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江苏省泰州中学附中2016届九年级数学下学期第一次月考试题(含解析) 苏科版


江苏省泰州中学附中 2016 届九年级数学下学期第一次月考试题
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) ﹣2 1.计算 4 的结果是( ) A.﹣8 B.﹣ C.﹣ D.

2.下列运算正确的是( ) 2 3 5 3 2 A.a +a =a B. (﹣2a ) =4a6 6 3 2 2 2 2 C.a ÷a =a D. (a+2b) =a +2ab+b 3.一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的 4 个白球和 2 个黑球,摸一次,摸到黑球的 概率为( ) A. B. C. D.1

4.已知点 G 为△ABC 的重心,若△ABC 的面积为 12,则△BCG 的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 5.半径为 2 的⊙O 中,弦 AB=2 ,弦 AB 所对的圆周角的度数为( ) A.60° B.60°或 120° C.45°或 135° D.30°或 150° 2 2 6. 一元二次方程 x +bx+c=0 有一个根为 x=2, 则二次函数 y=2x ﹣bx﹣c 的图象必过点 ( A. (2,12) B. (2,0) C. (﹣2,12) D. (﹣2,0)



二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 7.函数 y= 的自变量 x 的取值范围为 . 2 8.因式分解:64﹣4x = . 9.“中国好人”张凤芝开办培训学校,据统计她共为近 2000 人免去学费,省去近 120 万元 费用,120 万用科学记数法表示为 . 10.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12,则 sinA= . 11.圆锥的底面半径为 2,母线长为 6,则它的侧面积为 . 12.一组数﹣1、x、2、2、3、3 的众数为 3,这组数的方差为 . 13.圆内接四边形 ABCD 中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则∠D= °. 2 2 14.关于 x 的方程﹣2x +bx+c=0 的解为 x1、x2(x1<x2) ,﹣2x +bx+c=1 的解为 x3、x4(x3< x4) ,用“<”连接 x1、x2、x3、x4 为 . 15.如图,在半圆中 AB 为直径,弦 AC=CD=6 ,DE=EB=2,弧 CDE 的长度为 .

16.如图,矩形 ABCD 的顶点 AB 在 x 轴上,点 D 的坐标为(6,8) ,点 E 在边 BC 上,△CDE 沿 DE 翻折后点 C 恰好落在 x 轴上点 F 处, 若△ODF 为等腰三角形, 点 E 的坐标为 .

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三、解答题(本大题共 10 小题,共 102 分) 17. (1)计算: (2)化简(a+b)2﹣(a+2b) (a﹣2b)﹣2a(a﹣3b) . 18.化简( ﹣4)÷ 并求值,其中 x 满足 x ﹣2x﹣8=0.
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19.“校园手机”现象越来越受到社会的关注.“寒假”期间,某校小记者随机调查了某地 区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法,统计整理并制作了如下的统计图: (1)求这次调查的家长人数,并补全图 1; (2)求图 2 中表示家长“赞成”的圆心角的度数; (3)已知某地区共 6500 名家长,估计其中反对中学生带手机的大约有多少名家长?

20.有 3 张扑克牌,分别是红桃 3、红桃 4 和黑桃 5.把牌洗匀后甲先抽取一张,记下花色 和数字后将牌放回,洗匀后乙再抽取一张. (1)列表或画树状图表示所有取牌的可能性; (2)甲、乙两人做游戏,现有两种方案:A 方案:若两次抽得相同花色则甲胜,否则乙胜; B 方案:若两次抽得数字和为奇数则甲胜,否则乙胜.请问甲选择哪种方案获胜概率更高? 21.已知不等臂跷跷板 AB 长为 4 米,如图 1,当 AB 的一端 A 碰到地面时,AB 与地面的夹角 为α , 如图 2, 当 AB 的另一端 B 碰到地面时, AB 与地面的夹角为 β , 已知 α =30°, β =37°, 求跷跷板 AB 的支撑点 O 到地面的高度 OH(sin37°=0.6,cos37°=0.8,tan37°=0.75) .

22.已知等边△ABC 内接于⊙O,AD 为 O 的直径交线段 BC 于点 M,DE∥BC,交 AB 的延长线 于点 E.

