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集合与常用逻辑用语 1.1


数学(理)

第一章

集合与常用逻辑用语

§1.1 集合的概念与运算

? 基础知识·自主学习 ? 题型分类·深度剖析 ? 思想方法·感悟提高 ? 练出高分

基础知识·自主学习
1.集合与元素

知识梳理

(1)集合元素的三个特征: 确定性 、 互异性 、 无序性 .
(2)元素与集合的关系是 属于 或 不属于 关系,用符号 ∈ 或 ? 表示.

(3)集合的表示法: 列举法 、 描述法 、 图示法 .
(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 N*(或N+) 整数集 有理数集 实数集 Q Z R

符号

N

基础知识·自主学习
2.集合间的基本关系 关系 子集 自然语言 集合A中所有元素都在集 合B中(即若x∈A,则x∈B) 符号语言

知识梳理

Venn图

A?B(或B?A)

集合A是集合B的子集,且
真子集 集合B中至少有一个元素
A? B(或 B? A)

不在集合A中

基础知识·自主学习

知识梳理

集合 集合A,B中元素相同 相等 或集合A,B互为子集

A=B

基础知识·自主学习
3.集合的运算

知识梳理

集合的并集
图形 {x|x∈ 符号 A∪B= A或x∈B}

集合的交集

集合的补集

{x|x∈ A∩B= A且x∈B}

{x|x∈U,且x ? UA = ?A }

基础知识·自主学习
4.集合关系与运算的常用结论

知识梳理

(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集个数为 2n 个,非空

子集个数为 2n-1 个,真子集有 2n-1 个.
(2)A?B?A∩B= A ?A∪B= B .

基础知识·自主学习
? 思考辨析

知识梳理

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( × ) (2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( × ) (3)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)?(A∪B)恒成立.( √ )

基础知识·自主学习

知识梳理

(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( × ) (5)已知集合M={1,2,3,4},N={2,3},则M∩N=N.( √ )

(6)若全集U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<4},则?UP={2}.( √ )

基础知识·自主学习 题号
1

考点自测

答案
A A C
?3 4? ? ? , ?4 3? ? ?

解析

2
3 4

A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},
因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0,f(0)=-1<0,

根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,
则这个整数为2,所以有f(2)≤0且f(3)>0,
3 ? ? ?a≥4, ?4-4a-1≤0, 即? 所以? ? ?9-6a-1>0, ?a<4. ? 3 3 4 即4≤a<3.

题型分类·深度剖析 题型一
例1

集合的基本概念

思维点拨

解析

答案

思维升华

(1)(2013· 江西 ) 若集合 A =

{x∈R|ax2 + ax + 1 = 0} 中只有一 个元素,则a等于( )

A.4
C.0

B.2
D.0或4

题型分类·深度剖析 题型一
例1

集合的基本概念

思维点拨

解析

答案

思维升华

(1)(2013· 江西 ) 若集合 A = 不 要 忽 视集 合 中 元素 的 互异性.

{x∈R|ax2 + ax + 1 = 0} 中只有一 个元素,则a等于( )

A.4
C.0

B.2
D.0或4

题型分类·深度剖析 题型一
例1

集合的基本概念

思维点拨

解析

答案

思维升华

(1)(2013· 江西 ) 若集合 A =

{x∈R|ax2 + ax + 1 = 0} 中只有一 个元素,则a等于( )

当 a = 0 时,方程化为 1 = 0
,无解,集合A为空集,不

A.4
C.0

B.2
D.0或4

符合题意;
当a≠0时,由Δ=a2-4a=

0,解得a=4.

题型分类·深度剖析 题型一
例1

集合的基本概念

思维点拨

解析

答案

思维升华

(1)(2013· 江西 ) 若集合 A =

{x∈R|ax2 + ax + 1 = 0} 中只有一 个元素,则a等于( A )

当 a = 0 时,方程化为 1 = 0
,无解,集合A为空集,不

A.4
C.0

B.2
D.0或4

符合题意;
当a≠0时,由Δ=a2-4a=

0,解得a=4.

