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二元一次方程组提高题归纳


二元一次方程组 类型总结(提高题)
类型一:二元一次方程的概念及求解
例(1) .已知(a-2)x-by
|a|-1

=5 是关于 x、y 的二元一次方程,则 a=______,b=_____.

(2) .二元一次方程 3x+2y=15 的正整数解为_______________.

类型二:二元一次方程组的求解
例(3) .若|2a+3b-7|与(2a+5b-1) 互为相反数,则 a=______,b=______. (4) .2x-3y=4x-y=5 的解为_______________.
2

类型三:已知方程组的解,而求待定系数。
?3m x ? 2 y ? 1 ? x ? -2 2 2 例(5) .已知 ? 是方程组 ? 的解,则 m -n 的值为_________. ?4 x ? ny ? 7 ? 2 ?y ? 1
3x ? 2 y ? 4 (6) .若满足方程组 ? 的 x、y 的值相等,则 k=_______. ? ?kx ? (2k ? 1) y ? 6

练习:若方程组 ?

?2 x ? y ? 3 的解互为相反数,则 k 的值为 ?2kx ? (k ? 1) y ? 10



?3x ? 4 y ? 2 ? a ? ? x ? by ? 4 若方程组 ? 与 ?3 有相同的解,则 a= b ax ? y ? 5 ? ? 2 ? ?2 x ? y ? 5

,b=



类型四:涉及三个未知数的方程,求出相关量。设“比例系数”是解有关数量比的问题的常 用方法.
例(7) .已知

a b c 1 = = ,且 a+b-c= ,则 a=_______,b=_______,c=_______. 2 3 4 12

?x ? 3 y ? 2 (8) .解方程组 ? ?3 y ? z ? 4 ,得 x=______,y=______,z=______. ? z ? 3x ? 6 ?

练习:若 2a+5b+4c=0,3a+b-7c=0,则 a+b-c = 由方程组 ?

。 ) C、1∶(-2)∶1 D、1∶2∶(-1)

? x ? 2 y ? 3z ? 0 可得,x∶y∶z 是( ?2 x ? 3 y ? 4 z ? 0
B、1∶(-2)∶(-1)

A、1∶2∶1

说明:解方程组时,可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数,再根据比例的性质求解. 当方程组未知数的个数多于方程的个数时,把其中一个未知数看作已知常数来解方程组。
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类型五:列方程组求待定字母系数是常用的解题方法.

?x ? 1 ?x ? 0 ? 例(9) .若 ? ,? 1 都是关于 x、y 的方程|a|x+by=6 的解,则 a+b 的值为 ? y ? ?2 ? y ? 3 ?
(10) .关于 x,y 的二元一次方程 ax+b=y 的两个解是 ?

?x ? 1 ?x ? 2 ,? ,则这个二元一次方程是 ? y ? ?1 ? y ? 1

练习:如果 ?

? x ? ?1 ?ax ? by ? 0 是方程组 ? 的解,那么,下列各式中成立的是 ( ?y ? 2 ?bx ? cy ? 1
B、4a+c=2 C、a+4c+2=0



A、a+4c=2

D、4a+c+2=0

类型六:方程组有解的情况。 (方程组有唯一解、无解或无数解的情况)
方程组 ?

?a1 x ? b1 y ? c1 满足 ?a2 x ? b2 y ? c2
满足 满足

条件时,有唯一解; 条件时,有无数解; 条件时,有无解。

例(11) .关于 x、y 的二元一次方程组 ?

?2 x ? y ? 1 没有解时,m ?m x? 3 y ? 2
,n= 。

(12)二元一次方程组 ?

?2 x ? y ? m 有无数解,则 m= ? x ? ny ? ?3

类型七:解方程组
5 ?x ? y 3 ? y? ? ? 2 2 2 例(13) .? 3 ? x ? 2y ? 0. ? ?2

?2( x ? 150) ? 5(3 y ? 50) ? (14) .? 8.5 10% x ? 60% y ? ? 800 ? 100 ?

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?x ? y x ? y ? ?1 ? (15) .? 2 5 ? ?3( x ? y ) ? 2( x ? y ) ? 6 .

(16) .?

?x ? y ? 4z ? 5 ? y ? z ? 4 x ? ?1 ?z ? x ? 4 y ? 4 . ?

类型八:解答题
例(17) .已知 ?

? x ? 4 y ? 3z ? 0 3x 2 ? 2 xy ? z 2 ,xyz ≠0,求 的值. x2 ? y 2 ?4 x ? 5 y ? 2 z ? 0

(18) .甲、乙两人解方程组 ?

?4 x ? by ? ?1 ?x ? 2 ,甲因看错 a,解得 ? ,乙将其中一个方程的 b 写成 ?ax ? by ? 5 ?y ? 3

了它的相反数,解得 ?

? x ? ?1 ,求 a、b 的值. ? y ? ?2

练习:甲、乙两人共同解方程组 ?

?ax ? 5 y ? 15  ① ?4 x ? by ? ?2  ②

,由于甲看错了方程①中的 a ,得到方程组的解为
2005

? x ? ?3 ?x ? 5 ? 1 ? ;乙看错了方程②中的 b ,得到方程组的解为 ? 。试计算 a 2004 ? ? ? b? ? ? 10 ? ?y ? 4 ? y ? ?1

的值.

(19) .已知满足方程 2 x-3 y=m-4 与 3 x+4 y=m+5 的 x,y 也满足方程 2x+3y=3m-8,求 m 的值.
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(20) .当 x=1,3,-2 时,代数式 ax +bx+c 的值分别为 2,0,20,求: (1)a、b、c 的值; (2)当 x=-2 时,ax +bx+c 的值.
2

2

类型九:列方程组解应用题
(21) .有一个三位整数,将左边的数字移到右边,则比原来的数小 45;又知百位上的数的 9 倍比由十位 上的数与个位上的数组成的两位数小 3.求原来的数.

(22) .某人买了 4 000 元融资券,一种是一年期,年利率为 9%,另一种是两年期,年利率是 12%,分别 在一年和两年到期时取出,共得利息 780 元.两种融资券各买了多少?

(23) .汽车从 A 地开往 B 地,如果在原计划时间的前一半时间每小时驶 40 千米,而后一半时间由每小 时行驶 50 千米,可按时到达.但汽车以每小时 40 千米的速度行至离 AB 中点还差 40 千米时发生
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故障,停车半小时后,又以每小时 55 千米的速度前进,结果仍按时到达 B 地.求 AB 两地的距离 及原计划行驶的时间.

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