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高一数学人教A版必修二 课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.4_图文

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系

学案· 新知自解

1.了解直线与平面的三种位置关系,并会用图形语言和符号语言表示. 2.了解不重合的两个平面之间的两种位置关系,并会用图形语言和符号语 言表示.

空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线 a 在平面 α 内 公共点 符号表示 图形表示 直线 a 在平面 α 外 直线 a 与平面 α 相交 直线 a 与平面 α 平行

无数个 公共点 ________ a?α ________

1个 公共点 ______ a∩α=A __________

0个 公共点 ______ a∥α ______

平面与平面之间的位置关系 位置关系 公共点 图形表示 符号表示 两平面平行 没有公共点 两平面相交 有一条公共直线

α∥ β ________

α∩β=a __________

[化解疑难] 直线与平面位置关系的分类 (1)按有无公共点分类 ?直线和平面平行?无公共点? ? ? ?直线和平面相交?有且只有一个公 ? ? ?直线和平面不平行? 共点? ?直线在平面内?有无数个公共点? ? ? ?

(2)按是否在平面内进行分类 ?直线在平面内 ? ? ? ?直线和平面相交 ?直线不在平面内? ? ?直线和平面平行 ?

1.若直线 a 不平行于平面 α,则下列结论成立的是( A. α 内的所有直线均与 a 异面 B. α 内不存在与 a 平行的直线 C. α 内直线均与 a 相交 D.直线 a 与平面 α 有公共点
解析:

)

若直线 a 不平行于平面 α,则直线 a 在平面 α 内或直线 a 与平面 α

相交,故选 D.

答案:

D

2.平面 α∥平面 β,直线 a∥平面 α,则 ( A. a∥ β C. a 与 β 相交 解析:

)

B. a 在平面 β 上 D. a∥β 或 a?β

如图 1 满足 a∥ α,α∥β,此时 a∥ β;

如图 2 满足 a∥α,α∥β,此时 a? β,故选 D.

答案:

D

3.下列命题: ①若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则 l∥α; ②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α; ③若直线 a∥b,直线 b? α,则 a∥α; ④若直线 a∥b,直线 b? α,那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线. 其中假命题的序号是________.

解析:

对于①,∵直线 l 虽与平面 α 内无数条直线平行,

但 l 有可能在平面 α 内,∴l 不一定平行于 a,∴①是假命题. 对于②,∵直线 a 在平面 α 外包括两种情况:a∥α 和 a 与 α 相交,∴a 和 α 不一定平行,∴②是假命题. 对于③,∵直线 a∥b,b?α,则只能说明 a 和 b 无公共点,但 a 可能在平面 α 内,∴a 不一定平行于 α,∴③是假命题. 对于④,∵a∥b,b?α,那么 a?α 或 a∥α, 所以 a 可能与平面 α 内的无数条直线平行,∴④是真命题.

答案:

①②③

教案· 课堂探究

直线与平面的位置关系 自主练透型 已知平面 α,直线 a, b,则下列说法中正确的个数是( ①若 a? α,则 a∥α; ②若 a∥ b, b?α,则 a∥ α; ③若 a∥ α, b∥ α,则 a∥ b; ④若 a 与 α 内的任何一条直线都不相交,则 a∥α. A. 0 个 C. 2 个 B. 1 个 D. 3 个 )

解析:

①错误.因为直线 a 在平面 α 外,包括两种情况:a∥ α 和 a 与 α

相交,所以 a 不一定平行于 α. ②错误.因为 a∥ b,b? α,则只能说明 a 和 b 无公共点,但 a 可能在平面 α 内,所以 a 不一定平行于 α.

③错误.如图所示,直线 a∥α,直线 b∥α,但 a 与 b 相交.

④正确.若 a 与 α 内的任何一条直线都不相交,则 a 与 α 无公共点,所以 a ∥ α.综上可知,正确的说法只有 1 个.

