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【优化指导】2015年高中数学 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件 新人教A版必修4_图文

第一章 三角函数

1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

1.了解正弦函数、余弦函数的图象.(重点、易混点)

2.会用“五点法”画出正、余弦函数的图象.(重点)
3.能利用正、余弦函数的图象解简单问题.(难点)

正弦函数、余弦函数的图象

函数

y=sin x

y=cos x

图象

图象 画法
? ?

五点法
?π (0,0) (π ,0) , ______,? ,1? ______ ?, ? ? ? ?

五点法
?π (0,1) (π,-1) ______,? ,0? ?,__________, ? ?

关键 五点

2

2

? ? ? ?

? 3π ? (2π,0) ,- 1 ?,______ 2 ?

? ? ? ?

3π ? ? (2π,1) , 0 ?,______ 2 ?

想一想 利用五点法作出 y=sin(-x)的图象,“五点”应取哪几 个?

π 3π 提示:分别令-x=0,2,π, 2 ,2π,求出相应的纵坐标

即得“五点”.

1.y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈R的图象间的关系
(1)函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象是函数y=sin x,x∈R的 图象的一部分. (2) 因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y = sin x , x∈[2kπ, 2(k + 1)π] , k∈Z且 k≠0 的图象与函数 y = sin x,x∈[0,2π]的图象形状完全一致.因此将y=sin x,x∈[0,2π] 的图象向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)就可得到 函数y=sin x,x∈R 的图象.

2 .“ 几何法 ” 和 “ 五点法 ” 画正、余弦函数图象的优缺 点 (1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、 余弦函数图象的方法.该方法作图较精确,但较为繁琐. (2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法,在要求精确 度不高的情况下常用此法,要切实掌握好.另外与五点法作图 有关的问题有时出现在高考试题中.

正、余弦函数的图象
(1)下列叙述正确的有( ) ①y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)成中心对称;

②y=cos x,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π成轴对称;
③正、余弦函数的图象不超过直线 y=1和y=-1所夹的范 围. A.0个 C.2个 B.1个 D.3个

(2)对于余弦函数y=cos x的图象,有以下三项描述: ①向左、向右无限延伸; ②与x轴有无数多个交点; ③与y=sin x的图象形状一样,只是位置不同. 其中正确的有( A.0个 C.2个 ) B.1个 D.3个

思路点拨:解答本题可结合正弦曲线和余弦曲线来分析.

解析: (1) 分别画出函数 y = sin x , x∈[0,2π] 和 y = cos x , x∈[0,2π]的图象,由图象观察可知①②③均正确. (2)如图所示为y=cos x的图象.

可知三项描述均正确.

答案:(1)D (2)D

解决正、余弦函数图象的注意点 对于正、余弦函数的图象问题,要画出正确的正弦曲线、 余弦曲线,掌握两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不 同,可以通过相互平移得到.

1.关于三角函数的图象,有下列说法:
①y=sin |x|与y=sin x的图象关于y轴对称; ②y=cos(-x)与y=cos |x|的图象相同; ③y=|sin x|与y=sin(-x)的图象关于x轴对称; ④y=cos x与y=cos(-x)的图象关于y轴对称. 其中正确的序号是________.

解析:对②,y=cos(-x)=cos x,y=cos |x|=cos x,故其 图象相同;对④, y = cos( - x) = cos x ,故其图象关于 y 轴对 称,由作图可知①③均不正确. 答案:②④

用“五点法”作三角函数图象
用“五点法”作出下列函数的简图: (1)y=-sin x(0≤x≤2π); (2)y=1+cos x(0≤x≤2π).
思路点拨: 列表 → 描点 → 连线成图

解:利用“五点法”作图. (1)列表:

x sin x -sin x

0 0 0

π 2 1 -1

π 0 0

3π 2 -1 1

2π 0 0

描点作图,如图.

(2)列表:

x cos x 1+cos x
描点作图,如图.

0 1 2

π 2 0 1

π -1 0

3π 2 0 1

2π 1 2

“五点法”作图的步骤

作形如 y = asin x + b( 或 y = acos x + b) , x∈[0,2π] 的图象
时,可由“五点法”作出,其步骤如下:
π 3 (1)列表.取 x=0,2,π,2π,2π. (2)描点. (3)连线.用平滑的曲线将各点连接成图.

2.求作函数y=-2cos x+3在一个周期内的图象.并求函
数的最大值及取得最大值时x的值. 解:列表:

x -2cos x y=-2cos x+3

0 -2 1

π 2 0 3

π 2 5

3π 2 0 3

2π -2 1

描点、连线得出函数 y =- 2cos x + 3 在一个周期内的图 象:

由图可得,当x=2kπ+π,k∈Z时, 函数取得最大值,ymax=5.

求函数的定义域问题
求 y= 2sin x-1的定义域、值域.

思路点拨: 构造三角不等式 → 画函数图象 → 求函数定义域

1 解:由 2sin x-1≥0 得 sin x≥2,画出 y=sin x 的图象.

1 可知 sin x≥2的解集为
? ? ?π 5π ?x? +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z 6 ? ? ?6 ? ? ?,即为定义域. ? ?

1 由定义域得2≤sin x≤1, ∴0≤ 2sin x-1≤1,即值域为{y|0≤y≤1}.

1.用三角函数的图象解sin x>a(或cos x>a)的

方法
(1)作出直线y=a(或x=a),作出y=sin x(或y=cos x)的图 象. (2)确定sin x=a(或cos x=a)的x值. (3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集.

2.利用三角函数线解sin x>a(或cos x>a)的方法
(1)找出使sin x=a(或cos x=a)的两个x值的终边所在的位 置. (2)根据变化趋势,确定不等式的解集.

【互动探究】 你能用三角函数线求出本题函数的定义域吗?
1 解:易知 sin x≥2,如图,

所以定义域是
? ? ?π 5π ?x? +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z 6 ? ? ?6 ? ? ?. ? ?

思想方法系列(二) 数形结合思想在三角函数 图象中的应用
方程lg x=sin x的解的个数为( A.0 C.2 B.1 D.3 )

解析:作出函数 y=lg x 与 y=sin x 的图象,如图所示,当 5 5 5 9 9 x=2π 时,y=lg 2π<1,y=sin 2π=1;当 x=2π 时,y=lg 2π >1,y=lg x 与 y=sin x 无交点.如下图所示,由图知有三个交 点,∴方程有三个解.

答案:D

【特别关注】 函数图象的应用主要是数形结合思想的应 用,数形结合是重要的数学思想,它能够把抽象的数学式子转 化为形象的直观图形.平时解题时要注意运用.

【即时演练】 若函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点,求k的取值范围.

? ?3sin x 解:f(x)=? ? ?-sin x

?0≤x≤π?, ?π<x≤2π?.

画出图象如下图,由图象可知 1<k<3.