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(1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若等边△ABC 的边长为 6,求 BE 的长.

23.已知△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,tanA= ,CD⊥AB 于点 D,DE⊥AC,点 F 在线段 BC 上,EF 交 CD 于点 M. (1)求 CD 的长; (2)若△EFC 与△ABC 相似,试求线段 EM 的长.

24.在平面直角坐标系中,直线 y1=x+m 与双曲线 y2= 交于点 A、B,已知点 A、B 的横坐标 为 2 和﹣1. (1)求 k 的值及直线与 x 轴的交点坐标; (2)直线 y=2x 交双曲线 y= 于点 C、D(点 C 在第一象限)求点 C、D 的坐标; (3)设直线 y=ax+b 与双曲线 y= (ak≠0)的两个交点的横坐标为 x1、x2,直线与 x 轴交

点的横坐标为 x0,结合(1) 、 (2)中的结果,猜想 x1、x2、x0 之间的等量关系并证明你的猜 想.

25.已知直线 y=﹣ x+2 分别交 x、y 轴于点 A、B,点 C 为线段 OA 的中点,动点 P 从坐标原 点出发,以 2 个单位长度/秒的速度向终点 A 运动,动点 Q 从点 C 出发,以 个单位长度/ 秒的速度向终点 B 运动.过点 Q 作 QM∥AB 交 x 轴于点 M,动点 P、Q 同时出发,其中一个点 到达终点,另一个点也停止运动,设点 P 运动的时间为 t 秒,PM 的长为 y 个单位长度. (1)∠BCO= °; (2)求 y 关于 t 的函数关系式及自变量 t 的取值范围;

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(3) 是否存在时间 t, 使得以 PC 为直径的⊙D 与直线 QM 相切?若存在, 求 t 的值; 不存在, 说明理由.

26.如图,已知抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于点 A(﹣1,0) 、B(2,0) ,交 y 轴于点 C,抛物 线的对称轴交 x 轴于点 H,直线 y=kx(k>0)交抛物线于点 M、N(点 M 在 N 的右侧) ,交抛 物线的对称轴于点 D. (1)求 b 和 c 的值; (2)如图(1) ,若将抛物线 y=x2+bx+c 沿 y 轴方向向上平移 个单位,求证:所得新抛物线 图象均在直线 BC 的上方; (3)如图(2) ,若 MN∥BC. ①连接 CD、BM,判断四边形 CDMB 是否为平行四边形,说明理由; ②以点 D 为圆心,DH 长为半径画圆⊙D,点 P、Q 分别为抛物线和⊙D 上的点,试求线段 PQ 长的最小值.

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2015-2016 学年江苏省泰州中学附中九年级(下)第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 1.计算 4﹣2 的结果是( ) A.﹣8 B.﹣ C.﹣ D.

【考点】负整数指数幂. 【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算,即可求出答案. 【解答】解:4 = 故选 D. 2.下列运算正确的是( ) 2 3 5 3 2 A.a +a =a B. (﹣2a ) =4a6 C.a6÷a3=a2 D. (a+2b)2=a2+2ab+b2 【考点】同底数幂的除法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;完全平方公式. 【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加,积的乘方等于乘方的积,同底数幂的除法 底数不变指数相减,和的平方等于平方和加积的二倍,可得答案. 【解答】解:A、不是同底数幂的乘法指数不能相加,故 A 错误; B、积的乘方等于乘方的积,故 B 正确; C、同底数幂的除法底数不变指数相减,故 C 错误; D、和的平方等于平方和加积的二倍,故 D 错误; 故选:B. 3.一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的 4 个白球和 2 个黑球,摸一次,摸到黑球的 概率为( ) A. B. C. D.1
﹣2

=



【考点】概率公式. 【分析】 由一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的 4 个白球和 2 个黑球, 直接利用概率 公式求解即可求得答案. 【解答】解:∵一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的 4 个白球和 2 个黑球, ∴摸一次,摸到黑球的概率为: 故选 C. 4.已知点 G 为△ABC 的重心,若△ABC 的面积为 12,则△BCG 的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 【考点】三角形的重心. 【分析】根据题意,画出图形,三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的 2 倍, 再结合三角形的面积公式求解. 【解答】解:∵G 为△ABC 的重心, = .

