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江苏省泰州市姜堰实验中学2016届九年级数学下学期第一次月考试题(含解析) 苏科版


江苏省泰州市姜堰实验中学 2016 届九年级数学下学期第一次月考试题
一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.3 的相反数是( ) A.﹣3 B.3 C.±3 D.9 2.下列计算中,正确的是( A.a ?a =a
2 3 6 6 3 2


2 3 6

B.a ÷a =a C. (﹣a ) =﹣a D.
2

3.若关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根,则 m 的值可以是( A.0 B.﹣1 C.2 D.﹣3



4.如果单项式﹣x y 与 是同类项,那么 a、b 的值分别为( A.a=2,b=3 B.a=1,b=2 C.a=1,b=3 D.a=2,b=2

a+1 3



5.若反比例函数 y= 的图象过点(﹣2,1) ,则一次函数 y=kx﹣k 的图象过( A.第一、二、四象限 B.第一、三、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、二、三象限



6.已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线 x=﹣ ,有下列结论:①ab> 0;②a+b+c<0;③b+2c<0;其中正确结论的个数是( )

2

A.0

B.1

C.2

D.3

二、填空题(每小题 3 分,共 30 分) 7.四个数﹣5,﹣0.1, , 中为无理数的是 .

8.使代数式
2

有意义的 x 的取值范围是 .



9.分解因式:ax ﹣9a=

1

10.2015 年,江苏省参加 2016 届中考的考生有 35.4 万人,则 35.4 万人用科学记数法表示为 人. 11. 为了 2016 届中考“跳绳”项目能得到满分, 小明练习了 6 次跳绳, 每次跳绳的个数如下 (单位: 个) :176,183,187,179,187,188.这 6 次数据的中位数是 . 12. 小明从家里骑自行车到学校, 每小时骑 15km, 可早到 10min; 每小时骑 12km, 就会迟到 5min. 问 他 家 到 学 校 的 路 程 是 多 少 千 米 ? 设 他 家 到 学 校 的 路 程 为 xkm , 则 根 据 题 意 列 出 的 方 程 是 . 13.如图,AB 是⊙O 的直径,∠ABC=30°,OA=2,则 BC 长为 .

14 .一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 120°、半径为 15cm 的扇形,则圆锥的底面半径为 cm. 15.如图,四边形 ABCD 为菱形,已知 A(﹣6,0) ,B(4,0) ,则点 C 的坐标为 .

16.如图,点 A,B 分别在一次函数 y=x,y=8x 的图象上,其横坐标分别为 a,b (a>0,b>0) .设 直线 AB 的解析式为 y=kx+m,若 是整数时,k 也是整数,满足条件的 k 值共有 个.

三、解答题(本大题共 102 分)

2

17.计算 (1) (3.14﹣x) +
0

﹣2sin45°+( ) .

﹣1

(2)解方程:

+3=



18 . 先 化 简 , 再 求 值 :

,其中 x 为不等式组

的整数解. 19.某地为了打造风光带,将一段长为 360m 的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成,共 用时 20 天,已知甲工程队每天整治 24m,乙工程队每天整治 16m.求甲、乙两个工程队分别整治了 多长的河道. 20.如图,点 E、F 在 BC 上,BE=FC,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.

21.为了了解实验初中 2015 级学生的跳绳成绩,夏老师随机调查了该年级体育模拟考试中部分同学 的跳绳成绩,并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图.请你根据图中提供的信息完成下列 各题: (1)被调查同学跳绳成绩的中位数是 ,并补全上面的条形统计图; (2)如果我校初三年级共有学生 1800 人,估计跳绳成绩能得 8 分的学生约有 人.

22.有 A、B 两个口袋,A 口袋中装有两个分别标有数字 2,3 的小球;B 口袋中装有三个分别标有数 字 3,4,5 的小球.小明先从 A 口袋中随机取出﹣个小球,再从 B 口袋中随机取出一个小球; (1)用树状图法或列表法表示小明所取出的二个小球的和为奇数的概率. (2) 若从 A 口袋中取出的小球记为 x, 从 B 口袋中取出的小球记为 y, 则点 M (x, y) 落在直线 y=x+1

3

上的概率.

