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不等关系与一元二次不等式测试题

不等关系与一元二次不等式测试题
A组 一.填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. 2x2-3x-2≥0 的解集是
。 1 1 1. {x|x≥2 或 x≤- }。提示:方程 2x3-3x-2=0 的根是:x1=- ,x2=2,故不等式 2 2 1 解集为{x|x≥2 或 x≤- }。 2 2.已知 a<0,-1<b<0,则 a、ab、ab2 的大小关系是 。

1 1 1 ,ab= ,ab2=- .故 ab>ab2>a. 2 2 2 2 3.不等式-x +2x-3>0 的解集为 。 2 3. {x/-1<x<3}。提示:原不等式转化为: x -2x+3<0,解得{x/-1<x<3}。 x?3 ? 0 的解集为 4.不等式 。 x ?1 x?3 ? 0 ? (x-3)(x+1)<0,得 P ? ? x ?1 ? x ? 3? . 4. ? x ?1 ? x ? 3? 。提示:由 x ?1
2.ab>ab2>a.提示:特殊值.a=-1,b=5. x2-(m+3)x+m2+3=0 有两个不等的实数根,求实数 m 的取值范围是 . 5. ? 。提示:Δ=(m+3)2-4(m2+3)=m2+6m+9-4m2-12>0 即-3m2+6m-3>0,∴m2-2m+1<0,(m-1)2<0,无解。 6.有 48 支铅笔,在甲组里每人分配 3 支,则有多余;若每人分配 4 支,则不够分配;乙组 里,若每人分配 4 支,则有多余;若每人分配 5 支,则不够分配.设甲组为 x 人乙组 y 人, 则 x、y 满足不等式组 . ?3x<48<4x ? 6.? 。提示:由题意可得:3x<48,3x>48,4y<48,5y>48. ? ?4y<48<5y
?3x<48<4x ? ∴? 。 ? ?4y<48<5y

1 7.设二次不等式 ax2+bx+1>0 的解集为{x|-1<x< },则 a= ,b= 。 3 1 7.a=-3,b=-2。提示:∵-1, 是方程 ax2+bx+1=0 的两根, 3 b 1 b 2 1 1 ∴- =-1+ ,∴ = ,又-1·= ,∴a=-3,b=-2。 a 3 a 3 3 a 8.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0,对一切 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是



8. -2<a≤2.提示:∵ 可推知-2<a<2,另 a=2 时,原式化为-4<0,恒成立, ∴-2<a≤2. 二.解答题(本大题共 4 小题,共 54 分)

9. 解不等式-1<x2+2x-1≤2。
? x 2 ? 2 x ? 1 ? ?1, ? 解原不等式可化为 ? 2 ? x ? 2 x ? 1 ? 2, ? ? x 2 ? 2 x ? 0, ? x ? ?2或x ? 0, ? x( x ? 2) ? 0, ? 即? 2 ?? ?? ? x ? 2 x ? 3 ? 0, ? ?3 ? x ? 1. ?( x ? 3)( x ? 1) ? 0, ?

图1 如图 1,结合数轴,可得原不等式得解集为{x/-3≤x<-2 或 0<x≤1}。 10. 若函数 f(x)= kx2 ? 6kx ? k ? 8 的定义域为 R,求实数 k 的取值范围。 10.∵函数 f(x)的定义域为 R,∴ kx 2 ? 6kx ? k ? 8 ≥0 的解集为 R。 ∴ g(x)= kx 2 ? 6kx ? k ? 8 函数的图像全在轴上方或与轴相切且开口向上。 当 k=0 时,g(x)=8,显然满足;当 k≠0 时,函数 g(x)的图像是抛物线,要使 抛物线全在 x 轴上方或与 x 轴相切且开口向上,必须且只需:

?k ? 0, 解得 0<k≤1。综上,k 的取值范围是[0,1]。 ? 2 ?? ? 36k ? 4k (k ? 8) ? 0,
2 11.假设某市 2004 年新建住房 400 万 m2, 其中有 250 万 m 是中低价房. 预计在今后的若干年

后,该市每年新建住房面积平均比上年增长 8%.另外,每年新建住房中,中底价房的面积 2 均比上一年增加 50 万 m .那么,到哪一年底该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 2 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万 m ? 11.设中低价房面积形成数列 ?an ? , 则 ?an ? 是等差数列,

S n ? 250 n ?
2

n(n ? 1) ? 50 ? 25n 2 ? 225 n, 2
即 n ? 9n ? 190 ? 0, 而n是正整数? n ? 10. ,
2
2

令 25n ? 225n ? 4750 ,

故到 2013 年底该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万 m 。 12.解关于 x 的不等式:

x?a ? 0(a ? R) . x ? a2
2

解:原不等式可化为: ( x ? a)(x ? a ) ? 0 ,

2 2 讨论如下:(i)当 a ? a 即 a ? 0 或 a ? 1 时,解集是 {x | a ? x ? a } .

2 2 (ii)当 a ? a 即 0 ? a ? 1 时, 解集是 {x | a ? x ? a} .

2 (iii)当 a ? a 即 a ? 0 或 a ? 1 时,不等式的解集是空集 ? .