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∴AG:GD=2:1, ∴S△ABG=2S△BGD, S△CAG=2S△CGD, ∴△BGC 的面积= ×△ABC 的面积=4, 故选:B.

5.半径为 2 的⊙O 中,弦 AB=2 ,弦 AB 所对的圆周角的度数为( ) A.60° B.60°或 120° C.45°或 135° D.30°或 150° 【考点】圆周角定理;垂径定理. 【分析】首先根据题意画出图形,然后作直径 BC,则∠A=90°,由半径为 2 的⊙O 中,弦 AB=2 ,即可求得∠C 与∠D 的度数. 【解答】解:如图,作直径 BC,则∠A=90°, ∵BC=2×2=4,弦 AB=2 , ∴tan∠C= = ,

∴∠C=60°, ∴∠D=180°﹣∠C=120°, ∴弦 AB 所对的圆周角的度数为:60°或 120°. 故选 B.

6. 一元二次方程 x2+bx+c=0 有一个根为 x=2, 则二次函数 y=2x2﹣bx﹣c 的图象必过点 ( ) A. (2,12) B. (2,0) C. (﹣2,12) D. (﹣2,0) 【考点】二次函数图象上点的坐标特征;一元二次方程的解. 【分析】根据一元二次方程 x2+bx+c=0 有一个根为 x=2,得出 4+2b+c=0,进一步得出 8﹣2b ﹣c=12,把 x=2 代入 y=2x2﹣bx﹣c 得 y=8﹣2b﹣c=12,即可得到图象必过点. 2 【解答】解:∵一元二次方程 x +bx+c=0 有一个根为 x=2, ∴4+2b+c=0, ∴8﹣2b﹣c=12, 把 x=2 代入 y=2x2﹣bx﹣c 得 y=8﹣2b﹣c=12, ∴二次函数 y=2x2﹣bx﹣c 的图象必过点(2,12) .

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故选 A. 二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 7.函数 y= 的自变量 x 的取值范围为 x≥﹣1 . 【考点】函数自变量的取值范围. 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解. 【解答】解:由题意得,x+1≥0, 解得 x≥﹣1. 故答案为:x≥﹣1. 8.因式分解:64﹣4x2= 4(4+x) (4﹣x) . 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】首先提去公因式 4,进而利用平方差公式分解因式得出答案. 2 【解答】解:64﹣4x 2 =4(16﹣x ) =4(4+x) (4﹣x) . 故答案为:4(4+x) (4﹣x) . 9.“中国好人”张凤芝开办培训学校,据统计她共为近 2000 人免去学费,省去近 120 万元 6 费用,120 万用科学记数法表示为 1.2×10 . 【考点】科学记数法—表示较大的数. 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的 值时, 要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位, n 的绝对值与小数点移动的位数相同. 当 原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 【解答】解:将 120 万用科学记数法表示为:1.2×106. 故答案为:1.2×106.

10.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12,则 sinA=



【考点】锐角三角函数的定义. 【分析】根据题意画出图形,进而利用勾股定理得出 AB 的长,再利用锐角三角函数关系, 即可得出答案. 【解答】解:如图所示:∵∠C=90°,AC=5,BC=12, ∴AB= ∴sinA= . . =13,

故答案为:

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11.圆锥的底面半径为 2,母线长为 6,则它的侧面积为 12π . 【考点】圆锥的计算. 【分析】根据圆锥的底面半径为 2,母线长为 6,直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面 积. 【解答】解:根据圆锥的侧面积公式:π rl=π ×2×6=12π , 故答案为:12π . 12.一组数﹣1、x、2、2、3、3 的众数为 3,这组数的方差为 2 . 【考点】方差;众数. 【分析】根据众数定义得出 x=3,根据方差公式即可解决. 【解答】解:∵一组数﹣1、x、2、2、3、3 的众数为 3, ∴x=3, ∴这组数据的平均数= ∴方差 s2= =2,