23.如图,经过点 A(﹣2,0)的一次函数 y=ax+b(a≠0)与反比例函数 y= (k≠0)的图象相交 于 P、Q 两点,过点 P 作 PB⊥x 轴于点 B.已知 tan∠PAB= ,点 B 的坐标为(4,0) . (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)若点 Q 的坐标是 Q(m,﹣6) ,连接 OQ,求△COQ 的面积.

24.甲乙两车从姜堰去往扬州市,甲比乙早出发了 2 个小时,甲到达扬州市后停留一段时间返回, 乙到达扬州市后立即返回.甲车往返的速度都为 80 千米/时,乙车往返的速度都为 40 千米/时,下 图是两车距姜堰的路程 S(千米)与行驶时间 t(小时)之间的函数图象.请结合图象回答下列问题: (1)姜堰、扬州两地的距离是 千米;甲到扬州市后, 小时乙到达扬州 市; (2)求甲车返回时的路程 S(千米)与时间 t(小时)之间的函数关系式,并写出自变量 t 的取值 范围; (3)求甲车从扬州市往回返后再经过几小时两车相距 30 千米.

25.如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 BC、AC 上,连接 AD、DE,且∠1=∠B=∠C. (1)由题设条件,请写出三个正确结论: (要求不再添加其他字母和辅助线,找结论过程中添加的 字母和辅助线不能出现在结论中,不必证明) 答:结论一: ; 结论二: ; 结论三: . (2)若∠B=45°,BC=2,当点 D 在 BC 上运动时(点 D 不与 B、C 重合) , ①求 CE 的最大值; ②若△ADE 是等腰三角形,求此时 BD 的长.

4

(注意:在第(2)的求解过程中,若有运用(1)中得出的结论,须加以证明)

26.平面直角坐标系中,抛物线 y=ax +bx+c 交 x 轴于 A,B 两点(点 A 在点 B 左侧) ,与 y 轴交于点 C,点 A,C 的坐标分别为(﹣3,0) , (0,3) ,对称轴直线 x=﹣1 交 x 轴于点 E,点 D 为顶点. (1)求抛物线的解析式; (2)点 K 是直线 AC 下方的抛物线上一点,且 S△KAC=S△DAC 求点 K 的坐标; (3)如图 2 若点 P 是线段 AC 上的一个动点,∠DPM=30°,DP⊥DM,则点 P 的线段 AC 上运动时,D 点不变,M 点随之运动,求当点 P 从点 A 运动到点 C 时,点 M 运动的路径长.

2

5

江苏省泰州市姜堰实验中学 2016 届九年级下学期第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.3 的相反数是( ) A.﹣3 B.3 C.±3 D.9 【考点】相反数. 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得一个数的相反数. 【解答】解:3 的相反数是﹣3, 故选:A. 【点评】本题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数. 2.下列计算中,正确的是( A.a ?a =a
2 3 6 6 3 2


2 3 6

B.a ÷a =a C. (﹣a ) =﹣a D.

【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 【专题】计算题. 【分析】分别求出每个式子的值,a ?a =a ,a ÷a =a , (﹣a ) =﹣a ,3a+ 判断即可. 2 3 5 【解答】解:A、a ?a =a ,故本选项错误; 6 3 3 B、a ÷a =a ,故本选项错误; 2 3 6 C、 (﹣a ) =﹣a ,故本选项正确; D、3a+ a=(3+ )a,故本选项错误;
2 3 5 6 3 3 2 3 6

a=(3+

)a,再进行

故选 C. 【点评】本题考查了同底数幂的乘除,合并同类项,幂的乘方和积的乘方的应用,本题比较典型, 但是一道比较容易出错的题目. 3.若关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根,则 m 的值可以是( ) A.0 B.﹣1 C.2 D.﹣3 【考点】根的判别式. 2 【分析】首先根据题意求得判别式△=m ﹣4>0,然后根据△>0?方程有两个不相等的实数根;求 得答案. 【解答】解:∵a=1,b=m,c=1, 2 2 2 ∴△=b ﹣4ac=m ﹣4×1×1=m ﹣4, 2 ∵关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根, 2 ∴m ﹣4>0, 则 m 的值可以是:﹣3, 故选:D. 【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识.此题难度不大,解题时注意:一元二次方程根的 情况与判别式△的关系: (1)△>0?方程有两个不相等的实数根;
2

6

(2)△=0?方程有两个相等的实数根; (3)△<0?方程没有实数根.

