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通用版2017届高考数学专题训练第一部分知识方法篇专题7解析几何第31练直线与圆锥曲线的综合问题文


第 31 练

直线与圆锥曲线的综合问题

[题型分析·高考展望] 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题, 从近几年的高考试 题来看, 除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外, 在选择题或填空题中出现的圆锥 曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高,但有时灵 活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果. 预测在今后高考中, 主要围绕着 直线与椭圆的位置关系进行命题,有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来;对于方程 的求解,不要忽视轨迹的求解形式, 后面的设问将是对最值、 定值、 定点、 参数范围的考查, 探索类和存在性问题考查的概率也很高.

体验高考

1.(2015·江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. 2 (1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C, 若|PC|=2|AB|,求直线 AB 的方程. 解 (1)由题意,得 =

x2 y2 a b

c a

2 a 且 c+ =3, 2 c

2

解得 a= 2,c=1,则 b=1, 所以椭圆的标准方程为 +y =1. 2 (2)当 AB⊥x 轴时,AB= 2,又 CP=3,不合题意. 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为

x2

2

y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
将 AB 的方程代入椭圆方程, 得(1+2k )x -4k x+2(k -1)=0,
2 2 2 2

1

2k ± 2?1+k ? 则 x1,2= , 2 1+2k

2

2

C 的坐标为?

? 2k 2, -k 2?,且 ? ?1+2k 1+2k ?

2

AB= ?x2-x1?2+?y2-y1?2= ?1+k2??x2-x1?2
2 2?1+k ? = . 2 1+2k 若 k=0,则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而 k≠0,故直线 PC 的方程为
2

y+

2k ? 1? =- ?x- 2?, 1+2k k? 1+2k ?

k

2

2

则 P 点的坐标为?-2,
2

? ?

5k +2 ? , k?1+2k2?? ?
2

2

2?3k +1? 1+k 从而 PC= .因为|PC|=2|AB|, 2 |k|?1+2k ? 2?3k +1? 1+k 4 2?1+k ? 所以 = ,解得 k=±1. 2 2 |k|?1+2k ? 1+2k 此时直线 AB 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1. 2.(2016·浙江)如图,设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上的点 A 到 y 轴的距离 等于|AF|-1.
2 2 2 2

(1)求 p 的值; (2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B, 过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N,

AN 与 x 轴交于点 M,求 M 的横坐标的取值范围.
解 (1)由题意可得, 抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x=-1 的距离, 由抛物 线的定义得 =1, 2 即 p=2. (2)由(1)得,抛物线方程为 y =4x,F(1,0), 可设 A(t 2t),t≠0,t≠±1. 因为 AF 不垂直于 y 轴,
2, 2

p

2

?y =4x, ? 可设直线 AF:x=sy+1(s≠0),由? ?x=sy+1 ?

2

消去 x 得 y -4sy-4=0.

2

2? ?1 故 y1y2=-4,所以 B? 2,- ?.

?t

t?

又直线 AB 的斜率为

2t , t -1
2

故直线 FN 的斜率为-

t2-1 , 2t t2-1 (x-1), 2t

从而得直线 FN:y=- 2 直线 BN:y=- .

t

2? ?t +3 所以 N? 2 ,- ?. t? ?t -1

2

设 M(m,0),由 A,M,N 三点共线得

t 2t = , t2-m 2 t2+3 t- 2 t -1

2 2t+

于是 m=

2t ,所以 m<0 或 m>2. t2-1

2

经检验,m<0 或 m>2 满足题意. 综上,点 M 的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞). 3.(2016·四川)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的 1? ? 三个顶点,点 P? 3, ?在椭圆 E 上. 2? ? (1)求椭圆 E 的方程; 1 (2)设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 M, 2 直线 OM 与椭圆 E 交于 C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|. (1)解 由已知,得 a=2b, 1 1 x y x2 ? ? 故 3 + 4 =1, 2 又椭圆 2+ 2=1(a>b>0)过点 P? 3, ?, 解得 b = 1. 所以椭圆 E 的方程是 + 2 2 2? a b 4b b 4 ?
2 2

x2 y2 a b

y2=1.
1 (2)证明 设直线 l 的方程为 y= x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2). 2

3

x ? ? 4 +y =1, 由方程组? 1 y= x+m, ? ? 2
2 2

2

得 x +2mx+2m -2=0,①

2

2

方程①的判别式为 Δ =4m -4(2m -2),由 Δ >0, 即 2-m >0,解得- 2<m< 2. 由①得 x1+x2=-2m,x1x2=2m -2.
2 2

2

m? 1 ? 所以 M 点坐标为?-m, ?,直线 OM 方程为 y=- x, 2 2 ? ? x ? ? 4 +y =1, 由方程组? 1 ?y=-2x, ?
2 2

得 C?- 2,

? ?

