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肇庆市高一数学 2009—2010 学年第一学期统一检测题及答案,已排版,可直接打印

肇庆市中小学教学质量评估 2009—2010 学年第一学期统一检测题 高一数学

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列关系式中,正确的是(
1 (A) ? R 2

) (C) | ?3 |? N * (D) ? ?{0} )

(B) 2 ? Q

2.绘制频率分布直方图时,各个小长方形的面积等于相应各组的( (A)组距 (B)平均值 (C)频数 )

(D)频率

3.设全集 U ? N ,集合 A ? {x ? N | x ? 5} ,则 CU A ? ( (A){0,1,2,3,4,5} (C){1,2,3,4,5}

(B){0,1,2,3,4} (D){1,2,3,4} ) (D) y ?
3 x

4.下列函数中,在(0,3)上为增函数的是( (A) y ? 3 ? x (B) y ? ? | x |

(C) y ? x 2 ? 1 )

5.函数 f ( x) ? 2 ? x ? log 2 (2 ? x) 的定义域是( (A)? 2 ? x ? 2 (B)? 2 ? x ? 2

(C)? 2 ? x ? 2 )

(D)? 2 ? x ? 2

6.函数 y ? a x ?2 ? 1(a ? 0且a ? 1) 的图象必经过点( (A) (0,1) (B) (1,1)

(C) (2,1) )

(D) (2,2)

7.三个数 a ? 0.32 , b ? log 2 0.3, c ? 2 0.3 之间的大小关系是( (A) b ? a ? c (B) b ? c ? a ) (C) ?2,??? (C) a ? c ? b

(D) a ? b ? c

8.函数 f ( x) ?| x | ? | x ? 1 | 的值域为( (A) ?0,??? (B) ?1,?? ?

(D) ?? 1,?? ?

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9.已知 y ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 3 ,当其值域为[1,7]时,x 的取值范围是( (A)[2,4] (B) ?? ?,0? (C) ?? ?,0? ? ?1,2?



(D) ?0,1? ? ?2,4?

10. f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在(-1,1)上存在 x 0 ,使 f ( x0 ) ? 0 ,则 a 的取值范围是
1 (A)(?1, ) 5 1 (B)( ,?? ) 5

(C)(??,?1)

1 (D)(??,?1) ? ( ,??) 5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.计算:

开始

m ? m ?1 ? 2 m ?m
1 2 ? 1 2

?



.
S=0

1 1 1 12.计算: log 2 ? log 3 ? log 5 ? 25 8 9

i=1



.
S=S+i

13.某单位有职工 160 人,其中有业务人员 120 人,管理人员 16 人,后勤人员 24 人. 为了了解职工的某种情况,要从中 抽取一个容量为 20 的样本. 用分层抽样的方法抽取的业务 人员的人数是__▲ _.
i>10 是 i=i+1 否

14.阅读右边程序框图,该程序输出的结果是__▲__.

输出 S

结束

三、解答题:共 6 题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 某校有教职工 130 人, 对他们进行年龄状况和受教育程度的调查,其结果如 下: 本科 35 岁以下 35?50 岁 50 岁以上 50 20 10 研究生 35 13 2 合计 85 33 12

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随机地抽取一人,求下列事件的概率: (1)具有本科学历; (2)35 岁以下具有研究生学历; (3)50 岁以上.

16. (本小题满分 12 分) 设 集 合 A ? {x | ( x ? 3)( x ? a) ? 0, a ? R} , B ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} , 求
A ? B, A ? B .

17. (本小题满分 14 分) 为了解某校学生每周购买瓶装饮料的情况,课外活动小组从全校 30 个班中 随机选取了 A、B、C、D、E 共 5 个班,并随机对这 5 个班学生某一天购买瓶装 饮料的瓶数进行了统计,结果如图所示. (1)求该天这 5 个班平均每班购买饮料的瓶数; (2)估计该校所有班级每周(以 5 天计)购买 饮料的瓶数; (3)若每瓶饮料售价在 1.5 元至 2.5 元之间,估 计该校所有学生一周用于购买瓶装饮料的费用范围.
0 A B 12 11 10 9 8 瓶数 (瓶 )

C

D

E 班级

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?
1 , x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x 2 ? 1. 4 ?2
x

(1)求证: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 ; 2

1 2 7 (2)求 f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) 的值. 8 8 8
第 3 页/共 8 页

19. (本小题满分 14 分)
a ? 2x ? a ? 2 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? ( x ? R) 为奇函数. 2x ?1

(1)求 a 的值; (2)判断函数 f (x) 的单调性,并说明理由; (3)求函数 f (x) 的值域.

20. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 y ? f1 ( x) 的图象以原点为顶点且过点(1,1) ,反比例函数
y ? f 2 ( x) 的图象与直线 y ? x 交于点 (2 2 ,2 2 ) ,函数 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) .

(1)求函数 f (x) 的表达式; (2)证明:当 a ? 3 时,关于 x 的方程 f ( x) ? f (a) 有三个实数解.

2009—2010 学年第一学期统一检测题 高一数学参考答案及评分标准 一、选择题 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 B 6 D 7 A 8 B 9 C 10 D

二、填空题
1

11. m 2 ? m 2 ;

?

