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2015赢在高考第一轮复习数学 课后作业14

第2讲

导数的应用(一)

单调性、极值、最值问题

基础巩固

1.函数 f(x)=1+x-sin x 在区间(0,2π)上是( A.增函数 B.减函数

)

C.在区间(0,π)上单调递增,在区间(π,2π)上单调递减 D.在区间(0,π)上单调递减,在区间(π,2π)上单调递增 答案:A 解析:∵ f'(x)=1-cos x>0,∴ 函数 f(x)在区间(0,2π)上单调递增,故选 A. 2.函数 f(x)=x3+3x2+4x-a 的极值点的个数是( A.2 C.0 答案:C 解析:因 f'(x)=3x2+6x+4=3(x+1)2+1>0,则 f(x)在 R 上是增函数,故不存在极值点. 3.若函数 y=a(x3-x)在区间 A.a>0 C.a>1 答案:A 解析:y'=a(3x2-1),∵ 该函数在区间 ∴ y'≤0 在区间 ∵ x∈ 3 3 3 3 3 3 3 3

)

B.1 D.由 a 确定

,

3 3

上为减函数,则 a 的取值范围是(

)

B.-1<a<0 D.0<a<1

,

3 3

上为减函数,

,

3 3

上恒成立.

,

3 3

时,3x2-1<0,∴ a≥0.

∵ 当 a=0 时,此函数为常数函数,不合题意,∴ a>0. 4.已知 f(x)=2x2-cos x,x∈ [-1,1],则导函数 f'(x)是( A.仅有最小值的奇函数 1
1

)

B.既有最大值,又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.既有最大值,又有最小值的奇函数 答案:D 解析:f'(x)=x+sin x,显然 f'(x)是奇函数,令 h(x)=f'(x),则 h(x)=x+sin x,求导得 h'(x)=1+cos x. 当 x∈ [-1,1]时,h'(x)>0,所以函数 h(x)在区间[-1,1]上单调递增,有最大值和最小值.故 f'(x) 是既有最大值又有最小值的奇函数. 5.已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,若 m,n∈ [-1,1],则 f(m)+f'(n)的最小值是 ( A.-13 答案:A 解析:求导得 f'(x)=-3x2+2ax,由函数 f(x)在 x=2 处取得极值知 f'(2)=0,即-3× 4+2a× 2=0,从而 可得 a=3.由此可得 f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知函数 f(x)在区间(-1,0)上单调递减,在 区间(0,1)上单调递增,因此当 m∈ [-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又 f'(x)=-3x2+6x 的图象开口向 下,且对称轴为 x=1, ∴ 当 n∈ [-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9. 故 f(m)+f'(n)的最小值为-13. 6.若函数 f(x)=x3-6bx+3b 在区间(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是( A.(0,1) C.(0,+∞) 答案:D B.(-∞,1) D. 0, 2
1

) B.-15 C.10 D.15

)

解析:∵ f'(x)=3x2-6b,由题意作出函数 f'(x)的图象如右图所示, 2

∴ 即

f'(0) < 0, f'(1) > 0, -6b < 0, 1 得 0<b<2. 3-6b > 0, .
1

7.若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 在 R 上单调递增,则 m 的取值范围是 答案:m≥3 解析:f'(x)=3x2+2x+m. ∵ f(x)在 R 上单调递增, ∴ f'(x)≥0 在 R 上恒成立, 即 3x2+2x+m≥0 在 R 上恒成立. 由 Δ=4-4× 3m≤0,得 m≥3. 8.函数 f(x)=2x2-ln x 的最小值为 答案:2 解析:由 由 f'(x) = x- x > 0, 得 x>1. x > 0, f'(x) = x- x < 0, 得 0<x<1. x > 0,
1 1 1 1 1 1 1

.