4.如果单项式﹣x y 与 是同类项,那么 a、b 的值分别为( ) A.a=2,b=3 B.a=1,b=2 C.a=1,b=3 D.a=2,b=2 【考点】同类项. 【分析】根据同类项的定义(所含字母相同,相同字母的指数相同)列出方程,求出 a,b 的值.

a+1 3

【解答】解:根据题意得:



则 a=1,b=3. 故选:C. 【点评】考查了同类项,同类项定义中的两个“相同”:相同字母的指数相同,是易混点,因此成 了 2016 届中考的常考点

5.若反比例函数 y= 的图象过点(﹣2,1) ,则一次函数 y=kx﹣k 的图象过( ) A.第一、二、四象限 B.第一、三、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、二、三象限 【考点】一次函数图象与系数的关系;反比例函数图象上点的坐标特征. 【分析】首先利用反比例函数图象上点的坐标特征可得 k 的值,再根据一次函数图象与系数的关系 确定一次函数 y=kx﹣k 的图象所过象限. 【解答】解:∵反比例函数 y= 的图象过点(﹣2,1) , ∴k=﹣2×1=﹣2, ∴一次函数 y=kx﹣k 变为 y=﹣2x+2, ∴图象必过一、二、四象限, 故选:A. 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征,以及一次函数图象与系数的关系,关键 是掌握一次函数图象与系数的关系: ①k>0,b>0?y=kx+b 的图象在一、二、三象限; ②k>0,b<0?y=kx+b 的图象在一、三、四象限; ③k<0,b>0?y=kx+b 的图象在一、二、四象限; ④k<0,b<0?y=kx+b 的图象在二、三、四象限.

6.已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线 x=﹣ ,有下列结论:①ab> 0;②a+b+c<0;③b+2c<0;其中正确结论的个数是( )

2

7

A.0 B.1 C.2 D.3 【考点】二次函数图象与系数的关系. 【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点,确定 a、b、c 的符号,根据对称轴和图象 确定 y>0 或 y<0 时,x 的范围,确定代数式的符号. 【解答】解:①∵开口向下,∴a<0,对称轴在 y 轴的左侧,b<0,∴①正确; ②当 x=1 时,y<0,∴a+b+c<0,②正确; ③﹣ =﹣ ,2a=3b,x=﹣1 时,y>0,a﹣b+c>0,b+2c>0③错误; 故选:C. 【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系,掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想 是解题的关键,解答时,要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式. 二、填空题(每小题 3 分,共 30 分) 7.四个数﹣5,﹣0.1, , 中为无理数的是 . 【考点】无理数. 【分析】根据无理数是无限不循环小数,可得答案. 【解答】解:四个数﹣5,﹣0.1, , 故答案为: . 中为无理数的是 ,

【点评】本题考查了无理数,无理数是无限不循环小数.

8.使代数式

有意义的 x 的取值范围是 x≥3 .

【考点】二次根式有意义的条件. 【分析】二次根式的被开方数是非负数. 【解答】解:根据题意,得 x﹣3≥0, 解得,x≥3; 故答案是:x≥3. 【点评】考查了二次根式的意义和性质.概念:式子 被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义. 9.分解因式:ax ﹣9a= a(x+3) (x﹣3) .
2

(a≥0)叫二次根式.性质:二次根式中的

8

【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】先提取公因式 a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解. 2 【解答】解:ax ﹣9a 2 =a(x ﹣9) , =a(x+3) (x﹣3) . 故答案为:a(x+3) (x﹣3) . 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式, 然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 10.2015 年,江苏省参加 2016 届中考的考生有 35.4 万人,则 35.4 万人用科学记数法表示为 5 3.54×10 人. 【考点】科学记数法—表示较大的数. n 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要 看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 5 【解答】解:35.4 万=354000=3.54×10 , 5 故答案为:3.54×10 . n 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|< 10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 11. 为了 2016 届中考“跳绳”项目能得到满分, 小明练习了 6 次跳绳, 每次跳绳的个数如下 (单位: 个) :176,183,187,179,187,188.这 6 次数据的中位数是 185 . 【考点】中位数. 【分析】根据中位数的概念求解. 【解答】解:这组数据按照从小到大的顺序排列为:176,179,183,187,187,188, 则中位数为: =185. 故答案为:185. 【点评】本题考查了中位数的概念,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数 据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数,如果这组数据的个数是偶数,则中 间两个数据的平均数就是这组数据的中位数. 12. 小明从家里骑自行车到学校, 每小时骑 15km, 可早到 10min; 每小时骑 12km, 就会迟到 5min. 问 他家到学校的路程是多少千米?设他家到学校的路程为 xkm, 则根据题意列出的方程是 + = ﹣