[(﹣1﹣2)2+(3﹣2)2+(2﹣2)2+(2﹣2)2+(3﹣2)2+(3﹣2)2]=2,

故答案为 2. 13.圆内接四边形 ABCD 中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则∠D= 90 °. 【考点】圆内接四边形的性质. 【分析】设∠A 为 x,根据圆内接四边形的性质列出方程,解方程即可. 【解答】解:设∠A 为 x,则∠B 为 2x,∠C 为 3x, ∵四边形 ABCD 是圆内接四边形, ∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°, 则 x+3x=180°, 解得,x=45°, ∴∠B=2x=90°, ∴∠D=90°, 故答案为:90. 14.关于 x 的方程﹣2x2+bx+c=0 的解为 x1、x2(x1<x2) ,﹣2x2+bx+c=1 的解为 x3、x4(x3< x4) ,用“<”连接 x1、x2、x3、x4 为 x1<x3<x4<x2 . 【考点】抛物线与 x 轴的交点. 【分析】 画出抛物线 y=﹣2x2+bx+c 与抛物线 y=﹣2x2+bx+c﹣1 的图象, 利用图象法即可解决 问题. 2 2 【解答】解:∵于 x 的方程﹣2x +bx+c=0 的解为 x1、x2(x1<x2) ,﹣2x +bx+c=1 的解为 x3、 x4(x3<x4) , ∴抛物线 y=﹣2x2+bx+c 与 x 轴交于(x1,0) , (x2,0) , 2 抛物线 y=﹣2x +bx+c﹣1 与 x 轴交于(x3,0) , (x4,0) , 由图象可知:x1<x3<x4<x2. 故答案为 x1<x3<x4< x2.png_iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAANkAAACrCAYAAADrVDm8AAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv8YQUAAAAJcEhZcwAADsMAAA7DAcdvqGQAAA4HSURBVHhe7Z0/aBRdF4eDWFiIGB
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15.如图,在半圆中 AB 为直径,弦 AC=CD=6

,DE=EB=2,弧 CDE 的长度为



【考点】弧长的计算;勾股定理;圆心角、弧、弦的关系;圆内接四边形的性质. 【分析】过点 E 作 EH⊥CD 于 H,连接 OC、OE、AE,如图所示.根据弧、弦和圆周角的关系 可得∠COE=90°, 根据圆周角定理可得∠CAE=45°, 再根据圆内接四边形对角互补及同角的 补角相等可得∠HDE=45°,然后运用勾股定理可依次求出 CE,CO,然后运用圆弧长公式就 可解决问题. 【解答】解:过点 E 作 EH⊥CD 于 H,连接 OC、OE、AE,如图所示.

9

∵AC=CD,DE=EB, ∴ , , ∴∠COE= ∠AOB=90°, ∴∠CAE=45°. ∵∠CDE+∠CAE=180°,∠CDE+∠HDE=180°, ∴∠HDE=∠CAE=45°. 在 Rt△DHE 中,HE=DE?sin∠HDE=2× DH=DE?cos∠HDE=2× 在 Rt△CHE 中,CE= 在 Rt△COE 中,CO= ∴弧 CDE 的长度为 故答案为 . CE=5 = . = , = . =10. = ,

16.如图,矩形 ABCD 的顶点 AB 在 x 轴上,点 D 的坐标为(6,8) ,点 E 在边 BC 上,△CDE 沿 DE 翻折后点 C 恰好落在 x 轴上点 F 处,若△ODF 为等腰三角形,点 E 的坐标为 (16,3) 或(4 +6,2 ﹣2)或( , ) .

【考点】翻折变换(折叠问题) ;坐标与图形性质;等腰三角形的判定. 【分析】先依据勾股定理求得 OD=10,①当 OD=DF 时,由勾股定理可求得 AF=6,故此可求得 OF=12,由翻折的性质可知 DC=10,从而得到点 E 的横坐标为 16,FB=4,最后在 Rt△EFB 中, 依据勾股定理列方程求解即可;②当 OD=OF 时.先求得 AF=4,由勾股定理可求得 DF=4 , 从而得到点 E 的横坐标为 6+4 ,FB=4 ﹣4,最后在 Rt△EFB 中,依据勾股定理列方程 求解即可;③当 OF=DF 时,设点 F 的坐标为(b,0) ,依据两点间的距离公式列出关于 b 的

10

方程可求得 b= 的横坐标为

.即 OF=

,从而得到 AF= ,依据勾股定理可求得 DF=

,从而得到点 E

,BF=6,最后在 Rt△EFB 中,依据勾股定理列方程求解即可.

