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5.5 偏导数的应用


5.5 偏导数的应用 5.5.1 二元函数的极值与最值 1. 二元函数的极值 定义5.5.1 设函数z=f(x, y)在点 ( x0 , y0 )的某邻域内有定义, 定义 如果对该邻域内一切异于 ( x0 , y0 ) 的点(x, y), 恒有不等式

f ( x, y ) ≤ f ( x0 , y0 ) (或f ( x, y ) ≥ f ( x0 , y0 ))
成立,则称函数z=f(x, y)在点 ( x0 , y0 ) 处取得极大值(或极小值) f ( x0 , y0 ) ,并称点 ( x0 , y0 ) 为函数f(x, y)的极大值点(或极小值 点). 函数f(x, y)的极大值与极小值统称为极值, 函数f(x, y)的 极大值点与极小值点统称为极值点. 与一元函数类似,二元函数的极值也是一个局部性的概念.

定理5.5.1(极值存在的必要条件) 如果函数f(x, y)在点 (极值存在的必要条件 定理 ( x0 , y0 )处有极值,且在该点处偏导数存在,则偏导数必为 零,即 f ' ( x , y ) = 0, f ' ( x , y ) = 0.
x 0 0 y 0 0

证 令 g ( x ) = f ( x , y 0 ), 则当函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 )处有极值时 , g ( x ) 在点 x 0 处必有极值 .由一元 函数极值存在的必要条 f ( x0 , y 0 ) = 0.
' x

件 , 得 g ' ( x0 ) = 0, 即

同理有 f y' ( x 0 , y 0 ) = 0 .
f x' ( x0 , y0 ), f y' ( x0 , y0 )同时为零的点称为二元函数 把使得

z=f(x, y)的驻点或稳定点。

定理5.5.2(极值存在的充分条件 设函数z=f(x, y)在点 极值存在的充分条件) 定理 极值存在的充分条件 ( x0 , y0 ) 的某邻域内连续并有连续的一阶及二阶偏导数,且 ' ' f x ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y0 ) = 0.
'' '' '' 令 A = f xx ( x0 , y0 ), B = f xy ( x0 , y0 ), C = f yy ( x0 , y0 ). 则 (1) 当 B 2 ? AC < 0 且A>0时, 函数z=f(x, y)在点 ( x0 , y0 )处 取得极小值;当 B 2 ? AC < 0且A<0时,函数在点 ( x0 , y0 )处取 得极大值。 (2) 当 B 2 ? AC > 0 时, 函数在点( x0 , y0 )处不取得极值。 (3) 当 B 2 ? AC = 0 时, 函数在点( x0 , y0 )处是否取得极值, 不能确定,需另法判别。

例5.5.1 求函数f ( x, y ) = y 3 ? x 2 + 6 x ? 12 y + 5的极值. ' ' 2 解 f x ( x, y ) = ?2 x + 6, f y ( x, y ) = 3 y ? 12.

? f x' ( x, y ) = ?2 x + 6 = 0, ? 令 ? ' f y ( x, y ) = 3 y 2 ? 12 = 0, ? ? 其解为x = 3时, y = ±2, 得驻点(3,2)和(3,?2).
'' '' 由 A = f xx ( x, y ) = ?2, B = f xy ( x, y ) = 0, '' C = f yy ( x, y ) = 6 y, 得B 2 ? AC = 12 y.

则在驻点(3,2)处, 有B 2 ? AC = 12 × 2 > 0, 所以驻点(3,2)不是极值点. 在驻点(3,?2)处, 有B ? AC = 12 × (?2) < 0, A = ?2 < 0,
2

所以驻点(3,?2)为极大值点.函数f ( x, y )在点(3,?2)处有 极大值f (3,?2) = 30.

5.5.2 二元函数的最值 对于定义在有界闭区域D上的二元连续函数, 只要求出函 数在区域D内的全部极值点, 并算出其函数值; 求出函数在区 域边界上的最大值与最小值, 再将函数的极值与函数在区域 D的边界上的最值相比小较, 其中最大(小)的就是函数在闭 区域D上的最大(小)值. 在求解实际问题的最值时, 如果从问题的实际意义知道 z=f(x, y)在区域D内一定取得最值, 且只有一个驻点, 则该驻 点就是所求函数的最值点. 最小用料问题) 例5.5.2(最小用料问题 要用铁皮做一个体积为5立方米有 最小用料问题 盖长方体水箱,怎样选取长、宽和高的尺寸,才能使用料 最省?

解 设水箱的长、宽、高各为x米, y米, z米, 则体积xyz = 5 立方米.设水箱的表面积为S , 有S = 2( xy + yz + xz ), 5 由z = 代入上式得 xy ? 5 5? S = 2? xy + + ?. ? x y? ? ? 这是一个关于x, y的二元函数, 其定义域为 : D = {( x, y ) | x > 0, y > 0}. ? ?S 5? ?S 5 ? ? 由 = 2? y ? 2 ? = 0, = 2? x ? 2 ? = 0 ? ?x x ? ?y y ? ? ? ? 解得x = y = 3 5 , 得驻点(3 5 , 3 5 ). 根据题意, 水箱所用铁皮面积一定存在最小值, 又在区域D 内只有一个驻点(3 5 , 3 5 ), 所以该点就是使S取得最小值的点. 因此,当x = y = z = 3 5时, 水箱所用材料最省.