. 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程. 【分析】设他家到学校的路程为 xkm,根据每小时骑 15km,可早到 10min;每小时骑 12km,就会迟 到 5min,列方程即可. 【解答】解:设他家到学校的路程为 xkm, 由题意得, + = ﹣ .

9

故答案为: + = ﹣ . 【点评】本题考查了由实际问题列一元一次方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出 合适的等量关系,列出方程.

13.如图,AB 是⊙O 的直径,∠ABC=30°,OA=2,则 BC 长为 2



【考点】圆周角定理;含 30 度角的直角三角形;勾股定理. 【分析】根据圆周角定理判定△ABC 是直角三角形,然后在直角△ABC 中利用 30 度角所对的直角边 是斜边的一半、勾股定理来求 BC 的长度. 【解答】解:∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°. 又∵∠ABC=30°,OA=2, ∴AC= AB=OA=2, ∴根据勾股定理知,BC= 故答案是:2 . = =2 ,即 BC 长为 2 ;

【点评】本题综合考查了圆周角定理、含 30°角的直角三角形以及勾股定理.利用圆周角定理推知 △ABC 是直角三角形是解题的关键所在. 14.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 120°、半径为 15cm 的扇形,则圆锥的底面半径为 5 【考点】圆锥的计算. 【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系,列方程求解. 【解答】解:设此圆锥的底面半径为 r, 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得, cm.

2π r= , r=5cm. 故答案为:5. 【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系,圆锥的侧面展开图是一个扇形,此扇 形的弧长等于圆锥底面周长,扇形的半径等于圆锥的母线长. 15.如图,四边形 ABCD 为菱形,已知 A(﹣6,0) ,B(4,0) ,则点 C 的坐标为 (10,8) .

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【考点】菱形的性质;坐标与图形性质. 【分析】先求出 AB,再根据菱形的四边相等得出 AD,根据勾股定理求出 OD,即可得出结果. 【解答】解:∵A(﹣6,0) ,B(4,0) , ∴OA=6,OB=4, ∴AB=10, ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴AD=CD=AB=10, 在 Rt△AOD 中,OD= = =8,

∴点 C 的坐标为(10,8) ; 故答案为: (10,8) . 【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理的运用;熟练掌握菱形的性质,运用 勾股定理求出 OD 的长是解决问题的关键. 16.如图,点 A,B 分别在一次函数 y=x,y=8x 的图象上,其横坐标分别为 a,b (a>0,b>0) .设 直线 AB 的解析式为 y=kx+m,若 是整数时,k 也是整数,满足条件的 k 值共有 2 个.

【考点】待定系数法求一次函数解析式. 【专题】数形结合. 【分析】先求出点 A、B 的坐标,再把点 A、B 的坐标代入函数解析式得到两个关于 k、m 的等式,整 理得到 k 的表达式,再根据 是整数、k 也是整数判断出 1﹣ 的值,然后求出 k 值可以有两个. 【解答】解:当 x=a 时,y=a; 当 x=b 时,y=8b; ∴A、B 两点的坐标为 A(a,a)B(b,8b) , ∴直线 AB 的解析式为 y=kx+m,





11

解得 k=

=

+1=

+1,

∵ 是整数,k 也是整数, ∴1﹣ = 或 , 解得 b=2a,或 b=8a, 此时 k=15 或 k=9. 所以 k 值共有 15 或 9 两个. 故应填 2. 【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式,解答本题的关键在于对 、k 是整数的理解. 三、解答题(本大题共 102 分) 17.计算 (1) (3.14﹣x) +
0

﹣2sin45°+( ) .