【解答】解:∵点 D 的坐标为(6,8) , ∴OD=10. ①当 OD=DF=10 时. ∵DF=10,AD=8, ∴AF=6. ∴OF=12. 由翻折的性质可知:DC=DF=10,FE=CE, ∴点 E 的横坐标为 16. ∴FB=4. 设点 E 的纵坐标为 a,则 FE=8﹣a. 2 2 2 2 2 2 在 Rt△EFB 中,FB +BE =FE ,即 4 +a =(8﹣a) ,解得 a=3. ∴点 E 的坐标为(16,3) . ②当 OD=OF 时. ∵OF=10,0A=6, ∴AF=4. ∵在 Rt△DAF 中,DF= =4 .

∴点 E 的横坐标为 6+4 . ∴FB=4 ﹣4. 设点 E 的纵坐标为 a,则 FE=8﹣a. 在 Rt△EFB 中,FB2+BE2=FE2,即(4 ﹣4)2+a2=(8﹣a)2,解得 a=2 ∴点 E 的坐标为(4 +6,2 ﹣2) .
2 2 2

﹣2.

③当 OF=DF 时,设点 F 的坐标为(b,0) ,则 8 +(b﹣6) =b .解得:b= ∵OA=6,OF= ∴AF= . ∴DF= = . +6= . ,

.即 OF=



由翻折的性质可知:DC=DF,则点 E 的横坐标为 在 Rt△EFB 中,FB2+BE2=FE2,即( ∴点 E 的坐标为( , ) . ﹣

)2+a2=(8﹣a)2,解得 a= .

综上所述,点 E 的坐标为(16,3)或(4 故答案为: (16,3)或(4 +6,2

+6,2

﹣2)或( , ) .

, ) .

﹣2)或(

11

三、解答题(本大题共 10 小题,共 102 分) 17. (1)计算:
2



(2)化简(a+b) ﹣(a+2b) (a﹣2b)﹣2a(a﹣3b) . 【考点】实数的运算;整式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 【分析】 (1)原式第一项利用负整数指数幂法则计算,第二项利用零指数幂法则计算,第三 项利用特殊角的三角函数值计算,最后一项化为最简二次根式,计算即可得到结果; (2)原式利用完全平方公式,平方差公式,以及单项式乘以多项式法则计算,去括号合并 即可得到结果. 【解答】解:原式=﹣3﹣1﹣2+2 =﹣6+2 ; (2)原式=a2+2ab+b2﹣a2+4b2﹣2a2+6ab=﹣2a2+6ab+5b2.

18.化简(

﹣4)÷

并求值,其中 x 满足 x ﹣2x﹣8=0.

2

【考点】分式的化简求值. 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形, 约分得到最简结果,求出已知方程的解得到 x 的值,代入计算即可求出值. 【解答】解:原式= ÷ = ? =x

﹣2, 2 由 x ﹣2x﹣8=0,即(x﹣4) (x+2)=0,得到 x=4 或 x=﹣2(舍去) , 则 x=4 时,原式=4﹣2=2. 19.“校园手机”现象越来越受到社会的关注.“寒假”期间,某校小记者随机调查了某地 区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法,统计整理并制作了如下的统计图: (1)求这次调查的家长人数,并补全图 1; (2)求图 2 中表示家长“赞成”的圆心角的度数; (3)已知某地区共 6500 名家长,估计其中反对中学生带手机的大约有多少名家长?

【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 【分析】 (1)根据认为无所谓的家长是 80 人,占 20%,据此即可求得总人数; (2)利用 360 乘以对应的比例即可求解; (3)利用总人数 6500 乘以对应的比例即可求解.