题型分类·深度剖析 题型一
例1

集合的基本概念

思维点拨

解析

答案

思维升华

(1)(2013· 江西 ) 若集合 A =

用描述法表示集合,首先要

{x∈R|ax2 + ax + 1 = 0} 中只有一 个元素,则a等于( A )

A.4
C.0

B.2
D.0或4

搞清楚集合中代表元素的含 义,再看元素的限制条件, 明白集合的类型,是数集、 点集还是其他类型集合; 集合中元素的互异性常常容 易忽略,求解问题时要特别 注意 . 分类讨论的思想方法 常用于解决集合问题.

题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 答案 思维升华

例1 (2)设 a,b∈R,集合{1,a
? ? ? b ? ? +b,a}=?0,a,b? ,则 ? ? ?

b-a=

________.

题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 答案 思维升华

例1 (2)设 a,b∈R,集合{1,a
? ? ? b ? ? +b,a}=?0,a,b? ,则 ? ? ?

不 要 忽 视集 合 中 元素 的 互异性.

b-a=

________.

题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 答案 思维升华

例1 (2)设 a,b∈R,集合{1,a
? ? ? b ? ? +b,a}=?0,a,b? ,则 ? ? ?

因 为 {1 , a + b , a} =
? ? b ? ? ?0, ,b?,a≠0, ? a ? ? ?

b-a=

________.

b 所以 a+b=0,得a=-1,

所以a=-1,b=1. 所以b-a=2.

题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 答案 思维升华

例1 (2)设 a,b∈R,集合{1,a
? ? ? b ? ? +b,a}=?0,a,b? ,则 ? ? ?

因 为 {1 , a + b , a} =
? ? b ? ? ?0, ,b?,a≠0, ? a ? ? ?

b-a=

2 ________.

b 所以 a+b=0,得a=-1,

所以a=-1,b=1. 所以b-a=2.

题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 答案 思维升华

例1 (2)设 a,b∈R,集合{1,a
? ? ? b ? ? +b,a}=?0,a,b? ,则 ? ? ?

用描述法表示集合,首先要

b-a=

2 ________.

搞清楚集合中代表元素的含 义,再看元素的限制条件, 明白集合的类型,是数集、 点集还是其他类型集合; 集合中元素的互异性常常容 易忽略,求解问题时要特别 注意 . 分类讨论的思想方法 常用于解决集合问题.

题型分类·深度剖析
跟踪训练1 A.3 (1)设集合A ={1,2,3},B ={4,5},M={x|x=a +b,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为( B ) B.4 C.5 D.6 解析 因为集合M中的元素x=a+b,a∈A,b∈B, 所以当b=4时,a=1,2,3,此时x=5,6,7. 当b=5时,a=1,2,3,此时x=6,7,8. 所以根据集合元素的互异性可知,x=5,6,7,8. 即M={5,6,7,8},共有4个元素.

题型分类·深度剖析
(2) 已 知 集 合 A = {m + 2,2m2 + m} , 若 3∈A , 则 m 的 值 为 ________. 解析 因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3. 当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,

此时集合A中有重复元素3,
所以m=1不符合题意,舍去;

题型分类·深度剖析
(2) 已 知 集 合 A = {m + 2,2m2 + m} , 若 3∈A , 则 m 的 值 为
3 -2 ________.
2

3 当 2m +m=3 时,解得 m=-2或 m=1(舍去),

3 1 3 此时当 m=-2时,m+2=2≠3 符合题意,所以 m=-2.

题型分类·深度剖析 题型二
例2

集合间的基本关系

解析

答案

思维升华

(1) 已知集合 A = {x|x2 - 3x

+2=0,x∈R},B={x|0<x<5, x∈N},则满足条件A?C?B的集 合C的个数为( A.1 ) B.2

C.3

D.4

题型分类·深度剖析 题型二
例2

集合间的基本关系

解析

答案

思维升华

(1) 已知集合 A = {x|x2 - 3x 由x2-3x+2=0得A={1,2}. +2=0,x∈R},B={x|0<x<5, 又B={1,2,3,4}. x∈N},则满足条件A?C?B的集 ∴ 满 足 A?C?B 的 集 合 C 可 合C的个数为( ) 以 是 {1,2} , {1,2,3} , A.1 B.2

C.3

D.4

{1,2,4},{1,2,3,4}共4个.