﹣1

(2)解方程:

+3=



【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;解分式方程;特殊角的三角函数值. 【分析】 (1)分别根据特殊角的三角函数值、0 指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数,再 根据实数混合运算的法则进行计算即可; (2)先把分式方程化为整式方程,求出 x 的值,代入公分母进行检验即可. 【解答】解: (1)原式=1+2 =1+2 =4+ ﹣ ; +3 ﹣2× +3

(2)去分母得 2﹣x+3(x﹣3)=﹣2, 解得 x= , 经检验 x= 是原分式方程的根. 【点评】本题考查的是实数的运算,熟知特殊角的三角函数值、0 指数幂及负整数指数幂的计算法 则是解答此题的关键.

18 . 先 化 简 , 再 求 值 :

,其中 x 为不等式组

12

的整数解. 【考点】分式的化简求值;一元一次不等式组的整数解. 【专题】计算题. 【分析】先求出两个不等式的解集,再求其公共解,从而得到正整数 x 的值,再把被除式的分子分 母分解因式,括号里面的通分并进行加法运算,然后把除法转化为乘法运算,约分,再求出使分式 有意义的 x 的取值范围,然后代入进行计算即可得解.

【解答】解:



解不等式①得,x<2, 解不等式②得,x>﹣1, 所以,不等式组的解集是﹣1<x<2, ∵x 是整数, ∴x 的值是 0,1,

÷(x﹣2﹣

)﹣



=

÷





=

?





=





=



=﹣



要使分式有意义,x(x+2)≠0, (x+4) (x﹣4)≠0, 解得 x≠0,x≠﹣2,x≠±4, 所以,x=1, 原式=﹣ =﹣ . 【点评】本题考查了分式的化简求值,解一元一次不等式组,要注意先算括号里面的,分子、分母 能因式分解的先因式分解;除法要统一为乘法运算,所取的数必须是使分式有意义. 19.某地为了打造风光带,将一段长为 360m 的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成,共 用时 20 天,已知甲工程队每天整治 24m,乙工程队每天整治 16m.求甲、乙两个工程队分别整治了

13

多长的河道. 【考点】一元一次方程的应用. 【分析】设甲队整治了 x 天,则乙队整治了天,由两队一共整治了 360m 为等量关系建立方程求出其 解即可. 【解答】解:设甲队整治了 x 天,则乙队整治了天,由题意,得 24x+16=360, 解得:x=5, ∴乙队整治了 20﹣5=15 天, ∴甲队整治的河道长为:24×5=120m; 乙队整治的河道长为:16×15=240m. 答:甲、乙两个工程队分别整治了 120m,240m. 【点评】本题是一道工程问题,考查了列一元一次方程解实际问题的运用,设间接未知数解应用题 的运用,解答时设间接未知数是解答本题的关键. 20.如图,点 E、F 在 BC 上,BE=FC,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.

【考点】全等三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】可通过证△ABF≌△DCE,来得出∠A=∠D 的结论. 【解答】证明:∵BE=FC, ∴BE+EF=CF+EF, 即 BF=CE; 又∵AB=DC,∠B=∠C, ∴△ABF≌△DCE; (SAS) ∴∠A=∠D. 【点评】此题考查简单的角相等,可以通过全等三角形来证明,判定两个三角形全等,先根据已知 条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条 件. 21.为了了解实验初中 2015 级学生的跳绳成绩,夏老师随机调查了该年级体育模拟考试中部分同学 的跳绳成绩,并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图.请你根据图中提供的信息完成下列 各题: (1)被调查同学跳绳成绩的中位数是 9 分 ,并补全上面的条形统计图; (2)如果我校初三年级共有学生 1800 人,估计跳绳成绩能得 8 分的学生约有 648 人.

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【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 【分析】 (1)根据 7 分的有 5 人,所占的百分比是 10%,据此即可求得总人数,进而求得 8 分的人 数和 9 分的人数,根据众数和中位数的定义求解; (2)利用总人数乘以对应的比例即可求解. 【解答】解: (1)调查的总人数是 5÷10%=50(人) , 则 9 分的人数是:50× =15(人) , 则得分是:8 分的人数是:50﹣5﹣15﹣12=18(人) , 则中位数是:9 分.