12

【解答】解: (1)这次调查的家长人数为 80÷20%=400 人,反对人数是:400﹣40﹣80=280 人,



(2)360°×

=36°; =4550(名) .

(3)反对中学生带手机的大约有 6500×

20.有 3 张扑克牌,分别是红桃 3、红桃 4 和黑桃 5.把牌洗匀后甲先抽取一张,记下花色 和数字后将牌放回,洗匀后乙再抽取一张. (1)列表或画树状图表示所有取牌的可能性; (2)甲、乙两人做游戏,现有两种方案:A 方案:若两次抽得相同花色则甲胜,否则乙胜; B 方案:若两次抽得数字和为奇数则甲胜,否则乙胜.请问甲选择哪种方案获胜概率更高? 【考点】列表法与树状图法;游戏公平性. 【分析】 (1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果; (2)由(1)中的树状图可求得甲胜的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案. 【解答】解:根据题意画图如下:

则所有取牌的可能性共有 9 种; (2)∵两次抽得相同花色的有 5 种情况, ∴A 方案:P(甲胜)= , ∵两次抽得数字和为奇数的有 4 种情况, ∴B 方案:P(甲胜)= , 则选择 A 方案. 21.已知不等臂跷跷板 AB 长为 4 米,如图 1,当 AB 的一端 A 碰到地面时,AB 与地面的夹角 为α , 如图 2, 当 AB 的另一端 B 碰到地面时, AB 与地面的夹角为 β , 已知 α =30°, β =37°, 求跷跷板 AB 的支撑点 O 到地面的高度 OH(sin37°=0.6,cos37°=0.8,tan37°=0.75) .

13

【考点】解直角三角形的应用. 【分析】根据三角函数的知识分别用 OH 表示出 AO,BO 的长,再根据不等臂跷跷板 AB 长 4 米,即可列出方程求解即可. 【解答】解:根据题意得:AO=OH÷sinα ,BO=OH÷sinβ , AO+BO=OH÷sinα +OH÷sinβ , 即 OH÷sinα +OH÷sinβ =4,

则 OH=

=

=

=

(米) .

即故跷跷板 AB 的支撑点 O 到地面的高度 OH 是

米.

22.已知等边△ABC 内接于⊙O,AD 为 O 的直径交线段 BC 于点 M,DE∥BC,交 AB 的延长线 于点 E. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若等边△ABC 的边长为 6,求 BE 的长.

【考点】切线的判定;等边三角形的性质. 【分析】 (1)由等边三角形的性质得出 O 即是△ABC 的外心,又是△ABC 的内心,得出 ∠BAM=∠CAM=30°,因此∠AMB=90°,由平行线的性质得出∠EDA=90°,即可得出结论; (2)由等边三角形的性质得出 BM= AB=3,连接 OB,则∠OBM=30°,得出 OM= OB,由勾股 定理求出 OB,由平行线的性质得出 = ,求出 AE,即可得出 BE 的长.

【解答】 (1)证明:∵等边△ABC 内接于⊙O, ∴∠ABC=60°,O 即是△ABC 的外心,又是△ABC 的内心, ∴∠BAM=∠CAM=30°, ∴∠AMB=90°, ∵DE∥BC, ∴∠EDA=∠AMB=90°, ∵AD 为⊙O 的直径, ∴DE 是⊙O 的切线;

14

(2)解:∵△ABC 是等边三角形, ∴BM= AB=3, 连接 OB,如图所示: 则∠OBM=30°, ∴OM= OB, 由勾股定理得:OB2﹣OM2=BM2, 即 OB2﹣( OB)2=32, 解得:OB=2 , ∴OM= ,AM=3 ,AD=4 ∵DE∥BC, ∴ = ,即 = ,



解得:AE=8, ∴BE=AE﹣AB=8﹣6=2.

23.已知△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,tanA= ,CD⊥AB 于点 D,DE⊥AC,点 F 在线段 BC 上,EF 交 CD 于点 M. (1)求 CD 的长; (2)若△EFC 与△ABC 相似,试求线段 EM 的长.