题型分类·深度剖析 题型二
例2

集合间的基本关系

解析

答案

思维升华

(1) 已知集合 A = {x|x2 - 3x 由x2-3x+2=0得A={1,2}. +2=0,x∈R},B={x|0<x<5, 又B={1,2,3,4}. x∈N},则满足条件A?C?B的集 ∴ 满 足 A?C?B 的 集 合 C 可 合C的个数为( D ) 以 是 {1,2} , {1,2,3} , A.1 B.2

C.3

D.4

{1,2,4},{1,2,3,4}共4个.

题型分类·深度剖析 题型二
例2

集合间的基本关系

解析

答案

思维升华

(1) 已知集合 A = {x|x2 - 3x

(1)空集是任何集合的子集,在 涉及集合关系时,必须优先考虑

+2=0,x∈R},B={x|0<x<5, 空集的情况,否则会造成漏解; x∈N},则满足条件A?C?B的集 (2)已知两个集合间的关系求参 合C的个数为( D ) A.1 B.2

数时,关键是将条件转化为元素

或区间端点间的关系,进而转化
为参数所满足的关系.常用数轴

C.3

D.4

、Venn图来直观解决这类问题.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例2

(2) 已 知 集 合 A = {x| -

2≤x≤7} , B = {x|m + 1<x<2m - 1}, 若 B?A ,则实数 m 的取值范围 是________.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例2

(2) 已 知 集 合 A = {x| - 当B=?时,有m+1≥2m-1,

2≤x≤7} , B = {x|m + 1<x<2m - 则m≤2. 1}, 若 B?A ,则实数 m 的取值范围 是________. 当B≠?时,若B?A,如图.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例2

?m+1≥-2 ? 2≤x≤7} , B = {x|m + 1<x<2m - 则?2m-1≤7 ? ?m+1<2m-1 1}, 若 B?A ,则实数 m 的取值范围

(2) 已 知 集 合 A = {x| -



是________.

解得2<m≤4. 综上,m的取值范围为m≤4.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例2

?m+1≥-2 ? 2≤x≤7} , B = {x|m + 1<x<2m - 则?2m-1≤7 ? ?m+1<2m-1 1}, 若 B?A ,则实数 m 的取值范围 (-∞,4]

(2) 已 知 集 合 A = {x| -



是________.

解得2<m≤4. 综上,m的取值范围为m≤4.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例2

(2) 已 知 集 合 A = {x| -

(1)空集是任何集合的子集,在 涉及集合关系时,必须优先考虑

2≤x≤7} , B = {x|m + 1<x<2m - 空集的情况,否则会造成漏解; 1}, 若 B?A ,则实数 m 的取值范围 (-∞,4] (2)已知两个集合间的关系求参 是________.

数时,关键是将条件转化为元素

或区间端点间的关系,进而转化
为参数所满足的关系.常用数轴

、Venn图来直观解决这类问题.

题型分类·深度剖析
跟踪训练2 (1)设M为非空的数集,M?{1,2,3},且M中

至少含有一个奇数元素,则这样的集合M共有( A ) A.6个 B.5个 C.4个 D.3个

解析 集合{1,2,3}的所有子集共有23=8(个), 集合{2}的所有子集共有2个,

故满足要求的集合M共有8-2=6(个).

题型分类·深度剖析
(2) 已知集合 A = {x|y = lg(x - x2)} , B = {x|x2 - cx<0 , c>0} , 若A?B,则实数c的取值范围是( B ) A.(0,1] C.(0,1) B.[1,+∞) D.(1,+∞)

解析 A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1), B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c), 因为A?B,画出数轴,如图所示, 得c≥1.

题型分类·深度剖析 题型三
例3

集合的基本运算

解析

答案

思维升华

(1)(2014· 辽宁 ) 已知全集 U

=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1} ,则集合?U(A∪B)等于( )

A.{x|x≥0}
C.{x|0≤x≤1}

B.{x|x≤1}
D.{x|0<x<1}

题型分类·深度剖析 题型三
例3

集合的基本运算

解析

答案

思维升华

(1)(2014· 辽宁 ) 已知全集 U

∵A={x|x≤0},B={x|x≥1}, ∴A∪B={x|x≤0或x≥1}, 在数轴上表示如图.

=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1} ,则集合?U(A∪B)等于( )

A.{x|x≥0}
C.{x|0≤x≤1}

B.{x|x≤1}
D.{x|0<x<1} ∴?U(A∪B)={x|0<x<1}.

