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2017北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》正、余弦定理的综合运用1


1 一.复习回顾: a b c ? ? ? 2R 1、正弦定理: sin A sin B sin C (其中:R为△ABC的外接圆半径) 2、三角形面积公式: S ?ABC 3、正弦定理的变形: 1 1 1 ? bc sin A ? ca sin B ? ab sinC 2 2 2 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C sin A : sin B : sin C ? a : b : c a b c sin A ? , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R 2 余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 变形 c ? a ? b ? 2ab cos C 2 2 在 ?ABC 中,以下的三角关系式,在解答有关三角形问题时, 经常用到,要记熟并灵活地加以运用: b ?c ?a cos A ? 2bc 2 2 2 c ?a ?b cos B ? 2ca 2 2 2 a ?b ?c cos C ? 2ab 2 2 2 A? B ? C ??; sin( A ? B) ? sinC , cos( A ? B) ? ? cos C A? B C A? B C sin ? cos , cos ? sin 2 2 2 2 3 二、例题分析 问题1: 在?ABC中, 1. 已知b ? 8,c ? 3,A ? 60?, 求a; 2. 已知a ? 20, b ? 29, c ? 21, 求B; 3. 已知a ? 3 3 , c ? 2, B ? 150?, 求b. 4. 已知?ABC的面积为 3,且a ? 2 3 , b ? 2, 求C 练习题答案: 1. 7; 150° 2. 90°; 3. 7; 4.30°或 4 问题2: 在?ABC中,已知2b=a+c,证明: A c b 2sinB=sinA+sinC 引:能找到三角形各边与对角正弦的关系吗? 导:如何利用正弦定理证明以上关系? B a C a b c ? ? ? 2R 证明:由 sin A sin B sin C 得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 将此式 代入 2b=a+c 得 2?2RsinB=2RsinA+2RsinC 即 2sinB=sinA+sinC 5 在?ABC中,已知b2 =a ? c, 变式1: 证明:sin2B=sinA ? sinC. 证明:由 A c a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C 得 b a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 2 将此式 代入 b =a ? c 得 2 B a C (2RsinB)=(2RsinA)(2RsinC) 即 sin B=sinA ? sinC 2 6 变式2: 在?ABC中,已知 sin 2 B ? sin 2 C ? sin A( 2 sin B ? sin A) 求角C. 7 问题3: 在三角形中,已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角A. A c 解:条件整理变形得 b b ? c ? a ? ?bc 2 2 2 B a C 即 动手实践:在?ABC中,已 知 2 2 2 1 cos A ? ? 2 b 2 ?c 2 ?a 2 2bc ?? 1 2 A=120 0 a ? b ? c ? 2ac ,求角B.

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