【考点】相似三角形的判定与性质;解直角三角形. 【分析】 (1)由已知条件易求 BC、AB 的长,再根据△ACB 的面积为定值即可求出 CD 的长, (2)若△EFC 与△ABC 相似,则 CE 可以和 BC 为对应边,也可以和 AC 为对应边,所以此题 要分两种情况讨论求出 CF 的长,再由△DEM∽△CFM 即可求出不同情况下 EM 的长. 【解答】解: (1)∵∠ACB=90°,AC=3,tanA= , ∴BC=4, ∴AB= =5,
15

∵CD⊥AB 于点 D, ∴ AC?BC= AB?CD, ∴CD=2.4; (2)∵CD⊥AB 于点 D,tanA= ,AC=3, ∴AD= , ∵DE⊥AC,tanA= , ∴AE= ,DE= = , ,

∴CE=3﹣

若△EFC 与△ABC 相似, 则 解得:CF= 或 或 ,EF= , 或 ,

∵DE⊥AC,BC⊥AC, ∴△DEM∽△CFM, ∴ ∴EM= , 或 .

24.在平面直角坐标系中,直线 y1=x+m 与双曲线 y2= 交于点 A、B,已知点 A、B 的横坐标 为 2 和﹣1. (1)求 k 的值及直线与 x 轴的交点坐标; (2)直线 y=2x 交双曲线 y= 于点 C、D(点 C 在第一象限)求点 C、D 的坐标; (3)设直线 y=ax+b 与双曲线 y= (ak≠0)的两个交点的横坐标为 x1、x2,直线与 x 轴交

点的横坐标为 x0,结合(1) 、 (2)中的结果,猜想 x1、x2、x0 之间的等量关系并证明你的猜 想.

16

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】 (1)根据待定系数法即可解决. (2)解方程组 即可解得 C、D 坐标.

(3)结论:x1+x2=x0,由

消去 y 得:ax +bx﹣k=0,所以 x1+x2=﹣ ,又直线 y=ax+b

2

与 x 轴的交点为(﹣ ,0) ,所以 x0=﹣ ,所以 x1+x2=x0.

【解答】解: (1)由题意:

解得



∴y1=x﹣1,y2= , ∴k=2,直线 y1=x﹣1 与 x 轴的交点为(1,0) . (2)由 解得 ,

所以点 C(1,2) ,D(﹣1,﹣2) . (3)结论:x1+x2=x0, 理由:由 消去 y 得:ax2+bx﹣k=0,

∵直线 y=ax+b 与双曲线 y= (ak≠0)的两个交点的横坐标为 x1、x2, ∴x1+x2=﹣ , 直线 y=ax+b 与 x 轴的交点为(﹣ ,0) , ∴x0=﹣ , ∴x1+x2=x0.

25.已知直线 y=﹣ x+2 分别交 x、y 轴于点 A、B,点 C 为线段 OA 的中点,动点 P 从坐标原 点出发,以 2 个单位长度/秒的速度向终点 A 运动,动点 Q 从点 C 出发,以 个单位长度/

17

秒的速度向终点 B 运动.过点 Q 作 QM∥AB 交 x 轴于点 M,动点 P、Q 同时出发,其中一个点 到达终点,另一个点也停止运动,设点 P 运动的时间为 t 秒,PM 的长为 y 个单位长度. (1)∠BCO= 45° °; (2)求 y 关于 t 的函数关系式及自变量 t 的取值范围; (3) 是否存在时间 t, 使得以 PC 为直径的⊙D 与直线 QM 相切?若存在, 求 t 的值; 不存在, 说明理由.

【考点】一次函数综合题. 【分析】 (1)先分别求得点 A 和点 B 的坐标,从而得到点 C 的坐标,从而得到 OB=OC,于是 可求得∠BCO 的度数; (2)先由相似三角形的性质得到 CM 的长,然后依据 PM=CO+CM﹣OP 可求得 y 与 t 的函数关 系式; (3)当点 P 在点 C 的左边时,可求得 DM=1,由 tan∠NMD= ,可求得 DN= ,然后可求得 ,从而可

