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[套卷]广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学(理)试题


广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考数学(理)试题
本试卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答卷前,考生务必用 2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号,用黑色字迹钢笔或 签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2、选择题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上. 如需改动, 先划掉原的答案, 然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交. 5、不可以使用计算器.
? ? bx ? a ,其中 b ? 参考公式:回归直线 y

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )
i

? (x
i ?1

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

? x)

2

?x
i ?1

, a ? y ? bx .

2 i

锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 表示底面积,h 表示高. 3

一.选择题(共 8 小题,每小题 5 分) 1.在复平面内,复数 z ? (A) 第一象限

1 ? 2i 对应的点位于 1? i
(B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

2.已知集合 U ? R , A ? {x x2 ? 5x ? 6 ? 0} ,那么 Cu A ? (A) {x x ? 2 或 x ? 3} (B) {x 2 ? x ? 3} (C) {x x ? 2 或 x ? 3} (D) {x 2 ? x ? 3} 3.已知平面向量 a , b 的夹角为 60°, a ? ( 3,1) , | b |? 1 ,则 | a ? 2b |? (A) 2 (B) 7 (C) 2 3 (D) 2 7

4.设等差数列 ?an ? 的公差 d ≠0, a1 ? 4d .若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k ? (A) 3 或 -1 5. ( x ? (A) -160 6.已知函数 f ( x) ? ? (B) 3 或 1 (C) 3 (D) 1

2 6 ) 的展开式中常数项是 x
(B) -20 (C) 20
2

(D) 160

?x ,
3

x ? 0,

?ln( x ? 1), x>0. (A) (??, ?1) ? (2, ??) (B) (??, ?2) ? (1, ??)

若 f(2-x )>f(x),则实数 x 的取值范围是 (C) (?1, 2) y B (1,1) A x (D) (?2,1)
y ? x2

7.从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M ( x, y ) ,则点 M 取自阴影部分的概率为

1 (A) 2

1 (B) 3

1 (C) 4

1 (D) 6

C O

y? x

8.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x , g ( x) ? ax ? 2 (a>0),若 ?x1 ? [?1,2] , ?x2 ?[?1, 2] ,使得 f(x1)= g(x2),则实数 a 的取值范围是 (A) (0, ]

1 2

(0,3]

1 2 (D) [3, ??)
(B) [ , 3]

(C) y A

二.填空题(共 6 小题,每小题 5 分) (一)必做题: 9.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单

?
O A x

4 位圆交于点 A, 点 A 的纵坐标为 , 则 cosα = 5



10.已知某个三棱锥的三视图如图所示, 其中正视图是等边三 角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形则此三棱锥 的体积等于 。 11.双曲线的焦点在 x 轴上,实轴长为 4,离心率为 3,则该双曲线 的标准方程为 ,渐近线方程为 . 12.从某地高中男生中随机抽取 100 名 同学,将他们的体重(单位: kg)数据 绘制成频率分布直方图(如图) .由图中 数据可知体重的平均值为 kg; 若要从体重在[ 60 , 70) ,[70 ,80) , [80 , 90]三组内的男生中,用分层抽样 的方法选取 12 人参加一项活动,再从这 12 人选两人当正负队长,则这两人身高 不在同一组内的概率为 . 频率 组距 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005
正 视 图 侧 视 图

1

俯 视 图

13.将全体正奇数排成一个三角形数阵: 40 50 60 70 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ?? 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为 (二)选做题: 14. 已知圆 M: x +y -2x-4y+1=0, 则圆心 M 到直线 ?
2 2

80

90

体重(kg)



? x ? 4t ? 3, (t 为参数) 的距离为 ? y ? 3t ? 1,
A M C B P O



15.如图所示,过⊙O 外一点 A 作一条直线与⊙O 交于 C,D 两点, AB 切⊙ O 于 B ,弦 MN 过 CD 的中点 P .已知 AC=4 , AB=6 ,则 MP·NP= . D N

B

三、解答题(共 6 小题,满分 80 分)

16.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a、b、c,a ? 2 3,b ? 2 , cos A ? ? (1)求角 B 的大小; (2)若 f ( x) ? cos 2 x ? c sin 2( x ? B) ,求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间.