2? ? 2? ?,D? 2,- ?. 2? ? 2? 5 5 (-m+ 2)· ( 2+m) 2 2

所以|MC|·|MD|= 5 2 = (2-m ). 4

1 2 又|MA|·|MB|= |AB| 4 1 5 2 2 2 = [(x1-x2) +(y1-y2) ]= [(x1+x2) -4x1x2] 4 16 5 5 2 2 2 = [4m -4(2m -2)]= (2-m ). 16 4 所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

高考必会题型 题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用

x y 2 例 1 设焦点在 x 轴上的椭圆 M 的方程为 + 2=1(b>0),其离心率为 . 4 b 2
(1)求椭圆 M 的方程; (2)若直线 l 过点 P(0,4),则直线 l 何时与椭圆 M 相交? 解 (1)因为椭圆 M 的离心率为 2 , 2

2

2

4

4-b ? 2?2 2 所以 =? ? ,得 b =2. 4 ?2?
2

所以椭圆 M 的方程为 + =1. 4 2 (2)①过点 P(0,4)的直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l 与椭圆 M 相交.

x2 y2

y=kx+4, ? ? 2 2 ②过点 P(0,4)的直线 l 与 x 轴不垂直时, 可设直线 l 的方程为 y=kx+4.由?x y + =1 ? ?4 2
消去 y, 得(1+2k )x +16kx+28=0. 因为直线 l 与椭圆 M 相交, 所以 Δ =(16k) -4(1+2k )×28=16(2k -7)>0, 解得 k<- 14 14 或 k> . 2 2
2 2 2 2 2

综上, 当直线 l 垂直于 x 轴或直线 l 的斜率的取值范围为?-∞,- 直线 l 与椭圆 M 相交. 点评

? ?

14? ? 14 ? ?∪? ,+∞?时, 2 ? ? 2 ?

对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题,一是利用方程的根的判别式来确

定,但一定要注意,利用判别式的前提是二次项系数不为零;二是利用图形来处理和理解; 三是直线过定点位置不同,导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同. 变式训练 1 (2015·安徽)设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),点 O 为坐标原点,点 A 的 坐标为(a,0),点 B 的坐标为(0,b),点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率 为 5 . 10

x2 y2 a b

(1)求椭圆 E 的离心率 e; 7 (2)设点 C 的坐标为(0, -b), N 为线段 AC 的中点, 点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 , 2 求 E 的方程.

?2 1 ? 解 (1)由题设条件知,点 M 的坐标为? a, b?, ?3 3 ?
又 kOM= 5 b 5 ,从而 = , 10 2a 10

c 2 5 2 2 进而得 a= 5b,c= a -b =2b,故 e= = . a 5
(2) 由题设条件和 (1) 的计算结果可得,直线 AB 的方程为

x
5b

+ = 1 ,点 N 的坐标为
5

y b

1 ? ? 5 ? b,- b?. 2 ? ?2 7? ? 设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为?x1, ?, 2? ? 则线段 NS 的中点 T 的坐标为? 1 7? ? 5 x1 b+ ,- b+ ?. 2 4 4? ?4

又点 T 在直线 AB 上,且 kNS·kAB=-1,

? 4 b+ 2 +-4b+4=1, ? 5b b 从而有? 7 1 + b 2 2 ?x - 5b= 5, ? 2
5

x1

1

7

解得 b=3.

1

所以 a=3 5,故椭圆 E 的方程为 + =1. 45 9 题型二 直线与圆锥曲线的弦的问题

x2

y2

x2 y2 a2 例 2 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),过点 E( , a b c
0)的直线与椭圆相交于 A,B 两点,且 F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B|. (1)求椭圆的离心率; (2)求直线 AB 的斜率. 解 (1)由 F1A∥F2B,且|F1A|=2|F2B|, |EF2| |F2B| 1 得 = = , |EF1| |F1A| 2

a2 -c c 1 从而 2 = , a 2 +c c
整理,得 a =3c ,故离心率 e= (2)由(1)得 b =a -c =2c , 所以椭圆的方程可写为 2x +3y =6c , 设直线 AB 的方程为 y=k(x- ),即 y=k(x-3c). 由已知设 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 . 3

a2 c

6

?y=k?x-3c?, ? 则它们的坐标满足方程组? 2 2 2 ?2x +3y =6c ?

