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第三讲,不等式的证明及应用


真题讲解 例 1 求证:对于任何实数 a、 b ,实数 a ? b 、 a ? b、 1 ? a 中至少有一个不小于 例 2 设 f ?x? ? x8 ? x5 ? x 2 ? x ? 1 ,则 f ?x ? 有性质( A 对任何实数 x , f ?x ? 总是大于 0 B 对任何实数 x , f ?x ? 总是小于 0 C 当 x >0 时, f ?x ? ? 0 D 以上均不对 例 3 求证:对 ?x, y ? R, x 2 ? y 2 ? xy ? 3?x ? y ?1? 恒成立. 例 4 实 数 ).

1 . 2

ai ?i ? 1,2,3?, bi ?i ? 1,2,3?





a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3,

a1a2 ? a2a3 ? a3a1 ? b1b2 ? b2b3 ? b3b1 , min?a1 , a2 , a3 ? ? min?b1, b2 , b3 ? , 求 证 : max?a1, a2 , a3 ? ? max?b1, b2 , b3 ? .
例 5 x ? 0, y ? 0, a ? x ? y , b ?

x 2 ? xy ? y 2 , c ? m xy .问:是否存在正数 m ,使得对

任意的 x、 y ,可使 a、b、c 为三角形的三边构成三角形?如果存在,求出 m 的值,如果 不存在,请说明理由. 实战演练 一:填空题
2 1. 若实数 x 满足:对任意的 a ? 0 ,均有 x ? 1 ? a ,则 x 的取值范围是(

). D 不能确定

A (-1, 1)

B [-1, 1]

C ? 1? a , 1? a
5 a ?9b ? 4 c

?

?

2.设 a、b、c 为非负实数, 且满足方程 4 最大值和最小值( ). A 互为倒数 B 其和为 13

? 68? 2

5 a ? 9b ? 4 c

则a ?b?c 的 ? 256 ? 0 , D 均不存在

C 其乘积为 4
2

3.设实数 x, y ? 0 , 且满足 2 x ? y ? 5 , 则函数 f ?x, y ? ? x ? xy ? 2 x ? 2 y 的最大值是 ( A.

) .

97 8

B.

195 16

C.

49 4

D.

25 2

4.下列不等式中正确的是( A. 16 ?

). B.

?
k ?1 120 k ?1

120

1 ? 17 k 1 ? 21 k
).

18 ? ?
k ?1

120

1 ? 19 k 1 ? 23 k

C.

20 ? ?

D.

22 ? ?
k ?1

120

5.不等式

1 ? 1 的解集是( x
B. ?1 , ? ??

A. ?1 , ? ??

C. ?- ?, 0? ? ?1, ? ??

D. ?- ?, 0? ? ?1, ? ??

?? x 2 , x ? 0 f ?x ? ? ? 6.已知函数 ? ? x, x ? 0 不等式 f ?x ? ? 2 ? 0 的解集为( ).

A. - ?,2

?

?

B. - ?, - 2

?

?

C. ?- 2, 2?

D. - 2,2

?

?

7.已知集合 M ? ?x | lg x ? 0?, N ? ?x | A. ?- ?, 0? ? ?1, ? ?? C. ?- ?, 0? ? ?1, ? ?? 二.填空题

1 ? 1? ,则 M ? N 为( ). x
B. ?1 , ? ?? D. ?1 , ? ??

8.已知 x, y, z 是非负整数, 且 x ? y ? z ? 10, x ? 2 y ? 3z ? 30 ,则 x ? 5 y ? 3z 的取值范围是 9 .若对任意的实数 x 都有 f ?x? ? loga 2 ? e x?1 ? ?1,则实数 a 的取值范围是

?

?

1 ? 2 ? x ? 2ax ? 5 ? 3 10. 已知不等式组 ? 有唯一解,则 a = 7 2 ? x ? 2ax ? 5 ? 2 ?
3x 2 ? px ? 6 ? 6 对任意实数 x 恒成立,则 p = x2 ? x ?1

11.已知不等式 - 9 ?

.

? x ? y ? 5 ? 0, ? 12.已知 x , y 满足 ? x ? y ? 0, 则 2 x ? 4 y 的最小值是 ? x ? 0, ? ? y ? x, ? 13.如果实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 那么 z ? 2 x ? y 的最大值为. ? y ? 0, ?

.

三.解答题 14.证明: 1 ? sin x ? cos x ? 2 4 , x ? [0,
3

?
2

].
a a a

?1? ?1? ?1? 15. a1 , a2 ,?, an 是各不相同的自然数, a ? 2 ,求证: ? ?a ? ? ?? ?a ? ? ?? ? ? ?a ? ? ?2 ? 1? ? 2? ? n?
16. a , b 满足何条件,可使

x 2 ? ax ? b ? 1 恒成立? x2 ? 2x ? 2

17. 不等式 log2

2 x 2 ? 2kx ? k ? 0 对于任意的 x ? R 都成立,求实数 k 的取值范围. 3x 2 ? 6 x ? 4
1

x 4 18. 证明:方程 x ? 2 y ? 1 的任一组整数解 ?x, y ?? y ? 0? 都满足 ? 2 3 ? 3 . 、 y y
3 3

19. 已知 A, B, C 为 ?ABC 的三个内角,求证: cos B ? cos C ? 20. 求证: 1 ?

2a A ? 4 sin . b?c 2

1 23

?

1 33

?? ?

1 n3

? 3.
, 对 于 大 于 1 的

21.已

知 正 数 数 列

a1 , a2 ,?, an

n





a1 ? a2 ? ? ? an ?

3 n ?1 n, a1a2 ? an ? ,试证: a1 , a2 ,?, an 中至少有一个小于 1. 2 2


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