1 . 2

17. (本小题满分 12 分) 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用 7 局 4 胜制(即先胜 4 局者获胜,比 赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (1)求甲以 4 比 1 获胜的概率; (2)求乙获胜且比赛局数多于 5 局的概率; (3)求比赛局数的分布列.

19. (本题满分 14 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 (1)求 a1,a2; (2)求 Sn 与 Sn﹣1(n≥2)的关系式,并证明数列{ (3)求 S1?S2?S3…S2011?S2012 的值. }是等差数列; ,n=1,2,3…

20. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 动点 P 到两点 (? 3 , 设点 P 的 0) ,( 3 , 0) 的距离之和等于 4 , 轨迹为曲线 C ,直线 l 过点 E (?1, 0 ) 且与曲线 C 交于 A , B 两点.

(1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)是否存在△ AOB 面积的最大值,若存在,求出△ AOB 的面积;若不存在,说明理 由.

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 求 a , b 的值; (2)若函数 g ( x) ? e? ax ? f '( x) ,求函数 g ( x) 的单调区间.

(1)设函数 f(x)的图象与 x 轴交点为 A,曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是 y ? 3x ? 3 ,

1 3 1 2 x ? ax ? x ? b(a ? 0) , f '( x) 为函数 f ( x) 的导函数. 3 2

汕头四中 2013—2014 学年度高三级第一次月考试卷 数学(理科)试题 参考答案

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

3 9. ? 5
13. n -n+5
2

10.

3 3

x2 y 2 ? 1 , y ? ?2 2x 11. ? 4 32 25 14.2 15 4

12. 64 .5

2 3

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 二、解答题: 16、解:(Ⅰ) sin A ? 由

3 2

???????????2 分

a b ? sin A sin B

得 sin B ?

1 2

,

又 A 为钝角,故 B 为锐角 分) (Ⅱ)

B?

?
6

(没指出 B 范围扣 1

c?2

??????5 分 ???????????7 分

所以,所求函数的最小正周期为 ? 由 2 k? ? 得 k? ?

?

?
3

2

? 2x ?

?

6

? 2 k? ?

?

? x ? k? ?

?
6

2

,k ?Z

,k ?Z

所以所求函数的单调递增区间为 [k? ? 分)???12 分

?

, k? ? ], k ? Z (没写区间及指出 K 为整数扣 1 3 6

?

1 17 解:(1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是2.???1 分 记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A, 1 3 1 4-3 1 1 则 P(A)= C3 ( ) · = .???3 分 4 (2) · 2 2 8 (2)记“乙获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B.

?1? 因为乙以 4 比 2 获胜的概率为 P1= C ? ? ?2?
3 5

3

?1? · ? ? ?2?
6 ?3

5?3

1 5 ·= , 2 32

?1? 乙以 4 比 3 获胜的概率为 P2= C ? ? ?2?
3 6

3

?1? · ? ? ?2?

1 5 ·= , 2 32

5 所以 P(B)=P1+P2= .???7 分 16

18、解:证明: (Ⅰ)连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN. ????????1 分 ∵BC∥AD 且 BC=

1 AD,即 BC // AQ. 2

∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点, 又∵点 M 是棱 PC 的中点, ∴ MN // PA ????????2 分 ∵ MN ? 平面 MQB,PA ? 平面 MQB,???????3 分 ∴ PA // 平面 MBQ. ????????4 分 (Ⅱ)∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ????????6 分 ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ????????7 分 ∴BQ⊥平面 PAD. ????????8 分 ∵BQ ? 平面 PQB, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. ???????9 分 另证:AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点∴ BC // DQ 且 BC= DQ, 2

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. ???????6 分 ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ????????7 分 ∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. ???????8 分 z ∵ AD ? 平面 PAD, P ∴平面 PQB⊥平面 PAD. ????????9 分 (Ⅲ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD.?????10 分 (不证明 PQ⊥平面 ABCD 直接建系扣 1 分) 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. ? Q 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ;

