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陕西师范大学附属中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学(理)试题


陕西师大附中 2013—2014 学年度第二学期 期中考试高二年级数学(理科)试题
命题人:张锦川
1.命题“若 ? ? A.若 ? ?

审题人:李涛


一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分)

?
4

,则 tan ? ? 1 ”的逆否命题是( B.若 ? ?

?
4

,则 tan ? ? 1

?
4

,则 tan ? ? 1

C.若 tan ? ? 1 ,则 ? ?

?
4

D.若 tan ? ? 1 ,则 ? ?

?
4

1 a?b ) , B ? f ( ab ) , 2.已知函数 f ( x) ? ( ) x , a 、 b 是正实数, A ? f ( 2 2 C? f( 2ab ) ,则 A 、 B 、 C 的大小关系为( a?b

) D. C ? B ? A

A. A ? B ? C

B. A ? C ? B

C. B ? C ? A

3.设 a ? 0 且 a ? 1 ,则“函数 f ( x) ? a x 在 R 上是减函数 ”是“函数

g ( x) ? (2 ? a) x3 在 R 上是增函数”的(
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 4.有下列四个命题

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

①“若 x ? y ? 0 ,则 x 、 y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q ? 1 ,则 x2 ? 2x ? q ? 0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题为( A.①② ) B.②③ C.①③ D.③④

5.用反证法证明命题:如果整系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理数根, 那么 a 、 b 、 c 中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是( A.假设 a 、 b 、 c 都是偶数 C.假设 a 、 b 、 c 至多有一个偶数 )

B.假设 a 、 b 、 c 都不是偶数 D.假设 a 、 b 、 c 至多有两个偶数

n4 ? n2 6.用数学归纳法证明 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ,则当 n ? k ? 1 时左端应 2
2

在 n ? k 的基础上加上( A. k 2 ? 1 C.
(k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 2

) B. (k ? 1)2 D. (k 2 ? 1) ? (k 2 ? 2) ? (k 2 ? 3) ? ? ? (k ? 1)2

7.已知平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 4 , AD ? 3 , AA1 ? 5 ,
?BAD ? 90? , ?BAA1 ? ?DAA1 ? 60? ,则 AC1 等于(

) D. 85

A. 5 2

B.50

C.85

8.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M , N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,

???? ? ???? ? 则 sin ? CM , D1N ? 的值为(
A.



1 4 2 2 5 5 B. C. D. 9 9 9 3 9.已知向量 a ? (1, 1, 0) , b ? (?1, 0, 2) ,且 ka ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 的

值为( A.1

) B.
1 5

C.

3 5

D.

7 5

10.给出下列四个命题:
2 ①命题“任意 x ? R , x ? 0 ”的否定是“存在 x0 ? R , x0 ; ?0”

②线性相关系数 r 的绝对值越接近于 1,表明两个随机变量线性相关性越强; ③若 a, b ?[0, 1] ,则不等式 a 2 ? b 2 ?
1 ? 成立的概率 ; 4 4

④函数 y ? log2 ( x2 ? ax ? 2) 在 [2, ? ?) 上恒为正,则实数 a 的取值范围
5 是 (??, ) . 2

其中真命题的个数为( A.1 B.2

) C.3 D.4

11.空间四点 A (2,3,6), B (4,3,2), C (0,0,1), D (2,0,2)的位置 关系为( A.共线 ) B.共面 C.不共面 D.无法确定

12.若 [ x] 表示不超过实数 x 的最大整数,函数 f ( x) ? x ? [ x] , x ? R ,则下列四 个关于函数 f ( x) 的命题: ① f ( x) 的值域为 [0, 1) ;② f ( x) 为 R 上的增函数;③ f ( x) 为奇函数; ④ f ( x) 为周期函数. 其中真命题的序号为( A.①④ B.①③ ) C.②③ D.③④

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.命题“存在 x ? R ,使得 x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 ”的否定是_______. 14.设 P 是边长为 a 的正 ?ABC 内的一点, P 点到三边的距离分别为 h1、h2、h3 , 则 h1 +h2 +h3 ?