; (2)估计跳绳成绩能得 8 分的学生约有:1800× =648(人) . 故答案是:648. 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到 必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映 部分占总体的百分比大小. 22.有 A、B 两个口袋,A 口袋中装有两个分别标有数字 2,3 的小球;B 口袋中装有三个分别标有数 字 3,4,5 的小球.小明先从 A 口袋中随机取出﹣个小球,再从 B 口袋中随机取出一个小球; (1)用树状图法或列表法表示小明所取出的二个小球的和为奇数的概率. (2) 若从 A 口袋中取出的小球记为 x, 从 B 口袋中取出的小球记为 y, 则点 M (x, y) 落在直线 y=x+1 上的概率. 【考点】列表法与树状图法;一次函数图象上点的坐标特征. 【分析】 (1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与二个小球的和为奇 数的情况,再利用概率公式即可求得答案; (2)由(1)中的树状图求得点 M(x,y)落在直线 y=x+1 上的有: (2,3) , (3,4) ,再利用概率 公式即可求得答案.

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【解答】解: (1)画树状图得:

∵共有 6 种等可能的结果,所取出的二个小球的和为奇数的有 3 种情况, ∴小明所取出的二个小球的和为奇数的概率为: = . (2)∵点 M(x,y)落在直线 y=x+1 上的有: (2,3) , (3,4) , ∴点 M(x,y)落在直线 y=x+1 上的概率为: = . 【点评】 此题考查了列表法或树状图法求概率. 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比.

23.如图,经过点 A(﹣2,0)的一次函数 y=ax+b(a≠0)与反比例函数 y= (k≠0)的图象相交 于 P、Q 两点,过点 P 作 PB⊥x 轴于点 B.已知 tan∠PAB= ,点 B 的坐标为(4,0) . (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)若点 Q 的坐标是 Q(m,﹣6) ,连接 OQ,求△COQ 的面积.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【专题】计算题. 【分析】 (1)由 A 与 B 坐标求出 AB 的长,在三角形 PAB 中,利用锐角三角函数定义求出 BP 的长, 确定出 P 的坐标,将 P 坐标代入反比例解析式中求出 k 的值,确定出反比例解析式,将 A 与 P 坐标 代入一次函数解析式中求出 a 与 b 的值,确定出一次函数解析式; (2) 将 Q 坐标代入反比例解析式中求出 m 的值, 确定出 Q 坐标, 对于一次函数, 令 x=0 求出 y 的值, 求出 C 的坐标,求出三角形 COQ 的面积即可. 【解答】解: (1)∵A(﹣2,0) ,B(4,0) , ∴AB=6, ∵tan∠PAB= , ∴ = ,解得:BP=9, ∴P(4,9) ,

16

把 P(4,9)代入 y= 中,得 k=36. ∴反比例函数的解析式为 y= ,

将 A(﹣2,0) ,P(4,9)代入 y=ax+b 中,得



解得:



∴一次函数的解析式为 y= x+3; (2)由(1)得 Q(﹣6,﹣6) , 对于一次函数 y= x+3,令 x=0 求出 y=3,即 C(0,3) , 则△COQ 的面积为 S= ×3×6=9.

【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,涉及的知识有:待定系数法求函数解析式, 坐标与图形性质,锐角三角函数定义,熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 24.甲乙两车从姜堰去往扬州市,甲比乙早出发了 2 个小时,甲到达扬州市后停留一段时间返回, 乙到达扬州市后立即返回.甲车往返的速度都为 80 千米/时,乙车往返的速度都为 40 千米/时,下 图是两车距姜堰的路程 S(千米)与行驶时间 t(小时)之间的函数图象.请结合图象回答下列问题: (1)姜堰、扬州两地的距离是 120 千米;甲到扬州市后, 5 小时乙到达扬州市; (2)求甲车返回时的路程 S(千米)与时间 t(小时)之间的函数关系式,并写出自变量 t 的取值 范围; (3)求甲车从扬州市往回返后再经过几小时两车相距 30 千米.

17

【考点】一次函数的应用. 【分析】 (1)根据路程=速度×时间的数量关系用甲车的速度×甲车到达乙地的时间就可以求出两地 的距离,根据时间=路程÷速度就可以求出乙需要的时间; (2)由(1)的结论可以求出 BD 的解析式,由待定系数法就可以求出结论; (3)运用待定系数法求出 EF 的解析式,再由两车之间的距离公式建立方程求出其解即可. 【解答】解: (1)由题意,得 40×3=120km. 120÷20﹣3+2=5 小时, 故答案为:120,5; (2)∵姜堰、扬州两地的距离是 120km, ∴A(3,120) ,B(10,120) ,D(13,0) . 设线段 BD 的解析式为 S1=k1t+b1,由题意,得.



