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【高考讲坛】高考数学一轮复习 第2章 第10节 导数及其运算课件 理 苏教版_图文

固 基 础 · 自 主 落 实 启 智 慧 · 高 考 研 析 第十节 提 知 能 · 典 例 探 究 导数及其运算 课 后 限 时 自 测 内容 A 导数的概念 √ 考纲传真 导数的几何 意义 导数的运算 简单复合函 数的导数 要求 B C √ √ √ 1.函数 f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义:设函数 y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),当 Δx f?x +Δx?-f?x0? 无限趋近于 0 时,比值 Δy= 0 无限趋近于一个常数 A, Δx Δx 则称 f(x)在点 x=x0 处可导, 并称常数 A 为函数 f(x)在 x=x0 处的导数 , 记作 f′(x0). (2)几何意义:函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y=f(x) 在点(x0,f(x0))处的切线的 斜率 .相应的切线方程是 y-y0=f′(x0)(x -x0) 2.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=xn(n 为常数) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a>0 且 a≠1) f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x 导函数 xn-1 f′(x)= n· f′(x)= cos x f′(x)= -sin x f′(x)= axln a (a>0 且 a≠1) f′(x)=ex f′(x)= 1 xln a f′(x)= 1 x 3.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)±g′(x) ; ; (2)[f(x)· g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) f′?x?g?x?-f?x?g′?x? f ? x? (3)[ ]′= (g(x)≠0). g?x? [g?x?]2 1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误 的打“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( (2)求 f′(x0)时,可先求 f(x0)再求 f′(x0).( ) ) ) ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( 1 (4)函数 f(x)=x ln x 的导函数为 f′(x)=2x· x =2.( 2 [解析] (1)f′(x0)是表示导函数 f′(x)在自变量为 x0 时的函数 值,而(f(x0))′是表示对函数值 f(x0)求导数.(1)错误 (2)求 f′(x0)要先求 f′(x)再求 f′(x0),(2)错误 (3)曲线的切线和曲线可能有一个交点也可能有多个交点. (3) 正确. (4)f(x)=x2ln x 的导函数为 f′(x)=2x· ln x+x=(2ln x+1)x.(4) 错误 [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.(教材习题改编)如图 2101,函数 y=f(x)的图象在点 P 处 的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)+f′(5)=________. 图 2101 [解析] f(5)=-5+8=3,而 f′(5)=-1,∴f(5)+f′(5)=2. [答案] 2 3.已知 f(x)=x+2sin x,则 f′(0)=________. [解析] f′(x)=1+2cos x,∴f′(0)=1+2cos 0=3. [答案] 3 4.(2014· 广东高考)曲线 y=-5ex+3 在点(0,-2)处的切线方 程为______________________________. [解析] 因为 y′|x=0=-5e0=-5,所以曲线在点(0,-2)处 的切线方程为 y-(-2)=-5(x-0),即 5x+y+2=0. [答案] 5x+y+2=0 5.(2013· 广东高考)若曲线 y=kx+ln x 在点(1,k)处的切线平 行于 x 轴,则 k=________. 1 [解析] 函数 y=kx+ln x 的导函数为 y′=k+x , 由导数 y′|x=1=0,得 k+1=0,则 k=-1. [答案] -1 考向 1 【典例 1】 ①y=e sin x 导数的计算 (1)求下列函数的导数: ? 2 1 1? x;②y=x?x +x +x3?; ? ? ln x x x ③y=x-sin 2cos 2;④y= 2 . x +1 ex (2)已知函数 f(x)= ,求 f′(2)的值. 1-x [解] (1)①y′=(ex)′sin x+ex(sin x)′ =exsin x+excos x. 1 ②∵y=x +1+x2, 3 2 ∴y′=3x -x3. 2 1 ③∵y=x-2sin x, 1 ∴y′=1-2cos x. ?ln x?′?x2+1?-ln x?x2+1?′ ④y′= ?x2+1?2 1 2 ?x +1?-2xln x x2+1-2x2ln x x = = ?x2+1?2 x?x2+1?2 ex?1-x?-ex×?-1? ?2-x?ex (2)f′(x)= = 2 2 .所以 f′(2)=0. ?1-x? ?1-x? 【规律方法】 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前 提.求导之前,应首先进行合理变形化简,转化为易求导的结构形 式,然后求导,这样可以减少运算量提高运算速度,减少差错. 2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止 与乘法公式混淆. 3.求导数值时一定要先求出导函数,再求导数值. 【变式训练 1】 (1)求下列函数的导数: ex+1 ①y= x ;②y=3xex-ln x+e. e -1 1 3 (2)f′(x)是函数 f(x)=3x +2x+1 的导函数,求 f′(-1)的值. ex+1 2 [解] (1)①∵y= x =1+ x , e -1 e -1 2ex ∴y′=- x 2. ?e -1? 1 ②y′=(3 )′e +3 (e )′-x x x x x 1 =3 e ln 3+3 e -x