消去 y 并整理, 得(2+3k )x -18k cx+27k c

2

2

2

2 2

-6c =0, 依题意,Δ =48c (1-3k )>0, 得- 3 3 <k< ,(*) 3 3
2 2 2

2

18k c 而 x1+x2= 2,① 2+3k

x1x2=

27k c -6c ,② 2 2+3k

2 2

2

由题设知,点 B 为线段 AE 的中点, 所以 x1+3c=2x2,③ 9k c-2c 9k c+2c 联立①③解得 x1= 2 ,x2= 2 , 2+3k 2+3k 将 x1,x2 代入②中,解得 k=± 故所求 k 的值是± 2 . 3 2 满足(*)式, 3
2 2

点评 直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程,弦长,弦的位置确定,弦中点坐标轨迹等 问题,解决这些问题的总体思路是设相关量,找等量关系,利用几何性质列方程(组),不等 式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系,使问题解决. 变式训练 2 设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,过 F1 且斜率为 1 的 直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求椭圆 E 的离心率; (2)设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求椭圆 E 的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a, 4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= a, 3

x2 y2 a b

l 的方程为 y=x+c,其中 c= a2-b2. y=x+c, ? ? 2 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点的坐标满足方程组?x y 2+ 2=1 ? ?a b
-2a c a ?c -b ? 2 2 2 2 2 2 +b )x +2a cx+a (c -b )=0,则 x1+x2= 2 ,x1x2= . a +b2 a2+b2
2 2 2 2

消去 y,化简得(a

2

7

4 4ab 2 因为直线 AB 的斜率为 1,所以|AB|= 2|x2-x1|= 2[?x1+x2? -4x1x2],即 a= 2 2, 3 a +b 故 a =2b , 所以 E 的离心率 e= =
2 2

2

c a

a2-b2 2 = . a 2

(2)设 AB 的中点为 N(x0,y0),由(1)知

x1+x2 -a2c 2c c x0= = 2 ,y0=x0+c= . 2=- 2 a +b 3 3
由|PA|=|PB|,得 kPN=-1,即 得 c=3,从而 a=3 2,b=3. 故椭圆 E 的方程为 + =1. 18 9

y0+1 =-1, x0

x2

y2

高考题型精练 1.(2015·北京)已知椭圆 C:x +3y =3,过点 D(1,0)且不过点 E(2,1)的直线与椭圆 C 交 于 A,B 两点,直线 AE 与直线 x=3 交于点 M. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率; (3)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由. 解 (1)椭圆 C 的标准方程为 +y =1, 3 所以 a= 3,b=1,c= 2. 所以椭圆 C 的离心率 e= =
2 2

x2

2

c a

6 . 3

(2)因为 AB 过点 D(1,0)且垂直于 x 轴, 所以可设 A(1,y1),B(1,-y1), 直线 AE 的方程为 y-1=(1-y1)(x-2), 令 x=3,得 M(3,2-y1), 2-y1+y1 所以直线 BM 的斜率 kBM= =1. 3-1 (3)直线 BM 与直线 DE 平行,证明如下: 当直线 AB 的斜率不存在时, 由(2)可知 kBM=1. 又因为直线 DE 的斜率 kDE= 1-0 =1, 2-1
8

所以 BM∥DE, 当直线 AB 的斜率存在时, 设其方程为 y=k(x-1)(k≠1), 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则直线 AE 的方程为 y-1= 令 x=3,得点 M?3,
? ?x +3y =3, 由? ?y=k?x-1?, ?
2 2 2

y1-1 (x-2). x1-2

? ?

y1+x1-3? , x1-2 ? ?
得(1+3k )x -6k x+3k -3=0,
2 2 2 2 2

6k 3k -3 所以 x1+x2= 2,x1x2= 2, 1+3k 1+3k

y1+x1-3 -y2 x1-2 直线 BM 的斜率 kBM= , 3-x2
因为 kBM-1 =

k?x1-1?+x1-3-k?x2-1??x1-2?-?3-x2??x1-2? ?3-x2??x1-2?