3 a ;类比到空间,设 P 是棱长为 a 的正四面体 ABCD 内的一 2

点, P 点到四个面的距离分别为 h1、h2、h3、h4 ,则 h1 +h2 +h3 +h4 =_______. 15.若对任意 x ? 0 ,
x ? a ,则实数 a 的取值范围是_______. x ? 3x ? 1
2

16.考察下列一组等式:
2 2 3 9 3 9 4 16 4 16 ? 2 ? 4, ?2 ? 4 ; ?3 ? , ?3 ? ; ? 4 ? , ?4 ? ;?,根据 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

这些等式反映的结果,可以得出一个关于正整数 n 的等式,这个等式可以 表示为_______. 三、解答题: (本大题共 5 小题,共 56 分) 17.(本小题共 8 分)用分析法证明: 8 ? 7 ? 5 ? 10 .

?x ? 2 ? 0 18.(本小题共 10 分)已知命题 p : ? ,命题 q : 1 ? m ? x ? 1 ? m , m ? 0 , ? x ? 10 ? 0
若非 p 是非 q 的充分不必要条件,试求实数 m 的取值范围.

19.(本小题共 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项之和为 Sn ,且 Sn ? 2n ? an (n ? N* ) . (Ⅰ)计算 a1 , a2 , a3 , a4 ;

(Ⅱ)试猜想 {an } 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.

20.(本小题共 12 分)如图, P 为矩形 ABCD 所在平面外一点, PA ? 平面 ABCD , 若已知 AB ? 3 , AD ? 4 , PA ? 1 . (Ⅰ)求点 P 到 BD 的距离; (Ⅱ)求平面 PBD 与平面 ABCD 夹角的余弦值.

21.(本小题共 14 分)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? bx2 . (Ⅰ)当 b ? 0 时,若对任意 x ? R 都有 f ( x) ? 1 ,证明 a ? 2 b ; (Ⅱ)当 b ? 1 时,证明:对任意 x ? [0, 1] , | f ( x) |? 1 的充要条件是

b ?1 ? a ? 2 b ;
(Ⅲ)当 0 ? b ? 1 时,讨论:对任意 x ? [0, 1] , | f ( x) |? 1 的充要条件.

陕西师大附中 2013—2014 学年度第二学期 期中考试高二年级数学(理科)答题纸
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 答案 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. ______________________; 15. ______________________; 14. ______________________; 16. ______________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 56 分) 17.(8 分)

18.(10 分)

19.(12 分)

20.(12 分)

21.(14 分)

陕西师大附中 2013—2014 学年度第二学期 期中考试高二年级数学(理科)参考答案
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题 号 答 案 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 ;
1 15. [ , ? ? ) ; 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9 0

1 1 B

1 2 C

1

C

A

A

C

B

D

D

B

D

A

14.

6 a; 3

16.

n ?1 n ?1 ? (n ? 1) ? ? (n ? 1) (n ? N* ) . n n

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 56 分) 17.证明:要证 8 ? 7 ? 5 ? 10 ,即证 ( 8 ? 7)2 ? ( 5 ? 10)2 , 即证 15 ? 4 14 ? 15 ? 10 2 ,即证 2 14 ? 5 2 ,即证 56 ? 50 , 上式显然成立,所以 8 ? 7 ? 5 ? 10 . 18.解: p : x ?[?2,10] , q : x ? [1 ? m, 1 ? m] , m ? 0 . ∵ 非 p 是非 q 的充分不必要条件,∴ q ? p 且 p ? q , ?m ? 0 ? 即 [1 ? m, 1 ? m] ? ?[?2, 10] ,∴ ?1 ? m ? ?2 ,解得 0 ? m ? 3 . ?1 ? m ? 10 ? ∴ 实数 m 的取值范围为 (0, 3] . 19.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? a1 ,∴ a1 ? 1 . 3 当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? S2 ? 2 ? 2 ? a2 ,∴ a2 ? . 2 7 当 n ? 3 时, a1 ? a2 ? a3 ? S3 ? 2 ? 3 ? a3 ,∴ a3 ? . 4 15 当 n ? 4 时, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? S4 ? 2 ? 4 ? a4 ,∴ a4 ? . 8 n 2 ?1 (Ⅱ)猜想 an ? n ?1 (n ? N* ) .现证明如下: 2 ①当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,结论成立.