备选题 c c 1.已知 a>b>0,c<0,则 与 的大小关系是________. a b 1. > .提示:利用不等式的性质可得。 2. 2x -x+1<0 的解集是 。 2 2. ? 。提示:△=1 -2×4=-7<0,故解集为空集。 2 3. x +(2-a)x-2a≥0 2 【解】方程 x +(2-a)x-2a=0 的解为 x1=a x2=-2 2 函数 y=x +(2-a)x-2a 的图像开口向上,所以 (1)当 a>-2 时,原不等式解集{x|x≤-2 或 x≥a}; (2)当 a<-2 时,原不等式解集{x|x≤a 或 x≥-2}; (3)当 a=-2 时,原不等式解集为 R. B组 一.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.若不等式(x-3)(x+a)≥0 的解集为(-∞,-2]∪[3,+∞),则(x-3)(x+a)≤0 的解集 为 . 1.-2≤x≤3。提示:由题意知 a=2, (x-3)(x+a)≤0 的解集为-2≤x≤3。 2.已知 x=1 是不等式 k2x-6kx+8≥0(k≠0)的解,则 k 的取值范围是 . 2 2.{k|k<0 或 0<k≤2 或 k≥4}.提示:由题意得 k -6k+8≥0,∴k≤2 或 k≥4 又 k≠0,∴k<0 或 0<k≤2 或 k≥4. 3.不等式
2

c c a b

2? x ≤ 0 的解集是 x ?1



3.{x/ x≥2 或 x<-1}.提示: 或 x<-1.

?( x ? 2)( x ? 1) ? 0, 2? x x?2 ≤0 ? ?0?? ? x≥2 x ?1 x ?1 ? x ? 1 ? 0.

4.y=lg(x2-2x)+ x2-3x+2的定义域是

。 ? ?x -2x>0 4. (2,+∞)∪(-∞,0)。提示由已知条件得:? 2 ? ?x -3x+2≥0
2

?x>2或x<0 ? 即? ,所以 x>2 或 x<0。 ? ?x≥2或x≤1 5. 已知不等式 x2-2x-3<0 的解集为 A, 不等式 x2+x-6<0 的解集是 B, 不等式 x2+ax+b<0 的解 集是 A?B, 那么 a+b 等于

5.-3.提示:由题意: A ? {x | ?1< x <3 } , B ? {x | ?3 < x <2 } , A ? B ? {x | ?1< x <2 } 。由根与系数的关系可知: a ? ?1, b ? ?2 ,选 A。 6
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已知 f(x)、g(x)都是奇函数,f(x)>0 的解集是(a2,b),g(x)>0 的解集是(
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a2 b , ), 2 2

则 f(x)·g(x)>0 的解集是__________ 6. (a2,

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b b )∪(- ,-a2)。提示 2 2

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由已知 b>a2∵f(x),g(x)均为奇函数,
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b a2 ∴f(x)<0 的解集是(-b,-a2),g(x)<0 的解集是(- ,? ) 2 2

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?a 2 ? x ? b ?? b ? x ? ?a 2 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? ? 由 f(x)·g(x)>0 可得 ? 或? ,即? a 2 b 或? b a2 。 ? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? ? x ? ?? ? x ? ? 2 ? 2 2 ?2
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∴x∈(a2,

b b )∪(- ,-a2) 2 2

二.解答题(本大题共 2 小题,共 36 分) 7.有一批影碟机(VCD)原销售价为每台 800 元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场 用如下的方法促销:买一台单价为 780 元,买两台每台单价都为 760 元,依次类推,每多买 一台则所买各台单价均再减少 20 元,但每台最低不能低于 440 元;乙商场一律都按原价的 75%销售.某单位需购买一批此类影碟机,问去哪家商场购买花费较少? 7.设某单位需购买 x 台影碟机,甲、乙两商场的购货款的差价为 y, 则∵去甲商场购买共花费(800-20x)x,据题意,800-20x≥440, ∴1≤x≤18 去乙商场购买共花费 600x,x∈N*,

故若买少于 10 台,去乙商场花费较少;若买 10 台,去甲、乙商场花费一样;若买超 过 10 台,去甲商场花费较少. 8. 记函数 f(x)= 2 ?

x?3 的定义域为 A, g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1) 的定义域为 B. x ?1

(1) 求 A; (2) 若 B ? A, 求实数 a 的取值范围. 解析 (1)由 2- 它等价于 ?

x?3 x ?1 ≥0, 得 ≥0, x ?1 x ?1

?( x ? 1)( x ? 1) ? 0, 即 x<-1 或 x≥1 ? x ? 1 ? 0.

∴A=(-∞,-1)∪[1,+ ∞] (2) 由(x-a-1)(2a-x)>0, 得(x-a-1)(x-2a)<0. ∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1). ∵B ? A, ∴2a≥1 或 a+1≤-1, 即 a≥ ∴

1 或 a≤-2, 而 a<1, 2

1 ≤a<1 或 a≤-2, 2 1 ,1] . 2

故当 B ? A 时, 实数 a 的取值范围是(-∞,-2)∪[ 备选题

1.若关于 x 的不等式 x2-ax-a≤-3 的解集不是空集, 则实数 a 的取值范围是 . 2 1. a≤-6 或 a≥2。提示: ∵x -ax-a+3≤0 的解集不是空集, ∴Δ≥0 即 a2-4(3-a)≥0,∴a2+4a-12≥0,∴a≤-6 或 a≥2。 2.已知不等式 ax2+bx+c>0 的解集{x|α<x<β}(0<α<β),求不等式 cx2+bx+a<0 的 解集. 2.【解】由已知得 a<0,且 α,β 是方程 ax2+bx+c=0 的根. b α+β=- >0, ?b=-a(α+β), a ? 则 ?? c ? ?c=aαβ. αβ= >0 a

? ? ?

故 cx2+bx+a<0?aαβx2-a(α+β)x+a<0, ∵a<0, 1 1 ∴αβx2-(α+β)x+1>0,(x- )(x- )>0. α β 1 1 又∵0<α<β,∴解集为{x|x> ,或 x< }. a β