题型分类·深度剖析 题型三
例3

集合的基本运算

解析

答案

思维升华

(1)(2014· 辽宁 ) 已知全集 U

∵A={x|x≤0},B={x|x≥1}, ∴A∪B={x|x≤0或x≥1}, 在数轴上表示如图.

=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1} ,则集合?U(A∪B)等于D ( )

A.{x|x≥0}
C.{x|0≤x≤1}

B.{x|x≤1}
D.{x|0<x<1} ∴?U(A∪B)={x|0<x<1}.

题型分类·深度剖析 题型三
例3

集合的基本运算

解析

答案

思维升华

(1)(2014· 辽宁 ) 已知全集 U

一般来讲,集合中的元素若
是离散的,则用Venn图表示

=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1} ,则集合?U(A∪B)等于D ( )

;集合中的元素若是连续的
实数,则用数轴表示,此时

A.{x|x≥0}
C.{x|0≤x≤1}

B.{x|x≤1}
D.{x|0<x<1}

要注意端点的情况.
运算过程中要注意集合间的

特殊关系的使用,灵活使用
这些关系,会使运算简化.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例3

(2) 设 U = R , 集 合 A =

{x|x2 + 3x + 2 = 0} , B = {x|x2 +

(m+ 1)x+m= 0}.若 (? UA)∩B =
?,则m的值是________.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例3

(2) 设 U = R , 集 合 A =

A={-2,-1}, 由(?UA)∩B=?,得B?A, ∵方程x2+(m+1)x+m=0 的判别式 Δ = (m + 1)2 - 4m =(m-1)2≥0,∴B≠?.

{x|x2 + 3x + 2 = 0} , B = {x|x2 +

(m+ 1)x+m= 0}.若 (? UA)∩B =
?,则m的值是________.

∴B={-1}或B={-2}或
B={-1,-2}.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例3

(2) 设 U = R , 集 合 A =

①若B={-1},则m=1;

{x|x2 + 3x + 2 = 0} , B = {x|x2 +

②若B={-2},
则应有-(m+1)=(-2)+

(m+ 1)x+m= 0}.若 (? UA)∩B =
?,则m的值是________.

(-2)=-4,
且 m = ( - 2)×( - 2) = 4 , 这两式不能同时成立, ∴B≠{-2};

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例3

(2) 设 U = R , 集 合 A =

③若B={-1,-2},

{x|x2 + 3x + 2 = 0} , B = {x|x2 +

则应有-(m+1)=(-1)+
(-2)=-3,

(m+ 1)x+m= 0}.若 (? UA)∩B =
?,则m的值是________.

且 m = ( - 1)×( - 2) = 2 ,
由这两式得m=2. 经检验知 m = 1 和 m = 2 符 合条件.∴m=1或2.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例3

(2) 设 U = R , 集 合 A =

③若B={-1,-2},

{x|x2 + 3x + 2 = 0} , B = {x|x2 +

则应有-(m+1)=(-1)+
(-2)=-3,

(m+ 1)x+m= 0}.若 (? UA)∩B =
1或2 ?,则m的值是________.

且 m = ( - 1)×( - 2) = 2 ,
由这两式得m=2. 经检验知 m = 1 和 m = 2 符 合条件.∴m=1或2.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例3

(2) 设 U = R , 集 合 A =

一般来讲,集合中的元素若
是离散的,则用Venn图表示

{x|x2 + 3x + 2 = 0} , B = {x|x2 +

(m+ 1)x+m= 0}.若 (? UA)∩B =
1或2 ?,则m的值是________.

;集合中的元素若是连续的
实数,则用数轴表示,此时

要注意端点的情况.
运算过程中要注意集合间的

特殊关系的使用,灵活使用
这些关系,会使运算简化.

题型分类·深度剖析
跟踪训练3 A.?
解析

(1)(2014· 浙江)设全集U={x∈N|x≥2},集

合A={x∈N|x2≥5},则?UA等于( B )
B.{2} C.{5} D.{2,5}

因为 A={x∈N|x≤- 5或 x≥ 5},

所以?UA={x∈N|2≤x< 5},故?UA={2}.

题型分类·深度剖析
(2) 设集合 M = {x| - 1≤x<2} , N = {y|y<a} ,若 M∩N≠ ?

,则实数a的取值范围一定是(D
A.-1≤a<2 C.a≥-1 解析 如 ,图只要a>-1即可. B.a≤2 D.a>-1

)

∵M = {x| - 1≤x<2} , N = {y|y<a} ,且 M∩N≠ ?