②假设 n ? k (k ? 1, 且k ? N * ) 时,结论成立,即 ak ?

2k ? 1 , 2 k ?1

那么 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? 2(k ? 1) ? ak ?1 ? 2k ? ak ? 2 ? ak ?1 ? ak . ∴ ak ?1 ?
1 1 2k ? 1 2k ? 1 ? 2k 2k ?1 ? 1 ak ? 1 ? ? 1 ? ? ( k ?1)?1 , 2 2 2k ?1 2k 2

这表明 n ? k ? 1 时,结论成立,
2n ? 1 由①②知猜想 an ? n ?1 (n ? N* ) 成立. 2

20.解: (Ⅰ)如图,分别以 AB 、 AD 、 AP 所在直线为 x 、 y 、 z 轴建系, 则 P (0, 0,1) , B (3, 0, 0) , D (0, 4, 0) . ??? ? ??? ? ∴ PB ? (3, 0, ?1) , BD ? (?3, 4, 0) , ∴ P 到 BD 的距离 ??? ? ??? ? PB ? BD 2 81 13 2 ? ) ? 10 ? d ? PB ? ( ??? ? . 25 5 | BD | (Ⅱ)设平面 PBD 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,
??? ? ? ? 3x ? z ? 0 ? n1 ? PB ? 0 由 ? ??? ,即 ? ,可取 n1 ? (4, 3,12) , ? ??3x ? 4 y ? 0 ? ?n1 ? BD ? 0

∵ PA ? 平面 ABCD ,所以可以取平面 ABCD 的法向量 n2 ? (0, 0,1) . 设平面 PBD 与平面 ABCD 的夹角为 ? ,则 cos ? ?
| n1 ? n2 | 12 ? . | n1 || n2 | 13

21.解: (Ⅰ)证明:根据题设 b ? 0 ,对任意 x ? R , 都有 f ( x) ? 1 ? f (
a a2 )? ?1? a ? 2 b . 2b 4b

(Ⅱ)证明:当 b ? 1 时,对任意 x ? [0, 1] , | f ( x) |? 1

a a ? ? 0 ? ?1 ? a 0 ? ? 1 a ? ? ? 2 b ? 1 2b ? 2b ? 2b ? 1 ? ? ? ? f (0) ? ?1 ? ?0 ? ?1 或 ? f (0) ? ?1 ? ? 2 或 ?0 ? ?1 ? b ?1 ? a ? 2 b . ?? ?a ? b ? 1 ? f ( a ) ? 1 ? f (1) ? 1 ?a ?1 ? ? ? 2b ? 4b ? ? f (1) ? ?1 ?a ? b ? ?1 ? ? ?
(Ⅲ)当 0 ? b ? 1 时,对任意 x ? [0, 1] , | f ( x) |? 1

a a ? ? ?0 ? 2b ? 1 ? a ? 1 ?0 ? 2b ? 1 ? a ? 1 ? 2b ? 2b ? ? ? ? f (0) ? ?1 ? ?0 ? ?1 或 ? f (0) ? ?1 ? ? 2 或 ?0 ? ?1 ? 0 ? a ? b ? 1 . ?? ?a ? b ? 1 ? f ( a ) ? 1 ? f (1) ? 1 ?a ?1 ? ? ? 2b ? 4b ? ? f (1) ? ?1 ?a ? b ? ?1 ? ? ?
0 ? b ? 1 时, | f ( x) |? 1 的充要条件是 0 ? a ? b ? 1 . 所以, 当a ? 0, 对任意 x ? [0, 1] ,

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