故函数 f(x)在 x=1 时,取得最小值,且最小值 f(1)=2-ln 1=2. 9.设函数 f(x)=x(ex+1)+2x2,则函数 f(x)的单调递增区间为 答案:(-1,+∞) 解析:因为 f(x)=x(ex+1)+2x2, 所以 f'(x)=ex+1+xex+x=(ex+1)·(x+1). 令 f'(x)>0,即(ex+1)(x+1)>0,解得 x>-1. 故函数 f(x)的单调递增区间为(-1,+∞).
1 1

.

3

10.已知函数 f(x)的自变量取值区间为 A,若其值域也为 A,则称区间 A 为 f(x)的保值区间. 若 g(x)=x+m-ln x 的保值区间是[2,+∞),则 m 等于 答案:ln 2 解析: g'(x)=1-x =
1 x-1 x

.

,当 x≥2 时,函数 g(x)为增函数,因此函数 g(x)的值域为[2+m-ln 2,+∞),

于是 2+m-ln 2=2,故 m=ln 2. 11.已知函数 f(x)=3x3+ax2-bx(a,b∈ R),若 y=f(x)图象上的点 1,y=f(x)的极大值. 解:∵ f'(x)=x2+2ax-b, ∴ 由题意可知,f'(1)=-4,且 f(1)=- 3 . 即 1 + 2a-b = -4,
1 3 11 1 11 3

处的切线斜率为-4,求

+ a-b = -

11 3

,

解得 a = -1, b = 3. 故 f(x)=3x3-x2-3x, f'(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3). 令 f'(x)=0,得 x1=-1,x2=3. 由此可知,当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f'(x) f(x) (-∞,-1) + ↗ -1 0 极大值 (-1,3) ↘ 3 0 极小值 (3,+∞) + ↗
1

故当 x=-1 时,函数 f(x)取极大值3. 12.已知函数 f(x)=ln x,函数 g(x)=f'(x)+af'(x). (1)求函数 y=g(x)的表达式; (2)若 a>0,函数 y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是 2,求 a 的值. 解:(1)因为 f(x)=ln x, 4
1

5

所以 f'(x)=x. 所以函数 y=g(x)=x+x. (2)由(1)知,当 x>0 时,g(x)=x+x. 所以当 a>0,x>0 时,g(x)≥2 a,当且仅当 x= a时取等号. 所以函数 y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是 2 a. 所以 2 a=2,解得 a=1. 13.已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值. 解:(1)f'(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得 f(0)=4,f'(0)=4. 故 b=4,a+b=8. 从而 a=4,b=4. (2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x, f'(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)· x - 2 . 令 f'(x)=0,得 x=-ln 2 或 x=-2. 从而当 x∈ (-∞,-2)∪ (-ln 2,+∞)时,f'(x)>0; 当 x∈ (-2,-ln 2)时,f'(x)<0. 故 f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减. 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(-2)=4(1-e-2).
拓展延伸
1 a a

1

14.已知函数 f(x)=x2+ln x. 5

(1)求函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; (2)求证:当 x∈ (1,+∞)时,函数 f(x)的图象在 g(x)=3x3+2x2 图象的下方. (1)解:∵ f(x)=x2+ln x, ∴ f'(x)=2x+x. ∵ x≥1 时,f'(x)>0, 故 f(x)在区间[1,e]上是增函数, ∴ f(x)的最小值是 f(1)=1, 最大值是 f(e)=1+e2. (2)证明:令 F(x)=f(x)-g(x) =2x2-3x3+ln x, 则 F'(x)=x-2x2+x = =
x2 -x3 -x3 +1 x 1 x2 -2x3 +1 x 1 2 1 2 1

=

(1-x)(2x2 +x+1) x

,

∵ x>1,∴ F'(x)<0. 从而可知 F(x)在(1,+∞)上是减函数, 于是 F(x)<F(1)=2 ? 3=-6<0. 即 f(x)<g(x). 故当 x∈ (1,+∞)时,函数 f(x)的图象总在 g(x)=3x3+2x2 的图象的下方.
2 1 1 2 1

6


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