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19年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案理

第五节 两角和与差及二倍角的三角函数 [考纲传真] (教师用书独具)1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差 的余弦公式推导出两角差的正弦、 正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、 余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公 式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆). (对应学生用书第 57 页) [基础知识填充] 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α ±β )=sin α cos β ±cos α sin β ; (2)cos(α ±β )=cos α cos β ?sin α sin β ; tan α ±tan β (3)tan(α ±β )= . 1?tan α tan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α =2sin α cos α ; (2)cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ; 2tan α (3)tan 2α = . 2 1-tan α 3.有关公式的变形、逆用 (1)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan α tan β ); 1+cos 2α 1-cos 2α sin 2α 2 2 (2)cos α = ,sin α = ,sin α cos α = ; 2 2 2 (3)1+sin 2α =(sin α +cos α ) 1-sin 2α =(sin α -cos α ) , π? ? sin α ±cos α = 2sin?α ± ?. 4? ? [知识拓展] 1.辅助角公式 2, 2 2 2 2 2 b? ? asin α +bcos α = a2+b2sin(α +φ )?其中tan φ = ?. a? ? 2.sin 15°= 3.tan 6- 2 6+ 2 ,cos 15°= ,tan 15°=2- 3. 4 4 α sin α 1-cos α = = . 2 1+cos α sin α 2 2tan α 1-tan α 4.sin 2α = ,cos 2α = . 2 2 1+tan α 1+tan α [基本能力自测] 1 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)存在实数 α ,β ,使等式 sin(α +β )=sin α +sin β 成立.( (2)在锐角△ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定.( (3)公式 tan(α +β )= ) ) tan α +tan β 可以变形为 tan α + tan β = tan(α + 1-tan α tan β ) β )(1-tan α tan β ),且对任意角 α ,β 都成立.( (4)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.( [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2.(教材改编)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( A.- 3 2 B. 3 2 ) ) 1 C.- 2 D 1 D. 2 [sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10° 1 =sin(20°+10°)=sin 30°= ,故选 D.] 2 4 3.(2017·全国卷Ⅲ)已知 sin α -cos α = ,则 sin 2α =( 3 7 A.- 9 2 C. 9 A 4 [∵sin α -cos α = , 3 2 B.- 9 7 D. 9 ) 16 2 ∴(sin α -cos α ) =1-2sin α cos α =1-sin 2α = , 9 7 ∴sin 2α =- .故选 A.] 9 4.函数 f(x)= 3sin x+cos x 的最小值为________. -2 ? π? [函数 f(x)=2sin?x+ ?的最小值是-2.] 6? ? 5.若锐角 α ,β 满足 tan α +tan β = 3- 3tan α tan β ,则 α +β =________. π 3 tan α +tan β [由已知可得 = 3,即 tan(α +β )= 3.又 α +β ∈(0,π ), 1-tan α tan β π 所以 α +β = .] 3 2 (对应学生用书第 58 页) 三角公式的基本应用 2 (1)(2017·山西长治二中等五校第四次联考)若 cos θ = ,θ 为第四象限角,则 3 π? ? cos?θ + ?的值为( 4? ? A. 2+ 10 6 2- 10 6 ) 2 2+ 10 B. 6 2 2- 10 D. 6 C. 4 (2)(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若锐角 α ,β 满足 sin α = ,tan(α 5 2 -β )= ,则 tan β =________. 3 (1)B = π? 6 2 5 ? (2) [(1)因为 cos θ = , θ 为第四象限角, 则 sin θ =- , 故 cos?θ + ? 4? 17 3 3 ? 2 2 2 ?2 5? 2 2+ 10 cos θ - sin θ = ×? + ?= ,故选 B. 2 2 2 ?3 3 ? 6 4 3 sin α 2 (2)因为锐角 α 满足 sin α = ,所以 cos α = 1-sin α = ,则 tan α = 5 5 cos α 4 2 - 4 tan α -tan(α -β ) 3 3 6 = ,tan β =tan[α -(α -β )]= = = .] 3 1+tan α tan(α -β ) 8 17 1+ 9 [规律方法] 三角函数公式的应用策略 使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征. 使用公式求值,应先求出相关角的三角函数值,

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