解得:



∴S1=﹣40t+520. t 的取值范围为:10≤t≤13; (3)设 EF 的解析式为 s2=k2t+b2,由题意,得



解得:



S2=﹣20t+280. 当﹣20t+280﹣(﹣40t+520)=30 时, t=13.5; ∴13.5﹣10=3.5(小时) , 当﹣40t+520﹣(﹣20t+280)=30 时, t=10.5, ∴10.5﹣10=0.5(小时) , 当 120﹣20(t﹣8)=30 时, t=12.5, ∴12.5﹣10=2.5(小时) , 答:甲车从 B 市往回返后再经过 3.5 小时或 0.5 小时或 2.5 两车相距 30 千米.

18

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用,自变量的取值范围的运用,一次函数 与一元一次方程之间的关系的运用,解答本题时求出函数的解析式是关键. 25.如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 BC、AC 上,连接 AD、DE,且∠1=∠B=∠C. (1)由题设条件,请写出三个正确结论: (要求不再添加其他字母和辅助线,找结论过程中添加的 字母和辅助线不能出现在结论中,不必证明) 答:结论一: AB=AC ; 结论二: ∠AED=∠ADC ; 结论三: △ADE∽△ACD . (2)若∠B=45°,BC=2,当点 D 在 BC 上运动时(点 D 不与 B、C 重合) , ①求 CE 的最大值; ②若△ADE 是等腰三角形,求此时 BD 的长. (注意:在第(2)的求解过程中,若有运用(1)中得出的结论,须加以证明)

【考点】相似形综合题. 【专题】综合题;压轴题. 【分析】 (1)由∠B=∠C,根据等腰三角形的性质可得 AB=AC;由∠1=∠C,∠AED=∠EDC+∠C 得到 ∠AED=∠ADC;又由∠DAE=∠CAD,根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD; (2)①由∠B=∠C,∠B=45°可得△ACB 为等腰直角三角形,则 AC= BC= ×2= ,由∠1=∠C, 2 ∠DAE=∠CAD,根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD,则有 AD:AC=AE:AD,即 AD =AE?AC,

AE=

=

=

?AD ,当 AD⊥BC,AD 最小,且 AD= BC=1,此时 AE 最小为

2

,利用 CE=AC﹣AE 得

到 CE 的最大值; ②讨论:当 AD=AE 时,则∠1=∠AED=45°,得到∠DAE=90°,则点 D 与 B 重合,不合题意舍去;当 EA=ED 时,如图 1,则∠EAD=∠1=45°,所以有 AD 平分∠BAC,得到 AD 垂直平分 BC,则 BD=1; 当 DA=DE 时,如图 2,由△ADE∽△ACD,易得△CAD 为等腰三角形,则 DC=CA= ,于是有 BD=BC﹣
19

DC=2﹣



【解答】解: (1)AB=AC;∠AED=∠ADC;△ADE∽△ACD; (2)①∵∠B=∠C,∠B=45°, ∴△ACB 为等腰直角三角形, ∴AC= BC= ×2= , ∵∠1=∠C,∠DAE=∠CAD, ∴△ADE∽△ACD, 2 ∴AD:AC=AE:AD,即 AD =AE?AC,

∴AE=

=

=

?AD ,

2

当 AD 最小时,AE 最小,此时 AD⊥BC,AD= BC=1, ∴AE 的最小值为 ×1 =
2



∴CE 的最大值= ﹣ = ; ②当 AD=AE 时, ∴∠1=∠AED=45°, ∴∠DAE=90°, ∴点 D 与 B 重合,不合题意舍去; 当 EA=ED 时,如图 1, ∴∠EAD=∠1=45°, ∴AD 平分∠BAC, ∴AD 垂直平分 BC, ∴BD=1; 当 DA=DE 时,如图 2, ∵△ADE∽△ACD, ∴DA:AC=DE:DC, ∴DC=CA= , , .

