,一般用此公式。 二、圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系可分为五种:外离、外切、相交、内切、内含。 2、判断圆与圆的位置关系常用方法 (1)几何法:设两圆圆心分别为 O1 , O2 ,半径为 r , r2 (r ? r2 ) ,则 1 1

O1O2 ? r1 ? r2 ? 圆 O1 与圆 O2 相离 ? 有 4 条公切线

1

O1O2 ? r1 ? r2 ? 圆 O1 与圆 O2 外切 ? 有 3 条公切线 | r1 ? r2 |? OO2 ? r1 ? r2 ? 圆 O1 与圆 O2 相交 ? 有 2 条公切线 1 OO2 ?| r1 ? r2 | ? 圆 O1 与圆 O2 内切 ? 有 1 条公切线 1 OO2 ?| r1 ? r2 | ? 圆 O1 与圆 O2 内含 ? 有 0 条公切线. 1
(2)代数法: 方程组 ?

? x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0
2 2 ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0

有两组不同的实数解 ? 两圆相交; 有两组相同的实数解 ? 两圆相切; 无实数解 ? 两圆外离或内含。

【经典例题】
【例 1】 (2012 广东文)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点,则弦 AB 的长 等于( A. 3 3 【答案】B 【解析】 圆心到直线的距离为 d ? ) B. 2 3 C. 3 D.1

5 3 ?4
2 2

? 1 ,所以弦 AB 的长等于 2 r 2 ? d 2 ? 2 3 .

【例 2】 (2012 重庆理)对任意的实数 k, 直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 2 的位置关系一定是 (
2 2



A.相离 C.相交但直线不过圆心 【答案】C

B.相切 D.相交且直线过圆心

【解析】圆心 C (0, 0) 到直线 kx ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ?

1 ? ? 2 ? r ,且圆心 C (0, 0) 不在该直线上. 1 1? k
2

1

法二:直线 kx ? y ? 1 ? 0 恒过定点 (0,1) ,而该点在圆 C 内,且圆心不在该直线上,故选 C.

【例 3】 (2012 福建)直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A, B 两点,则弦 AB 的长度等于(
2 2

)

A. 2 5 【答案】B

B. 2 3

C. 3

D.1

2

【解析】求弦长有两种方法,一、代数法:联立方程组 ? 所以弦长 | AB |?

?x ? 3 y ? 2 ? 0
2 2 ? x ?y ?4

,解得 A、B 两点的坐标为 (2,0)、 1, 3) , (?

(2 ? 1) 2 ? (0 ? 3 ) 2 ? 2 3 ;二、几何法:根据直线和圆的方程易知,圆心到直线的距离为

2 1 ? ( 3)
2 2

? 1 ,又知圆的半径为 2,所以弦长 | AB |? 2 22 ? 12 ? 2 3 .

【例 4】 (2012 安徽)若直线 x ? y ? 1? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? y 2 ? 2 有公共点,则实数 a 取值范围是( A. [?3, ?1] ] 【答案】C 【解析】圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? 2 的圆心 C ( a, 0) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 d , 则 d ≤r ? B. [?1,3] C. [?3,1] D. (??, ?3] ? [1, ??)

)

2?

a ?1 2

≤ 2 ? a ? 1 ≤ 2 ? ?3 ≤ a ≤ 1 .

【例 5】 (2012 山东)圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 的位置关系为( A.内切 【答案】B B.相交 C.外切 D.相离

)

2 2 R 【解析】 两圆的圆心分别为 (?2,0) , 2,1) , 半径分别为 r ? 2 , ? 3 两圆的圆心距离为 ( ?2 ? 2) ? (0 ? 1) ? 17 , (

则 R ? r ? 17 ? R ? r ,所以两圆相交,选 B. 【例 6】 (2012 江西)过直线 x ? y ? 2 2 ? 0 上点 P 作圆 x ? y ? 1的
2 2

两条切线,若两条切线的夹角是 60° ,则点 P 的坐标是__________. 【答案】 ( 2 , 2 ) 【解析】如图:由题意可知 ?APB ? 60 , 由切线性质可知 ?OPB ? 30 ,
0 0

在直角三角形 OBP 中, | OP |? 2 | OB |? 2 .设点 P( x,2 2 ? x) , 则 | OP |?
2

x 2 ? (2 2 ? x) 2 ? 2 ,即 x2 ? (2 2 ? x)2 ? 4 ,

整理得 x ? 2 2 x ? 2 ? 0 ,即 ( x ? 2 )2 ? 0 , 所以 x ?
0

2 ,即点 P 的坐标为 ( 2 , 2 ) .
0

法二:如图:由题意可知 ?APB ? 60 ,由切线性质可知 ?OPB ? 30 ,在直角三角形 OBP 中,| OP |? 2 | OB |? 2 , 圆心到直线的距离为 d ?

?2 2 2

?x ? y ? 2 2 ? 0 ? 2 ,所以 OP 垂直于直线 x ? y ? 2 2 ? 0 , 由 ? ,解得 ?y ? x

3

? ?x ? 2 ,即点 P 的坐标为 ( 2 , 2 ) 。 ? ?y ? 2 ?
【例 7】 (2009 四川)若⊙ O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m)2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处 的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 【答案】4 .