DC=1﹣t,从而可求得 t 的值;当点 P 在点 C 的右侧时,可求得 DC=t﹣1,DN= 求得 t 的值. 【解答】解: (1)∵令 y=0 得﹣ x+2=0,解得:x=4, ∴A(0,4) . ∴OA=4. ∵点 C 为线段 OA 的中点, ∴OC=2. ∵令 x=0 得:y=2, ∴B(0,2) . ∴OB=2. ∴OB=OC. 又∵∠BOC=90°, ∴∠BCO=45°. 故答案为:45. (2)如图 1 所示:

18

∵OB=CO=2,∠BOC=90°, ∴BC= OB=2 . ∵OA=4,OC=2, ∴AC=2. 设点 P 和点 Q 的运动时间为 t,则 OP=2t,QP= ∵QM∥AB, ∴ ,即 ,解得 CM=t.

t.

∴PM=CO+CM﹣OP=2+t﹣2t=2﹣t(0≤t≤2) . ∴y 与 t 的函数关系是为 y=2﹣t(0≤t≤2) . (3)如图 2 所示:设 N 为切线,连接 DN.

∵OP=2t,OC=2, ∴PC=2﹣2t. ∴PD=DC=1﹣t. ∴DM=PM﹣PD=2﹣t﹣(1﹣t)=1. ∵MQ 是圆 D 的切线, ∴DN⊥QM. ∵OB=2,OA=4, ∴tan∠BAO= . ∵QM∥AB, ∴tan∠NMP= . ∴DN= DM= .

19

∴1﹣t=

,解得:t=1



如图 3 所示:设 N 为切线,连接 DN.

∵OP=2t,OC=2, ∴PC=2t﹣2. ∴DC=DP=t﹣1. ∴DM=t﹣1+2﹣t=1. ∴DN= ∴t﹣1= . ,解得:t=1+ . 时,以 PC 为直径的⊙D 与直线 QM 相切.

综上所述,当 t=1﹣

或 t=1+

26.如图,已知抛物线 y=x +bx+c 交 x 轴于点 A(﹣1,0) 、B(2,0) ,交 y 轴于点 C,抛物 线的对称轴交 x 轴于点 H,直线 y=kx(k>0)交抛物线于点 M、N(点 M 在 N 的右侧) ,交抛 物线的对称轴于点 D. (1)求 b 和 c 的值; (2)如图(1) ,若将抛物线 y=x2+bx+c 沿 y 轴方向向上平移 个单位,求证:所得新抛物线 图象均在直线 BC 的上方; (3)如图(2) ,若 MN∥BC. ①连接 CD、BM,判断四边形 CDMB 是否为平行四边形,说明理由; ②以点 D 为圆心,DH 长为半径画圆⊙D,点 P、Q 分别为抛物线和⊙D 上的点,试求线段 PQ 长的最小值.

2

20

【考点】二次函数综合题. 【分析】 (1)把 A、B 两点代入转化为方程组,即可解决问题. (2)由 消去 y 得到 x2﹣2x+ =0 用判别式解决.

(3)根据两点间距离公式,利用配方法转化为二次函数最值问题即可解决. 【解答】解: (1)由题意 ,

解得



所以 b=﹣1,c=﹣2. (2)∵抛物线为 y=(x+1) (x﹣2)=x ﹣x﹣2,沿 y 轴方向向上平移 个单位, ∴新抛物线为 y=x2﹣x﹣ , 设直线 BC 为 y=kx+b,由题意得 解得 , ,
2

所以直线 BC 为 y=x﹣2, 由 消去 y 得到 x2﹣2x+ =0,

∵△=4﹣5=﹣1<0, ∴方程组无解,抛物线与直线 BC 没有交点. (3)①∵MN∥BC, ∴k=1,OM>OB, ∴MN≠BC, ∴四边形 CDMB 不是平行四边形. ②设点 P(m,m2﹣m﹣2) , ∵点 D 坐标为( , ) , ∴PD2=(m﹣ )2+(m2﹣m﹣ )2 =(m﹣ )2+[(m﹣ )2﹣ =(m﹣ )4﹣ (m﹣ )2+ =[(m﹣ )2﹣ ]2+ ∴PD2 的最小值= , , ]2

21

∴PD 的最小值= ∵DQ= ,



∴线段 PQ 的最小值=



22


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