M D C N B y

Q(0,0,0) , P(0,0, 3) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) .???11 分 A 设 M ( x, y, z ) , ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? x 则 PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z) ,∵ PM ? tMC , t ? ?x ? ? 1? t ? x ? t (?1 ? x) ? ? 3t ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ∴ ?y ? ????????12 分 1 ? t ? ? ? z ? 3 ? t (? z) ? 3 ?z ? ? 1? t ???? ? ??? ? t 3t 3 , , ), 在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? (? 1? t 1? t 1? t ?? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) . ????????13 分 ? ?? n?m t 3 ? ? ∵二面角 M-BQ-C 为 30°, cos 30 ? ? ?? ? ,∴ t ? 3 .??14 分 2 n m 3 ? 0 ? t2

19. (1)解:当 n=1 时,由已知得

,解得

同理,可解得 (2)证明:由题设 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 代入上式,得 SnSn﹣1﹣2Sn+1=0 ∴

????????(4 分)

,????????(7 分)



=﹣1+

∴{

}是首项为

=﹣2,公差为﹣1 的等差数列 ???????(10 分)



=﹣2+(n﹣1)?(﹣1)=﹣n﹣1

∴Sn=

…(12 分) ? = (14 分)

(3)解:S1?S2?S3…S2011?S2012= ? ? …?

? x2 2 ? ? y ? 1, 则? 4 ? x ? my ? 1. ?
整理得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 .?????????????8 分
2 2

由 ? ? (2m) ? 12(m ? 4) ? 0 .
2 2

设 A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ) .

解得

y1 ?

m ? 2 m2 ? 3 , m2 ? 4

y2 ?

m ? 2 m2 ? 3 . m2 ? 4

2 ?3 . 则 | y2 ? y1 |? 4 m m2 ? 4 因为 S ?AOB ? 1 OE ? y1 ? y2 2

?

2 m2 ? 3 2 ? 2 m ?4 m2 ? 3 ?

1 m2 ? 3

. ?????????11 分

设 g (t ) ? t ? , t ?

1 t

m2 ? 3 , t ? 3 .

则 g (t ) 在区间 [ 3, ??) 上为增函数. 所以 g (t ) ?

4 3 . 3 3 3 ,当且仅当 m ? 0 时取等号,即 ( S ?AOB ) max ? . 2 2 3 .????????????????????????14 分 2

所以 S ?AOB ?

所以 S ?AOB 的最大值为

21 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? x ? b(a ? 0) , 3 2 2 ∴ f '( x) ? x ? ax ? 1 . ????????1 分 ∵ f ( x ) 在 (1, 0) 处切线方程为 y ? 3x ? 3 , ? f '(1) ? 3 ∴? , ????????3 分 ? f (1) ? 0 11 ∴ a ? 1 , b ? ? . (各 1 分) ???????5 分 6 f '( x) x 2 ? ax ? 1 ( x ? R) . (Ⅱ) g ( x) ? ax ? e e ax (2 x ? a)eax ? a( x 2 ? ax ? 1)eax g '( x) ? ? ? x[ax ? (a2 ? 2)]e?ax . ??????7 分 (eax )2 ①当 a ? 0 时, g '( x) ? 2 x ,

极小值 ? ? g ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0) . 2 ②当 a ? 0 时,令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? ? a a

x g '( x ) g ( x)

(??, 0)
-

0 0

(0, ??)
+ ??????9 分 ?????10 分

(ⅰ)当

2 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 2 时, a

x
g '( x ) g ( x)

(??, 0)
-

0 0 极小值
2

2 ? a2 (0, ) a
+

2 ? a2 a
0 极大值
2

2 ? a2 ( , ??) a
-

?

?

?

g ( x) 的单调递增区间为 (0,
(ⅱ)当

2?a 2?a ) ,单调递减区间为 (??, 0) , ( , ??) ;??11 分 a a

2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, g '( x) ? ? ?2 x 2e?2 x ? 0 , a 故 g ( x) 在 (??, ??) 单调递减; ??12 分 2 (ⅲ)当 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, a 2 2 2 (??, ? a) ?a ( ? a, 0) 0 x a a a g '( x ) 0 + 0 g ( x) 极小值 极大值 ? ?
2 2

(0, ??)
-

?

g ( x) 在 (

2?a 2?a ) 上单调递减 ???13 分 , 0) 上单调递增,在 (0, ??) , (??, a a 综上所述, 当 a ? 0 时,g ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) , 单调递减区间为 (??, 0) ;


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