【解析】由题知 O1 (0,0), O2 (m,0) ,且 5 ? m ? 3 5 ,又 O1 A ? AO2 ,所以有

m2 ? ( 5)2 ? (2 5)2 ? 25 ? m ? ?5,? AB ? 2 ?
【例 8】 (2011 福建)已知直线 l : y ? x ? m, m ? R .

5 ? 20 ? 4. 5

(I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (II)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? ,问直线 l ? 与抛物线 C: x2 ? 4 y 是否相切?说明理由。 【答案】 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 8 ;当 m =1 时,直线 l ? 与抛物线 C 相切,当 m ≠1 时,直线 l ? 与抛物线 C 不相切. 【解析】 (I)由题意知 P (0, ∴ k PM =

m ),∵以点 M (2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P ,

m?0 2 2 = ?1 ,解得 m =2,∴圆 M 的半径 r ? (2 ? 0) ? (0 ? 2) = 2 2 , 0?2

∴所求圆 M 的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 8 ; (II)∵直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? , l : y ? x ? m , m ∈ R , ∴ l ? : y ? ? x ? m ,代入 x2 ? 4 y 得 x ? 4 x ? 4m ? 0 ,
2

? = 42 ? 4 ? 4 ? m = 16 ? 16m ,
当 m <1 时, ? >0,直线 l ? 与抛物线 C 相交; 当 m =1 时, ? =0,直线 l ? 与抛物线 C 相切; 当 m >1 时, ? <0,直线 l ? 与抛物线 C 相离. 综上所述,当 m =1 时,直线 l ? 与抛物线 C 相切,当 m ≠1 时,直线 l ? 与抛物线 C 不相切. 【例 9】已知圆 C1 : x ? y ? 2mx ? 4 y ? m ? 5 ? 0 ,圆 C2 : x ? y ? 2x ? 2my ? m ? 3 ? 0 ,m 为何值时,
2 2 2 2 2 2

(1)圆 C1 与圆 C2 相外切; (2)圆 C1 与圆 C2 内含. 【答案】 当m ? ?5或m ? 2 圆 C1 与圆 C2 外切;当 ?2 ? m ? ?1 时,圆 C1 与圆 C2 内含.

4

【解析】对于圆 C1 与圆 C2 的方程,配方得: C1 : ( x ? m)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 ;.
2 2 (1)如果圆 C1 与圆 C2 外切,则有 (m ? 1) (m ? 2) ? 3 ? 2,

(m ? 1)2 (m ? 2)2 ? 25, 即m2 ? 3m ?10 ? 0, 解得m ? ?5或m ? 2 .
2 2 (2)如果圆 C1 与圆 C2 内含,则有 (m ? 1) (m ? 2) ? 3 ? 2,

(m ? 1)2 (m ? 2)2 ? 1, m2 ? 3m ? 2 ? 0 ,解得 ?2 ? m ? ?1 ,
?当m ? ?5或m ? 2 时,圆 C1 与圆 C2 外切;
当 ?2 ? m ? ?1 时,圆 C1 与圆 C2 内含. 【例 10】 (2011 广东)设圆 C 与两圆 ( x ? 5)2 ? y2 ? 4 , ( x ? 5)2 ? y2 ? 4 中的一个内切,另一个外切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)已知点 M(

3 5 4 5 , ),F( 5 ,0),且 P 为 L 上动点.求||MP|-|FP||的最大值及此时点 P 的坐标. 5 5

【答案】

x2 6 5 2 5 ? y 2 ? 1;( ,- ) 4 5 5

【解析】 (1)两圆的圆心分别为 A(- 5 ,0),B( 5 ,0),半径为 2,设圆 C 的半径为 r.由题意得|CA|=r-2,|CB| =r+2 或|CA|=r+2,|CB|=r-2, 两式相减得|CA|-|CB|=-4 或|CA|-|CB|=4,即||CA|-|CB||=4. 则 C 的轨迹为双曲线,其中 2a=4,c= 5 ,b2=1 ∴圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)由(1)知 F 为双曲线 L 的一个焦点,如图,

连 MF 并延长交双曲线于一点 P,此时|PM|-|PF|=|MF|为||PM|-|FP||的最大值.

3 5 4 5 2 2 ? 5)? ( )=2 5 5 MF 的方程为 y ? ?2( x ? 5) 即 y ? 2 5 ? 2x 代入 x2-4y2=4 并整理得 15x2 ? 32 5x ? 84 ? 0 ,
又 MF ? ( 解得 x=

14 5 18 5 6 5 或 x= = , 15 15 5

5

6 5 12 5 2 5 为点 P 的横坐标,点 P 的纵坐标为 y p ? 2 5 ? . ?? 5 5 5 6 5 2 5 即||MP|-|FP||的最大值为 2,此时点 P 的坐标为( ,- ). 5 5
显然 x=

6


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