1

12.-12;

13.15;

14.55

第 4 页/共 8 页

三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)记“抽取一人具有本科学历”为事件 A,则 P( A) ?
50 ? 20 ? 10 8 ? ; 130 13

(4 分) (2)记“抽取一人为 35 岁以下具有研究生学历”为事件 B,则 P( B) ?
35 7 ; ? 130 26

(8 分) (3)记“抽取一人 50 岁以上”为事件 C,则 P(C ) ?
12 6 . ? 130 65

(12 分)

16. (本小题满分 12 分) 解: (1)当 a ? 1 时, A ? {1,3} ,又因为 B ? {1,4} , 所以 A ? B ? {1,3,4} , A ? B ? {1} ; (2)当 a ? 3 时, A ? {3},又因为 B ? {1,4} , 所以 A ? B ? {1,3,4} , A ? B ? ? ; (3)当 a ? 4 时, A ? {3,4} ,又因为 B ? {1,4} , 所以 A ? B ? {1,3,4} , A ? B ? {4} ; (4)当 a ? 1,3,4 时, A ? {3, a} ,又因为 B ? {1,4} , 所以 A ? B ? {1,3,4, a} , A ? B ? ? . (1 分) (3 分) (4 分) (6 分) (7 分) (9 分) (10 分) (12 分)

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17. (本小题满分 14 分)
8 ? 9 ? 12 ? 11 ? 10 解: (1) , ? 10 (瓶) 5
12 11 10 9 8

瓶数 (瓶 )

所以该天这 5 个班平均每班购买饮料 10 瓶; (4 分) (2) 10 ? 5 ? 30 ? 1500 (瓶) , 所以该校所有班级每周购买饮料 1500 瓶; (9 分)
0 A B

C

D

E 班级

(3)设每瓶饮料的售价为 x 元,则 1.5 ? x ? 2.5 , 2250 ? 1500 x ? 3750 ,所以该 校所有班级学生一周用于购买瓶装饮料的费用范围是[2250,3750]. (14 分)

18. (本小题满分 14 分) (1)证明:由 x1 ? x 2 ? 1,得 x2 ? 1 ? x1 , 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
1 1 ? 1?x1 4 ?2 4 ?2
x1

(1 分) (3 分)

?

41? x1 ? 2 ? 4 x1 ? 2 (4 x1 ? 2)( 41? x1 ? 2) 4 x1 ? 41? x1 ? 4 1 ? x1 1? x1 2( 4 ? 4 ? 4 ) 2

(4 分)

?

(6 分)

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 . 2

(7 分)

1 2 7 (2)因为 2[ f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1)] 8 8 8
1 7 2 6 7 1 ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f ( ) ? f ( )] ? [ f (1) ? f (0)] 8 8 8 8 8 8

(11 分)
? 1 9 ?9 ? , 2 2

(12 分)

1 2 7 9 所以 f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) 的值为 . 8 8 8 4

(14 分)

第 6 页/共 8 页

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 f (x) 为奇函数, x ? R ,所以 f (0) ? 0 , 即
a ? 20 ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 . 20 ? 1

(1 分) (3 分) (4 分) (5 分)

(2)函数 f (x) 在 R 上是增函数. 由(1)知 f ( x) ?
2x ?1 2x ?1

任取 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则
2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? 2 ? 1 2 x2 ? 1
? (2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1) ? (2 x2 ? 1)( 2 x1 ? 1) (2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1)

(6 分)

(7 分)

2(2 x1 ? 2 x2 ) ? x1 (2 ? 1)( 2 x2 ? 1)

(8 分) (9 分)

因为 2 x1 ? 1 ? 0,2 x2 ? 1 ? 0 ,又 x1 ? x2 ,2 x1 ? 2 x2 ? 0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 因此, 函数 f (x) 在 R 上是增函数.
2x ?1 2 ? 1? x (3) f ( x) ? x , 2 ?1 2 ?1

(10 分) (11 分)
2 ? 2 , (12 分) 2 ?1
x

因为当 x ? R 时,2 x ? 0 ,所以 2 x ? 1 ? 1 ,所以 0 ?
2 2 ? 0 ,所以 ? 1 ? 1 ? x ? 1, 2 ?1 2 ?1
x

所以 ? 2 ? ?

(13 分) (14 分)

故函数 f (x) 的值域为 (-1,1).

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20. (本小题满分 14 分) (1)解:依题意可设 f1 ( x) ? ax 2 ,于是有 1 ? a ? 12 ,解得 a ? 1 . 依题意可设 f 2 ( x) ?
k k ,于是有 2 2 ? ,解得 k ? 8 . x 2 2

(2 分) (3 分)

8 所以 f ( x) ? x 2 ? . x

(4 分)
8 8 ? a2 ? , x a

(2)证明:由 f ( x) ? f (a) ,得 x 2 ?
8 ) ? 0, ax

(5 分)

即 ( x ? a)( x ? a ?

(6 分) (7 分) (8 分)

所以得方程的一个解 x1 ? a . 把方程 x ? a ?
8 ? 0 化为 ax 2 ? a 2 x ? 8 ? 0 , ax

由 a ? 3 , ? ? a 4 ? 32 a ? 0 ,得
x2 ? ? a 2 ? a 4 ? 32 a ? a 2 ? a 4 ? 32 , x3 ? , 2a 2a

(10 分) (11 分)

因为 a ? 3 ,所以 x 2 ? 0, x3 ? 0 ,所以 x1 ? x2 , x2 ? x3 . 若 x1 ? x3 ,即 a ?
? a 2 ? a 4 ? 32 a ,则 a 4 ? 4a , 2a

(12 分) (13 分) (14 分)

解得 a ? 0或a ? 3 4 ,这与 a ? 3 矛盾,所以 x1 ? x3 . 故当 a ? 3 时, 关于 x 的方程 f ( x) ? f (a) 有三个实数解.

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