答案:

B

[归纳升华] 直线与平面位置关系的判断方法和注意事项 (1)判断方法: 首先把文字语言转化为图形语言,然后弄清图形间的相对位置是确定的还是 可变的,最后根据定义确定直线与平面的位置关系. 可以借助几何体模型,把要判断关系的直线和平面放在某些具体的空间图形 中,以便正确作出判断,切忌凭空臆断.

(2)注意事项: ①空间中直线与平面只有三种位置关系:直线与平面平行、直线与平面相交 和直线在平面内.在判断直线与平面的位置关系时,这三种情形都要考虑到,避 免疏忽和遗漏. ②正确理解“直线在平面外”的含义 .

1.下列结论正确的是________. (1)若直线 a∥平面 α,直线 b?α,则 a∥b. (2)若直线 a∥平面 α,直线 b∥平面 α,则直线 a 与 b 相交. (3)若直线 a?平面 α,则 a∥α 或 a 与 α 相交. (4)若直线 a∩平面 α= A,则 a? α. (5)若直线 a?平面 α,直线 b?平面 α,则 a, b 无公共点.

解析: (1)错,a,b 还可能异面;(2)错,a,b 还可能异面或平行;(3)正确, a? α 包含两种情况,相交或平行;(4)正确,a∩α=A,则 a 与 α 相交,有 a? α; (5)错,a,b 还可能相交.

答案:

(3)(4)

平面与平面的位置关系 多维探究型 (1)平面 α 内有无数条直线与平面 β 平行, 问 α∥β 是否正确, 为什么? (2)平面 α 内的所有直线与平面 β 都平行,问 α∥β 是否正确,为什么?

解析:

(1)不正确.

如图所示,设 α∩ β=l,则在平面 α 内与 l 平行的 直线可以有无数条:a1, a2,…, an,…,它们是一 组平行线,这时 a1,a2,…,an,…与平面 β 都平行 (因为 a1,a2,…,an,…与平面 β 无交点),但此时 α 与 β 不平行,α∩ β=l. (2)正确. 平面 α 内所有直线与平面 β 平行,则平面 α 与平面 β 无交点,符合平面与平 面平行的定义.

[归纳升华] 两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似,可以从有无公共点 区分:如果两个平面有一个公共点,那么由公理 3 可知,这两个平面相交于过这 个点的一条直线;如果两个平面没有公共点,那么就说这两个平面互相平行.这 样我们可以得出两个平面的位置关系:①平行——没有公共点;②相交——有且 只有一条公共直线.若平面 α 与 β 平行,记作 α∥β;若平面 α 与 β 相交,且交 线为 l,记作 α∩β=l.

2.(1)在下列四个命题中,为真命题的共有(

)

①若 a? α,b?α,a∥β,b∥β,则 α∥ β;②若对任一直线 a?α,均有 a∥β, 则 α∥ β;③ a? α,a∩ β=A,则 α 不平行 β;④a?α,α∩ β=l,则 a 不平行 β. A. 1 个 C. 3 个 B. 2 个 D. 4 个

解析: ①假命题.例如教室内黑板的上、下边均与地面平行,但黑板所在 平面与地面不平行.②真命题.若 α∩ β= l,取 a 为 l,则 a 不平行 β,与题设矛 盾,故假设不成立,即有 α∥ β.③真命题.因为 A∈a?α, A∈β,所以 α 与 β 有 公共点,所以 α 不平行 β.④假命题.因为 α 与 β 有公共直线 l,所以当 a∥ l 时, a∥ β.综上所述,②、③为真命题,而①、④为假命题.

答案:

B

(2)α,β 是两个不重合的平面,下面说法正确的是(

)

A.平面 α 内有两条直线 a,b 都与平面 β 平行,那么 α∥β B.平面 α 内有无数条直线平行于平面 β,那么 α∥β C.若直线 a 与平面 α 和平面 β 都平行,那么 α∥β D.平面 α 内所有的直线都与平面 β 平行,那么 α∥β

解析: A,B 都不能保证 α,β 无公共点,如图①;C 中当 a∥ α,a∥ β 时, α 与 β 可能相交,如图②;只有 D 说明 α, β 一定无公共点.

答案:

D

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