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数学导学案(函数奇偶性)


萧振高中高一数学导学案

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2015-1-1

1.1.2 奇偶性的概念(第一课时)
班级:___________ 姓名:_____________ 学号:_____________ 等第:____________ 学习目标:1.理解函数的奇偶性及其几何意义. 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 3..掌握判断函数奇偶性的方法与步骤. 学习重点:函数奇偶性的概念和几何意义. 学习难点:奇偶性概念的数学化提炼过程. 一、学生预习 【问题导思】 2 考察下列两个函数:(1)f(x)=-x ;(2)f(x)=|x|. 1.这两个函数的图象有何共同特征? 2.对于上述两个函数 ,f(1)与 f(-1),f(2)与 f(-2),f(3)与 f(-3)有什么关系? 3.一般地,若函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,则 f(x)与 f(-x)有什么关系?反之成立吗? (1)定义:对于函数 f(x)定义域内___________,都有___________,那么函数 f(x)叫做偶函数. (2)图象特征:图象关于_________对称. 【问题导思】 1 函数 f(x)=x 及 f(x)= 的图象如图所示.

x

1.两函数图象有何共同特征? 2. 对于上述两个函数 f(1)与 f(-1), f(2)与 f(-2), f(3) 与 f(-3)有什么关系? 3.一般地,若函数 y=f(x)的图象关于原点对称,则 f(x) 与 f(-x)有什么关系?反之成立吗? (1)定义:对于函数 f(x)定义域内__________,都有____________,那么函数 f(x)叫做奇函数. (2)图象特征:图象关于___________对称. 思考:如果一个函数具有奇偶性,那么它的定义域必定关于____________对称 判断函数奇偶性的步骤一般为:_________________________________________________ 判断函数奇偶性的方法你能总结哪些____________________________ 【课前检测】 1、判断下列函数的奇偶性: (1) f (x) ? x
4
f (x) ? x 4

(2) f (x) ? x

5
f (x) ? x5

(3) f (x) ? x +

1 x

f (x) ? x +

1 x

(4) f (x) ?

1 x2

f (x) ?

1 x2

2、下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( A.y=x
3

B.y=|x|+1
2

C.y=-x +1

2

) 2 D.y=-

x

3、若 f(x)=(m-1) x +2mx+3m-3,x ? (a,3) 为偶函数,则实数 m+a=________。

二、例题讲解:
例 1:判断下列函数哪些是偶函数. 2 2 (1)f(x)=x +1; (2)f(x)=x ,x∈[-1,3]; 变式训练一:判断下列函数是否为偶函数. (1)f(x)=(x+1)(x-1); 例 2:判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x ; (4)f(x)=
8

(3)f(x)=0.

(2)f(x)=

x3-x2 . x-1

(2)f(x)=x ; (5)f(x)= x;

3

(3)f(x)=x+

2 ; x
2 2

4 ; x4

(6)f(x)= 1-x + x -1.

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变式训练二:判断下列函数的奇偶性:

4 ? x2 (1) f (x) ? | x ? 3 | ?3
(3) f ? x ? ? | x | ?1 ? 1? | x |

(2) f ? x ? ? ? x ? 1? (4) f ? x ? ? ?

1? x 1? x

?1 ? x ? x ? 0 ? ? ? ?1 ? x ? x ? 0 ?

例 3:如图,给出了偶函数 y=f(x)的局部图象,试比较 f(1)与 f(3)的大小.

【延伸拓展】 例 4:已知函数 y=f(x)的图像关于原点对称,且当 x>0 时, 2x+3,求 f(x)在 R 上的解析式,并画出它的图像,根据图像写出它的单调区间。

f(x)=x

2



三、课堂检测 1.f(x)是定义在 R 上的奇函数,下列结论中,不正确的是( A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=-2f(x)

) D.

C.f(x)·f(-x)≤0

f ( x) =-1 f (? x)

2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) 2 A.y=-x +5(x∈R) B.y=-x 1 3 C.y=x (x∈R) D.y=- (x∈R,x≠0)

x

3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x -x,则 f(1)等于( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 4.对定义在 R 上的函数 f(x),下列判断是否正确?,对打√,错打× 1 .若 f(-2)=f(2),则函数 f(x)是偶函数 ○ ( ) 2 .若 f(-2) ? f(2), 则函数 f(x)不是偶函数 ○ ( ) 3 .若 f(-2)=f(2),则函数 f(x)不是奇函数 ○ ( ) 4 ○.定义在 R 上的奇函数 f(x)的图像必通过点(-1,-f(1)) ( ) 5.偶函数 f(x)的定义域为[t-4,t],则 t=________. 6.函数 f(x)= {

2

x(1 ? x), x ? 0 为________(填“奇函数”或“偶函数”). x(1 ? x), x ? 0

[呈重点、现规律]
1.两个定义:对于 f(x)定义域内的任意一个 x,如果都有 f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0?f(x)为奇函数;如 果都有 f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0?f(x)为偶函数. 2.两个性质:函数为奇函数?它的图象关于原点对称;函数为偶函数?它的图象关于 y 轴对称. 3.函数 y=f(x)与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称;函数 y=f(x)与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称;函 数 y=f(x)与函数 y=-f(-x)的图象关于原点对称.

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1.1.2 奇偶性的概念(第一课时)课后作业
班级:___________ 姓名:_____________ 学号:_____________ 等第:___________ 1.已知 y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则 F(x)是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2.f(x)是定义在 R 上的偶函数,下列结论中正确的是( ) A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=-2f(x) C.f(x)·f(-x) ? 0 D.

f ( x) =1 f (? x)

3.下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定过原点;③偶函数的图 象关于 y 轴对称;④没有一个函数既是奇函数,又是偶函数. 其中正确的命题个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 1 4.函数 f(x)= -x 的图象关于( )

x

A.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称 5.设函数 f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则 a 等于( ) A.1 B.0 C.-1 6.若函数 y=f(x+1)是偶函数,则下列说法不正确 的是( ...

D.-2 )

A.y=f(x)图象关于直线 x=1 对称 B.y=f(x+1)图象关于 y 轴对称 C.必有 f(1+x)=f(-1-x)成立 D.必有 f(1+x)=f(1-x)成立 7.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式 f(x)<0 的解集是__________________. 8. 已知奇函数 f(x)的定义域为 R, 且对于任意实数 x 都有 f(x+4)=f(x), 又 f(1)=4, 那么 f[f(7)] =________. 9.判断下列函数的奇偶性: 4 2 (1)f(x)=3,x∈R; (2)f(x)=5x -4x +7,x∈[-3,3]; (3)f(x)=|2x-1|-|2x+1|; 1-x , x>0, ? ? (4)f(x)=?0, x=0, ? ?x2-1, x<0.
2

x>0 ? x=0 10.已知奇函数 f(x)=?0 ?x +mx x<0
-x +2x
2

2

(1)求实数 m 的值,并在给出的直角坐标系中画出 y=f(x)的图象; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,试确定 a 的取值范围.

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