最大利润问题) 例5.5.3(最大利润问题 某工厂生产甲, 乙两种产品, 其出 最大利润问题 售价格分别为10万元与9万元, 若生产x单位的甲产品与生产 y单位的乙产品所需要的总费用为 Q( x, y ) = 300 + 5 x + 2 y + 0.01(2 x 2 + 2 xy + 3 y 2 ), (单位: 万元). 求甲, 乙两种产品的产量各为多少时, 才能获得最大利润? 最大利润是多少?

解 设L( x, y )表示甲产品与乙产品分别生产x与y单位时所 获得的总利润,R( x, y )表示总的收入。根据题意,有 L ( x , y ) = R ( x, y ) ? Q ( x, y ) = (10 x + 9 y ) ? [300 + 5 x + 2 y + 0.01(2 x + 2 xy + 3 y )]
2 2

= 5 x + 7 y ? 0.01(2 x 2 + 2 xy + 3 y 2 ) ? 300.

由 L'x ( x, y ) = 5 ? 0.01(4 x + 2 y ) = 0, L ( x, y ) = 7 ? 0.01(2 x + 6 y ) = 0
' y

得驻点(80,90). 由问题的实际意义可知,当甲产品生产80单位,乙产品 生产90单位时,所获得的利润最大,最大利润为 L(80,90) = 215(万元).

5.5.3 条件极值 在前面讨论的求二元函数f(x, y)的极值问题中, 两个自变 量x与y在其定义域内可以任意取值, 不受其他条件限制, 这 种极值问题称为无条件极值. 但实际问题往往要求自变量x 与y还要满足一定的附加条件g(x, y)=0, 称g(x, y)=0为约束 条件或约束方程, 这类附有约束条件的极值问题称为条件 极值. 在求解等式约束条件下的条件极值问题时, 如果能从约 束条件g(x, y)=0中解出y或x, 将它代入函数f(x, y)中去, 条件 极值就可以转化为无条件极值来求解. 如例5.5.2. 但是, 从 约束条件方程中解出某些变量有时运算比较麻烦, 有时无 法得到明显的解析表达式, 从而条件极值无法转化为无条件 极值. 此时, 可利用下面介绍的拉格朗日乘数法. 它的基本思 想是, 设法将条件极值问题转化为无条件极值问题.

求解在约束条件h(x, y)=k下,函数z=f(x, y) 的极值问题, 是属于条件极值问题,可用拉格朗日乘数法解。其步骤如下 (1) 先将约束条件h(x, y)=k改写为k-h(x, y)=0,设g(x, y)= k-h(x, y) 。构造此问题的拉格朗日函数 F ( x, y, λ ) = f ( x, y ) + λg ( x, y ). 其中, λ 为待定常数, 称为拉格朗日乘数. 将原条件极值问题 转化为三元函数 F ( x, y, λ ) 的无条件极值问题. (2) 由无条件极值问题的极值存在的必要条件, 有 ' Fx' = f x' + λg x = 0,
Fy' = f y' + λg 'y = 0, Fλ' = g ( x, y ) = 0.

联立方程组, 从中消去 λ 或解出 λ 后, 求出可能的极值点 (x, y).

(2) 由无条件极值问题的极值存在的必要条件, 有 ' Fx' = f x' + λg x = 0,
Fy' = f y' + λg 'y = 0, Fλ' = g ( x, y ) = 0.

联立方程组, 从中消去 λ 或解出 λ 后, 求出可能的极值点 (x, y). (3) 由问题的实际意义来判定求出的点(x, y)是否为极值点. (x, y) . 特别地, 当某个实际问题确有极值, 而求出的又只有一个可 能的极值点, 那么这一点就是要找的极值点(最值点), 不需另 加判定. 类似地,求三元函数G=f(x, y, z)在约束条件g(x, y, z)=0, h(x, y, z)=0(约束条件一般应少于未知量的个数)下的极值。

例5.5.4 用拉格朗日乘数法解例5.5.2中的体积一定的长方 体水箱表面积的最小值问题.
解 根据题意 , 本题是求在约束条件 5 ? xyz = 0的限制下 , 函数 S = 2 ( xy + yz + xz )的最小值 .因此 , 设拉格朗日函数为 F ( x , y , z , λ ) = 2 ( xy + yz + xz ) + λ (5 ? xyz ). ? Fx' ? ' ? Fy 由? ' ? Fz ? ? = 2 ( y + z ) ? λ yz = 0 = 2 ( x + z ) ? λ xz = 0 = 2 ( y + x ) ? λ xy = 0 Fλ' = 5 ? xyz = 0

消去 λ , 解得 x = y = z = 3 5 . 因为只有一个驻点 ( 3 5 , 3 5 ),由实际问题可知 , 它必有最小 值 , 所以该驻点也是最小值 点.于是 , 当 x = y = z = 3 5时 , 水箱 所用材料最省 .

投入产出问题) 例5.5.5(投入产出问题 设柯布-道格拉斯生产函数为 投入产出问题 Q = K 0.3 L0.5 , 其中资金K与劳动L受以下条件限制: 6K+2L=384. 求资金与劳动各投入多少时,可使产出Q最大?
解 根据题意, 本题是求在约束条件6 K + 2 L = 384的限制 下, 生产函数Q = K 0.3 L0.5的最大值问题.这也是一个条件极 值问题.因此, 设拉格朗日函数为 F ( K , L, λ ) = K 0.3 L0.5 + λ (6 K + 2 L ? 384).
' ? FK = 0.3K ?0.7 L0.5 + 6λ = 0 ? ' 由 ? FL = 0.5 K 0.3 L?0.5 + 2λ = 0 ? F ' = 6 K + 2 L ? 384 = 0 ? λ

消去λ , 解得K = 24, L = 120. 所以, 当资金投入为24, 劳动投入为120时, 可使产出Q最大.


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