题型分类·深度剖析 题型四 集合中的新定义问题
例4 若集合A具有以下性质: (Ⅰ)0∈A,1∈A; (Ⅱ)若x∈A,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时, ∈A. 则称集合A是“好集”.下列命题正确的个数是( (1)集合B={-1,0,1}是“好集”; (2)有理数集Q是“好集”; )

1 x

(3)设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x+y∈A.
A.0 B.1 C.2 D.3

题型分类·深度剖析 题型四 集合中的新定义问题
例4 若集合A具有以下性质: (Ⅰ)0∈A,1∈A; (Ⅱ)若x∈A,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时, ∈A. 则称集合A是“好集”.下列命题正确的个数是( (2)有理数集Q是“好集”; ) (1) 集合B ={ -1,0,1} 是“ ” ; 解析 (1) 集合 B不是 “好集 好集 ” ,假设集合B是“好集”,

1 x

(3)设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x+y∈A.
A.0

因为-1∈B,1∈B,
B.1

所以-1-1=-2∈B,这与-2?B矛盾.
C.2

D.3

题型分类·深度剖析 题型四 集合中的新定义问题
例4 若集合A具有以下性质: (Ⅰ)0∈A,1∈A; (Ⅱ)若x∈A,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时, ∈A. 则称集合A是“好集”.下列命题正确的个数是( ) (1) B={Q - 1,0,1} 是“ 好集 (2)集合 有理数集 是 “好集 ” , ”; (2)有理数集Q是“好集”; 因为0∈Q,1∈Q,对任意的x∈Q,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时, (3) 1 设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x+y∈A. ∈Q,所以有理数集Q是“好集”. x A.0 B.1 C.2 D.3

1 x

题型分类·深度剖析 题型四 集合中的新定义问题
例4 若集合A具有以下性质: (Ⅰ)0∈A,1∈A; (Ⅱ)若x∈A,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时, ∈A. 则称集合A是“好集”.下列命题正确的个数是( C ) (1)集合B={-1,0,1}是“好集”; (3)因为集合A是“好集”,所以0∈A,若x∈A,y∈A, (2)有理数集Q是“好集”; 则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A. (3)设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x+y∈A. A.0 B.1 C.2 D.3

1 x

题型分类·深度剖析 思维升华
解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: (1)紧扣新 定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本 质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解 新定义型集合问题难点的关键所在; (2)用好集合的性质.解

题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,
在关键之处用好集合的运算与性质.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 4 等于( ) 设U为全集,对集合X, Y,定义运算 “?”,

满足X?Y=(?UX)∪Y,则对于任意集合X,Y,Z,X?(Y?Z) A.(X∪Y)∪(?UZ) B.(X∩Y)∪(?UZ) C.[(?UX)∪(?UY)]∩Z

D.(?UX)∪(?UY)∪Z

题型分类·深度剖析
解析 因为X?Y=(?UX)∪Y, 所以Y?Z=(?UY)∪Z,

所以X?(Y?Z)=(?UX)∪(Y?Z)
=(?UX)∪(?UY)∪Z,故选D. 答案 D

题型分类·深度剖析 易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, x∈R}.若B?A,则实数a的取值范围是________________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析 易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, x∈R}.若B?A,则实数a的取值范围是________________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

集合B为方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的实数根所构成的集 合,由B?A,可知集合B中的元素都在集合A中,在解题中 容易忽视方程无解,即B=?的情况,导致漏解.

题型分类·深度剖析 易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, x∈R}.若B?A,则实数a的取值范围是________________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

解析 因为A={0,-4},所以B?A分以下三种情况:

①当B=A时,B={0,-4},由此知0和-4是方程x2+2(a
+1)x+a2-1=0的两个根,

由根与系数的关系,得

题型分类·深度剖析 易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, x∈R}.若B?A,则实数a的取值范围是________________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

?Δ=4?a+1?2-4?a2-1?>0, ? ?-2?a+1?=-4, ? 2 ?a -1=0,

解得 a=1;

题型分类·深度剖析 易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, x∈R}.若B?A,则实数a的取值范围是________________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

②当B≠?且B?A时,B={0}或B={-4},

并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,
解得a=-1,此时B={0}满足题意;

题型分类·深度剖析 易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, (-∞,-1]∪{1} x∈R}.若B?A,则实数a的取值范围是________________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

③当B=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1. 综上所述,所求实数a的取值范围是a≤-1或a=1.

