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新人教A版 选修2-3 离散型随机变量的均值与方差(二)


离散型随机变量的方差
复习引入
问题提出

方差定义

方差的两 个性质 本课小结

思考三

作业:课本 P

79

A 组第 1,4 题

离散型随机变量的方差
前面,我们认识了数学期望. 数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布 列为

ξ P
则称

x1 p1

x2 … xk … xn p2 … pk … pn
… ? x k p k ? … ? x n p n 为 ξ 的数

E ? ? x 1 p1 ? x 2 p 2 ?

学期望,简称期望.数学期望是离散型随机变量的一个特征 数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,表示了随机 变量在随机实验中取值的平均值,所以又常称为随机变量的 平均数、均值.但有时两个随机变量只用这一个特征量是无 法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中 与离散的程度进行刻画.

问题探究: 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环 数?1、?2的分布列如下:
9 10 ?1 8 P 0.2 0.6 0.2 9 10 ?2 8 P 0.4 0.2 0.4

试比较两名射手的射击水平. 如果其他对手的射击成 如果其他对手 绩都在8环左右,应派哪一名选手参赛? 的射击成绩都在9环左右,应派哪一名选手参赛? 下面的分析对吗? 显然两名选 ∵ E ? ? ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.6 ? 10 ? 0.2 ? 9 手的水平是不同 E ? 2 ? 8 ? 0.4 ? 9 ? 0.2 ? 10 ? 0.4 ? 9 的,这里要进一步 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. 去分析他们的成 绩的稳定性. (你赞成吗?为什么?)

对于一组数据的稳定性的描述,我们是用方差 或标准差来刻画的.
一组数据的方差: 在一组数:x1,x2 ,…,xn 中,各数据的平均数为 则这组数据的方差为: x
S
2



?

1 n

[( x 1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ]
2 2 2

方差反映了这组 数据的波动情况 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差..

方差定义

离散型随机变量取值的方差和标准差: 一般地,若离散型随机变量?的概率分布列为: ? x1 x2 · · xi · · · xn ·
P

p1
2

p2

· · ·

pi
2

· pn · ·
2

则称 n
?

D ? ? ( x 1 ? E ? ) p1 ? ? ? ( x i ? E ? ) p i ? ? ? ( x n ? E ? ) p n
2

?

( xi ? E ? ) pi

为随机变量?的方差. 称? ? ? D ?

i?1

为随机变量?的标准差.
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程 度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于均值的平均 程度越小,即越集中于均值。 记忆方法: “三个的” 即 E ? ( ? ? ? ? ) ? ? D ? ? ?
2

练习一下

练习1.(课本第78练习)已知随机变量?的分布列 0 1 2 3 4 ? P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求D?和σ?. 解:E ? ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2
D ? ? ( 0 ? 2 ) ? 0 .1 ? (1 ? 2 ) ? 0 .2 ? ( 2 ? 2 ) ? 0 .4
2 2 2

? ( 3 ? 2 ) ? 0 .2 ? ( 4 ? 2 ) ? 0 .1 ? 1 .2
2 2

?? ?

D? ?

1.2 ? 1.095

2.若随机变量?满足P(?=c)=1,其中c为常 数,求E?和D?. E?=c×1=c D?=(c-c)2×1=0

根据期望的定义可推出下面两个重要结论: 结论1: ? ? a ? ? b , 则 E ? ? aE ? ? b ; 若

结论2:若ξ~B(n,p),则Eξ= np. 那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论: (1) 若 ? ? a ? ? b , 则 D? ? ? ;

(2)若ξ~B(n,p),则 Dξ= ?.

可以证明,对于方差有下面两个重要性质: 2 ⑴ D ( a? ? b ) ? a D ?
⑵ 若 ? ~ B ( n , p ), 则 D ? ? n p q (其 中 q ? 1 ? p )
练习一下

练习:

1.已知随机变量?的分布列为则E?与D?的值为( D )
(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3

(C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.21

? P

1 0.3

2 0.7

25 50 5 2.已知?~B(100,0.5),则E?=___,D?=____,???___? 99 E(2?-1)=____, D(2?-1)=____, ?(2?-1)=_____ 100 10
3、有一批数量很大的商品,其中次品占1%,现 从中任意地连续取出200件商品,设其次品数为 X,求EX和DX。

2,1.98

刚才问题再思考: 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环 数?1、?2的分布列如下:

9 10 ?1 8 P 0.2 0.6 0.2

9 10 ?2 8 P 0.4 0.2 0.4

试比较两名射手的射击水平. 如果其他对手的射击成 如果其他对手 绩都在8环左右,应派哪一名选手参赛? 的射击成绩都在9环左右,应派哪一名选手参赛? 解:∵ E ? ? ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.6 ? 10 ? 0.2 ? 9 如果对手在 8环左右,派甲. ∴甲、乙两射手的射击平均水平相同. 如果对手在9 又∵ D ? ? ? 0.4, D ? 2 ? 0.8, 环左右,派乙.
∴甲射击水平更稳定.
再看一例 例2

E ? 2 ? 8 ? 0.4 ? 9 ? 0.2 ? 10 ? 0.4 ? 9

例题:甲乙两人每天产量相同,它们的 次品个数分别为???,其分布列为 ? P 0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2 ? P 0 0.1 1 0.5 2 0.4

判断甲乙两人生产水平的高低?

课堂练习 1 解:

E?=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3 E?=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3

D?=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2 -1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21
期望值高,平均值大,水平高

方差值小,稳定性高,水平高

结论:甲乙两人次品个数的平均值相等, 但甲的稳定性不如乙,乙的生产水平高。

例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月 1200 1400 1600 1800
工资X1/元

获得相应职位的 概率P1
乙单位不同职位月 工资X2/元

0.4 1000

0.3 1400

0.2

0.1

1800 2200

获得相应职位的 概率P2

0.4

0.3

0.2

0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?
解:EX 1 ? 1400 , EX 2 ? 1400 DX 1 ? 40000 , DX 2 ? 112000 在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自 己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为 自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位.

选做作业: 思维挑战:

3.若随机变量?服从二项分布,且E?=6,

D ?=4,则此二项分布 是 。 设二项分布为? ~B(n,p) ,则

E?=np=6 D?=np(1-p)=4
作业:课本 P
79

n=18 p=1/3

A 组第 1,4 题


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