?k-1?[-x1x2+2?x1+x2?-3] = ?3-x2??x1-2? 3 12k ?-3k + ? ?k-1?? 2 + 2-3? 1+3k ? 1+3k ? = =0, ?3-x2??x1-2? 所以 kBM=1=kDE. 所以 BM∥DE, 综上可知,直线 BM 与直线 DE 平行. 2.(2016·课标全国甲)已知 A 是椭圆 E: + =1 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 4 3
2 2

x2 y2

A,M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA.
(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积; (2)当 2|AM|=|AN|时,证明: 3<k<2. (1)解 设 M(x1,y1),则由题意知 y1>0,由|AM|=|AN|及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜 π 角为 . 4 又 A(-2,0),因此直线 AM 的方程为 y=x+2. 将 x=y-2 代入 + =1 得 7y -12y=0, 4 3

x2 y2

2

9

12 12 解得 y=0 或 y= ,所以 y1= . 7 7 1 12 12 144 因此△AMN 的面积 S△AMN=2× × × = . 2 7 7 49 (2)证明 将直线 AM 的方程 y=k(x+2)(k>0)代入 + =1 得(3+4k )x +16k x+16k -12 4 3 =0, 16k -12 2?3-4k ? 由 x1·(-2)= , 2 得 x1= 2 3+4k 3+4k 12 1+k 故|AM|=|x1+2| 1+k = 2 . 3+4k
2 2 2 2

x2 y2

2

2

2

2

1 由题设,直线 AN 的方程为 y=- (x+2),

k

12k 1+k 故同理可得|AN|= . 2 3k +4 由 2|AM|=|AN|,得
3 2

2

2 k , 2= 2 3+4k 3k +4

即 4k -6k +3k-8=0, 设 f(t)=4t -6t +3t-8,则 k 是 f(t)的零点,
3 2

f′(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,
所以 f(t)在(0,+∞)单调递增, 又 f( 3)=15 3-26<0,f(2)=6>0, 因此 f(t)在(0,+∞)有唯一的零点, 且零点 k 在( 3,2)内, 所以 3<k<2. 3 2 3.已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为 . 2 设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值. |c+2| 3 2 解 (1)依题意知 = ,c>0,解得 c=1. 2 2 所以抛物线 C 的方程为 x =4y. 1 2 1 (2)由 y= x 得 y′= x, 4 2
2

10

1 1 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则切线 PA,PB 的斜率分别为 x1, x2,所以切线 PA 的方程为 y- 2 2

x1 x1 x2 1 y1= (x-x1),即 y= x- +y1,即 x1x-2y-2y1=0.
2 2 2 同理可得切线 PB 的方程为 x2x-2y-2y2=0, 又点 P(x0,y0)在切线 PA 和 PB 上, 所以 x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0, 所以(x1,y1),(x2,y2)为方程 x0x-2y0-2y=0 的两组解,所以直线 AB 的方程为 x0x-2y -2y0=0. (3)由抛物线定义知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1, 联立方程?
?x0x-2y-2y0=0, ? ? ?x =4y,
2 2 2 2

消去 x 整理得 y +(2y0-x0)y+y0=0, 所以 y1+y2=x0-2y0,y1y2=y0, 所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1 =y0+x0-2y0+1 =y0+(y0+2) -2y0+1=2y0+2y0+5 1?2 9 ? =2?y0+ ? + , 2? 2 ? 1 所以当 y0=- 时, 2 9 |AF|·|BF|取得最小值,且最小值为 . 2 4.已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的右顶点为 A(1,0),过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为 1. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设点 P 在抛物线 C2:y=x +h(h∈R)上,C2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M,N.当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值.
2 2 2 2 2 2 2 2

y2 x2 a b

b=1, ? ? 解 (1)由题意,得? b2 2· =1, ? ? a
因此,椭圆 C1 的方程为 +x =1. 4

从而?

?a=2, ? ?b=1. ?

y2

2

(2)如图,设 M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t +h),

2

11

则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 y′|x=t=2t . 直线 MN 的方程为 y=2tx-t +h. 将上式代入椭圆 C1 的方程中,得 4x +(2tx-t +h) -4=0,即 4(1+t )x -4t(t -h)x+ (t -h) -4=0. 因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点, 所以①式中的 Δ 1=16[-t +2(h+2)t -h +4]>0. 设线段 MN 的中点的横坐标是 x3, 则 x3=
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2





x1+x2 t?t2-h? = . 2 2 2?1+t ? t+1
2 .

设线段 PA 的中点的横坐标是 x4,则 x4= 由题意,得 x3=x4, 即 t +(1+h)t+1=0.
2


2

由③式中的 Δ 2=(1+h) -4≥0,得 h≥1,或 h≤-3. 当 h≤-3 时,h+2<0,4-h <0, 则不等式②不成立,所以 h≥1. 当 h=1 时,代入方程③得 t=-1, 将 h=1,t=-1 代入不等式②,检验成立. 所以,h 的最小值为 1.
2

12


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