题型分类·深度剖析 易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, (-∞,-1]∪{1} x∈R}.若B?A,则实数a的取值范围是________________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容 .解答 此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征

.

题型分类·深度剖析 易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, (-∞,-1]∪{1} x∈R}.若B?A,则实数a的取值范围是________________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

(2)已知集合B,若已知A?B或A∩B=?,则考生很容易忽
视A=?而造成漏解.在解题过程中应根据集合A分三种情况 进行讨论.

思想方法·感悟提高
1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性




在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语
言与文字语言之间的相互转化. 2. 对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合 理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取 值范围时,要注意单独考察等号能否取到. 3. 对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可






借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.

思想方法·感悟提高
1.解题中要明确集合中元素的特征,关注集合的代表




元素(集合是点集、数集还是图形集). 2. 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集




,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 3. 解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属
关系;二是集合与集合的包含关系. 4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补 运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意 端点是实心还是空心.



练出高分
1
2 3 4

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5

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6 7 8 9 10 11 12

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1.下列集合中表示同一集合的是( A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2}

)

C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}

D.M={2,3},N={(2,3)}

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解析

选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集,

集合N表示由点 (2,3)所组成的单点集,故集合M与N不是
同一个集合.

选项 C 中的集合 M 表示由直线 x + y = 1 上的所有点组成的
集合,集合N表示由直线x+y=1上的所有点的纵坐标组 成的集合,即 N = {y|x + y = 1} = R ,故集合 M 与 N 不是同 一个集合.

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选项D中的集合M是数集,而集合N是点集,故集合M与N 不是同一个集合. 对选项 B ,由集合元素的无序性,可知 M , N 表示同一个 集合. 答案 B

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2.(2014· 课标全国 Ⅱ) 设集合 M = {0,1,2} , N = {x|x2 - 3x + 2≤0},则M∩N等于( D ) A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2}

解析 由x2-3x+2=(x-1)(x-2)≤0,

解得1≤x≤2,故N={x|1≤x≤2},∴M∩N={1,2}.

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3.已知全集S={1,2,a2-2a+3},A={1,a},?SA={3},

则实数a等于( D )
A.0或2
解析

B.0

C.1或2

D.2

?a=2, 由题意,知? 2 则 a=2. ?a -2a+3=3,

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4.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的
子集共有( B ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5}, ∴M∩N={1,3}. ∴M∩N的子集共有22=4个.

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5.(2013· 辽宁)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2}, 则A∩B等于( D )

A.(0,1)

B.(0,2]

C.(1,2)

D.(1,2]

解析 A={x|1<x<4},B={x|x≤2}, ∴A∩B={x|1<x≤2}.

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6.设全集U为整数集,集合A={x∈N|y= 7x-x2-6 的真子集的个数为( )

}

,B={x∈Z|-1<x≤3},则下图中阴影部分表示的集合

A.3
解析

B.4
因为A={x∈N|y=

C.7
7x-x2-6

D.8
}={x∈N|7x-x2-

6≥0}={x∈N|1≤x≤6},

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由题意知,图中阴影部分表示的集合为A∩B={1,2,3},
所以其真子集有:?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3} ,共7个.

答案 C

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A( 7. 已 知 集合 A = {x|x>1} , B = {x|x2 - 2x<0} , 则 A∪B 等 于
) A.{x|x>0} B.{x|x>1}

C.{ x|1<由 x<2} D.{ x|0<x<2} 解析 x2-2x<0,得0<x <2,

∴B={x|0<x<2},
故A∪B={x|x>0}.

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8.已知集合A={x|-1<x<0},B={x|x≤a},若A?B,则a的 取值范围为( B ) A.(-∞,0] C.(-∞,0) B.[0,+∞) D.(0,+∞)

解析 用数轴表示集合 A,B(如图) 由A?B得a≥0.

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9.(2014· 重庆 ) 设全集 U = {n∈N|1≤n≤10} , A = {1,2,3,5,8}

{7,9} ,B={1,3,5,7,9},则(?UA)∩B= ________.
解析 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},画出Venn图, 如图所示,阴影部分就是所要求的集合, 即(?UA)∩B={7,9}.