∴BD=BC﹣DC=2﹣

∴综上所述,当△ADE 是等腰三角形时,BD 的长为 1 或 2﹣

20

【点评】本题考查了相似形综合题:运用相似比进行线段的计算;熟练掌握等腰直角三角形的性质; 学会运用分类讨论的思想解决数学问题. 26.平面直角坐标系中,抛物线 y=ax +bx+c 交 x 轴于 A,B 两点(点 A 在点 B 左侧) ,与 y 轴交于点 C,点 A,C 的坐标分别为(﹣3,0) , (0,3) ,对称轴直线 x=﹣1 交 x 轴于点 E,点 D 为顶点. (1)求抛物线的解析式; (2)点 K 是直线 AC 下方的抛物线上一点,且 S△KAC=S△DAC 求点 K 的坐标; (3)如图 2 若点 P 是线段 AC 上的一个动点,∠DPM=30°,DP⊥DM,则点 P 的线段 AC 上运动时,D 点不变,M 点随之运动,求当点 P 从点 A 运动到点 C 时,点 M 运动的路径长.
2

【考点】二次函数综合题;勾股定理;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质;特殊角的 三角函数值. 【专题】综合题. 【分析】 (1)根据条件可得到关于 a、b、c 的三元一次方程组,只需解这个方程组就可解决问题; (2)过点 D 作 DH⊥y 轴于 H,连接 EK 交 y 轴于 F,连接 EC,如图 1,运用割补法可求出△DAC 的面 积,易得 S△ADC=S△AEC,由 S△KAC=S△DAC,可得 S△KAC=S△EAC,从而可得 EK∥AC,根据平行线分线段成比例可 求出 OF,然后运用待定系数法可求出直线 EK 的解析式,只需求出直线 EK 与抛物线的交点坐标就可 解决问题; (3) 设点 P 在点 A 处时点 M 在点 M′, 点 P 在点 C 处时点 M 在点 M″, 如图 2. 易证△DPC∽△DMM″, △DAC∽△DM′M″,从而可得∠DM″M=∠DM″M′=∠DCP,由于∠DCP 是定值,因此点 M 的运动路径 是线段 M′M″,然后只需根据△DM′M″∽△DAC,运用相似三角形的性质就可解决问题. 【解答】解: (1)由题意可得,

解得


2

∴抛物线的解析式为 y=﹣x ﹣2x+3; (2)过点 D 作 DH⊥y 轴于 H,连接 EK 交 y 轴于 F,连接 EC,如图 1.

21

由 y=﹣x ﹣2x+3=﹣(x+1) +4 可得顶点 D 为(﹣1,4) , ∴S△ADC=S 梯形 AOHD﹣S△OAC﹣S△DHC = (1+3)×4﹣ ×3×3﹣ ×1×(4﹣3)=3. 又∵S△AEC= AE?OC= ×2×3=3, ∴S△ADC=S△AEC. ∵S△KAC=S△DAC, ∴S△KAC=S△EAC, ∴EK∥AC, ∴ ,

2

2

∴ , ∴OF=1,F(0,1) . 设直线 EK 的解析式为 y=mx+n,则有



解得



∴直线 EK 的解析式为 y=x+1.

解方程组

,得





∴点 K 的坐标为(



)或(



) ;

22

(3)设点 P 在点 A 处时点 M 在点 M′,点 P 在点 C 处时点 M 在点 M″,如图 2.

∵∠CDM″=∠PDM=90°,∠DPM=∠DCM″=30°, ∴ = ,∠PDC=∠MDM″, ∴△DPC∽△DMM″, ∴∠DCP=∠DM″M. 同理可得△DAC∽△DM′M″, ∴∠DCA=∠DM″M′. ∴∠DM″M=∠DM″M′=∠DCP, ∵∠DCP 是定值, ∴点 M 的运动路径是线段 M′M″. ∵△DM′M″∽△DAC, ∴ ∵AC= ∴M′M″= , . = = = . =3 ,

∴点 M 的运动路径长为

【点评】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、相似三角形的判定与性 质、求直线与抛物线的交点坐标、平行线分线段成比例、勾股定理等知识,运用割补法及逆用平行 等积法是解决第(2)小题的关键,确定点 M 的运动路径是解决第(3)小题的关键.

23


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