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10.已知全集U=R,集合A={x∈Z|y= x-3},B={x|x>5} {3,4,5} ,则A∩(?UB)= ________. 解析 ∵A={x∈Z|x≥3},?UB={x|x≤5},

∴A∩(?UB)={3,4,5}.

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11.已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+

{(0,1),(-1,2)} y-1=0,x,y∈Z},则A∩B=______________.
解析 A、B都表示点集,A∩B即是由A中在直线x+y-1

=0上的所有点组成的集合,代入验证即可.

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12. 已知集合 A = {x|1≤x<5} , C = {x| - a<x≤a + 3}. 若 C∩A (-∞,-1] =C,则a的取值范围是____________. 解析 因为C∩A=C,所以C?A.

3 ①当 C=?时,满足 C?A,此时-a≥a+3,得 a≤-2; ?-a<a+3, ? 3 ②当 C≠?时,要使 C?A,则?-a≥1, 解得-2<a≤-1. ? ?a+3<5, 综上,a的取值范围是(-∞,-1].

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13

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14

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15

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17

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13. 设集合 A = {1,2,3,4,5,6} , B = {4,5,6,7,8} ,则满足 S?A 且S∩B≠?的集合S的个数是( B ) A.57 B.56 C.49 D.8

解析 集合S的个数为26-23=64-8=56.

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14.(2014· 山 东 ) 设 集 合 A = {x||x - 1|<2} , B = {y|y = 2x , x∈[0,2]},则A∩B等于( C ) A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4)

解析 由|x-1|<2,解得-1<x<3,
由y=2x,x∈[0,2],解得1≤y≤4,

∴A∩B=(-1,3)∩[1,4]=[1,3).

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15.(2013· 福建)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个
从S到T的函数 y=f(x)满足:(1)T={f(x)|x∈S};(2)对任意x1

, x2∈S ,当 x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2). 那么称这两个集合 “
保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( A.A=N*,B=N B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0<x≤10} C.A={x|0<x<1},B=R D.A=Z,B=Q )

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解析

对选项A,取f(x)=x-1,x∈N*,所以A=N*,B=N

是“保序同构”的,应排除A;
?-8,x=-1, ? 对选项 B,取 f(x)=?x+1,-1<x≤0, ? 2 ?x +1,0<x≤3,

所以A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0<x≤10}是“保序
同构”的,应排除B;

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π 对 选 项 C , 取 f(x) = tan(πx - )(0<x<1) , 所 以 A = 2

{x|0<x<1},B=R是“保序同构”的,应排除C.选D. 答案 D

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16.若集合A={x|x2-9x<0,x∈N*},B={y| 中元素个数为 3 .

4 ∈N*},则A∩B y

解析 由A得x2-9x<0,x∈N*,所以0<x<9,且x∈N*,得A ={1,2,3,4,5,6,7,8},

4 由 B 得 ∈N* ,即 y = 1 、 2 、 4 ,得 B = {1,2,4} ,故 A∩B = y {1,2,4}.

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17. 若 x , y∈R , A = {(x , y)|(x + 1)2 + y2 = 2} , B = {(x , y)|x +y+a=0},当A∩B≠?时,则实数a的取值范围是 ______ ; 当 A∩B = ? 时 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

解析 观察得集合A表示的是以(-1,0)为圆心, 2 为半径的 __________________.
圆上的点, B 表示的是直线 x + y + a = 0 上的点,若满足

A∩B≠?,只需直线与圆相切或相交,

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|a-1| 即满足不等式 ≤ 2,|a-1|≤2,-2≤a-1≤2, 2

即-1≤a≤3;
若满足A∩B=?时,只需直线与圆相离,
|a-1| 即满足不等式 > 2,即 a<-1 或 a>3. 2

答案 [-1,3] (-∞,-1)∪(3,+∞)

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18. 已知集合 A = {(x , y)|y = a} , B = {(x , y)|y = bx + 1 , b>0

,b≠1},若集合A∩B只有一个真子集,则实数a的取值范 (1,+ ∞) 围是 ________. 解析 由于集合 B中的元素是指数函数 y=bx 的图象向上平
移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点,

要使集合A∩B只有一个真子集,那么y=bx+1(b>0,b≠1)
与y=a的图象只能有一个交点,

所以实数a的取值范围是(1,+∞).

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