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宁夏银川一中2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题


银川一中 2012/2013 学年度(上)高二期末考试

数 学 试 卷(理科)
命题人:曹建军
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. 用数学归纳法证明不等式 2 >n 时,第一步需要验证 n0=_____时,不等式成立( A. 5 B. 2 和 4 C. 3 D. 1 )
n 2



2.“ m ? n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.如图,长方形的四个顶点为 O(0,0), A(4,0), B(4,2), C (0,2) ,曲线 y ? y 点随机投入长方形 OABC 中,则质点落在图中 阴影区域的概率是( A. )
C

x 经过点 B .现将一质
B

y= x

5 12 3 4

B.

1 2
O A x

C.

2 D. 3

4. 如图,第(1)个图案由1个点组成,第(2)个图案由3个点组成,第(3)个图案由7个点组成,第(4) 个图案由13个点组成,第(5)个图案由21个点组成,……,依此类推,根据图案中点的排列规律, 第100个图形由多少个点组成( )

(1)

(2) A. 9900
2

(3) B. 9901

(4) C. 9902 ) C. (0, ? ) D. 9903

(5)

5. 抛物线 y ? ax 的焦点坐标是( A. (0,

1 ) 4a

B. (0, ?

1 ) 4a

a 4

D. (0, )

a 4

高二期末数学(理科)试卷

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6. 设双曲线 (

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程为 a2 b2

) B . y??

A. y ? ? 2 x

2 x 2

C . y ? ?2 x

D. y ? ?

1 x 2


7. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )中, a, b, c 成等比数列,则椭圆的离心率为( a 2 b2
B.

A.

2 2

3 5

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1 2


8. 设 a ? 1 ,则双曲线 A. ( 2, 2)

x2 y2 ? ? 1的离心率 e 的取值范围是 ( a 2 (a ? 1)2
B. ( 2,5)

5) C. (2,

D. (2,5) )

9. 对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ?(x) ?0,则必有( A.f(0)+f(2)?2f(1) C. f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1) )

10. 设 a ? R ,若函数 y ? e x ? ax , x ? R ,有大于零的极值点,则( A. a ? ?1 B. a ? ?1 C. a ? ?

1 e

D. a ? ?

1 e

11. 已知 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 , x1, x2 是区间 ??1,1? 上任意两个值, M ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立, 则 M 的最小值是( A. -2 12. 若 f ( x) ? ? ) B. 0 C. 2 D. 4 )

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是( 2
B. (?1, ??) C. (??, ?1] D. (??, ?1)

A. [?1, ??)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. 若正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 的底面边长为 2,高为 4,则异面直线 BD1 与 AD 所成角的余弦 1 值是________. 1 1 1 3 5 14.设 n 为正整数,f(n)=1+ + +…+ ,计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,观察上 2 3 n 2 2 述结果,可推测一般的结论为_________________. 15. 不等式 ax ? (a ? 3) x ? (a ? 4) >0 对 a??1, ?) 恒成立,则 x 的取值范围是__________.
2

16.半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r ,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+∞)上的变量,则( ? r )`
2 2

高二期末数学(理科)试卷

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=2 ? r

①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为 R

的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,类比以上结论,请你写出类似于①的式子: ②,②式可以用语言叙述为: 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 10 分) (1)求函数 f ( x) ? e x 在 x ? 0 处的切线方程; (2) x ? R ,证明不等式 e ? x ? 1.
x



y A1 A

18. (本小题满分 12 分) 过抛物线焦点垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通径。如图, 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,过其焦点 F 的直线交抛物线于
2

F O B1 B

x

A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 两点。过 A 、 B 作准线的垂线,垂足
分别为 A 、 B1 . 1

(1)求出抛物线的通径,证明 x1 x2 和 y1 y2 都是定值,并求出这个定值; (2)证明: A F ? B1F . 1 19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .
3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值点与极值.

20. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 4 ,

P

AB ? 2 . AN ? PC 于点 N , M 是 PD 中点.
(1)用空间向量证明:AM⊥MC, ....... 平面 ABM ⊥平面 PCD ; (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值; (3)求点 N 到平面 ACM 的距离. 21. (本小题满分 12 分)

N

M

A

D

B C

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已知椭圆

x2 y 2 a2 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,离心率 e ? ? 2. , a2 b c 2

(I)求椭圆的标准方程; (II)过点 F 的直线 l 与该椭圆交于 M 、N 两点,且 F2 M ? F2 N ? 1 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x, g( x ) ? a( x 2 ? x ) . (1)若 a ?
1 ,求 F ( x ) ? f ( x ) ? g( x ) 的单调区间; 2

????? ???? ?

2 26 ,求直线 l 的方程. 3

(2)若 f ( x ) ? g( x ) 恒成立,求 a 的取值范围.

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银川一中高二期末数学(理科)试卷参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 题 号 答 案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. A C D B A B D B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 A 1 1 D 1 2 C 1

6 6
4 3

14. f (2 ) ?
n 3 2

n?2 2

15. x ? 3orx ? ?1

? ( ? R ) =4? R ,用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 16. ”
三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 10 分) 解: (1)f ?(x) ? ex , k ? f ?(0) ? 1, 切点 P(0,1)所以,切线方程为 y ? x ? 1. (2)设 g ( x) ? e ? x ?1, 则 g?(x) ? e ?1, 由 g?(x) ? e ?1 ? 0 得 x ? 0, 由 g?(x) ? e ?1 ? 0 得
x x x x

x ? 0, 由 g?(x) ? ex ?1 ? 0 得 x ? 0, 所以 g ( x) 在 (??, 0) 上是减函数,在 (0, ?) 上是增函数函数,
在 x ? 0 处取得最小值,即 g ( x) ? g (0) ? 0, 所以 e ? x ? 1.
x

18. (本小题满分 12 分) 解:焦点 F (

p p , 0) ,准线 x ? ? 2 2 p p p2 , p ) 、 B ( , ? p ) ,通径 2 p , x1 x2 ? 、 y1 y2 ? ? p2 ,是定值. 2 2 4

(1) AB ? x 时 A(

p AB : y ? k ( x ? ) p AB 与 x 轴不垂直时,设 AB: y ? k ( x ? ) 由 2 (k ? 0) 得 2 2 C : y ? 2 px
k 2 kp y 2 y 2 p2 y ? y? ? 0 ,所以 y1 y2 ? ? p2 , x1 x2 ? 1 ? 2 ? , 是定值. 2p 2 2p 2p 4
p p p , y1 ) 、 B1 (? , y2 ) , F ( , 0) 2 2 2 ???? ???? ???? ???? 所以 FA ? ( p, y1 ), FB1 ? ( p, y2 ),? FA ? FB1 ? p2 ? y1 y2 ? 0? FA ? FB1. 1 1 1
(2) A1 (? 方法二:由抛物线知:

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?AFA1 ? ?OFA1 , ?BFB1 ? ?OFB1 , ??OFA1 ? ?OFB1 ? 90?,? FA1 ? FB1.
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ' ? x ? ? 3x2 ? 3a ,∵曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,

? f ' ? 2 ? ? 0 ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ? ?a ? 4, ? ∴? ?? ?? ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ? f ? 2? ? 8 ? ?
' 2 (Ⅱ)∵ f ? x ? ? 3 x ? a

?

? ? a ? 0? ,

当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ? ??, ??? 上单调递增,此时函数 f ( x ) 没有极值点. 当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a ,

? ? 当 x ? ? ? a , a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减, 当 x ? ? a , ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,
' 当 x ? ??, ? a 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增, ' '

∴此时 x ? ? a 是 f ( x ) 的极大值点, x ?

a 是 f ( x) 的极小值点.

20.如图所示, 建立空间直角坐标系, A(0,0,0) ,P(0,0, 4) ,B(2,0,0) , C (2,4,0) ,D(0,4,0) , 则

? ? ??? ? ???? ? ? ?2 x ? 4 y ? 0 M (0,2,2) ;设平面 ACM 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,由 n ? AC, n ? AM 可得: ? , ?2 y ? 2 z ? 0 ? 令 z ? 1 ,则 n ? (2, ?1,1) 。
(1)略

??? ? ? CD ? n 6 ? (2)设所求角为 ? ,则 sin ? ? ??? ? ? , 3 CD n
2 (3)由条件可得, AN ? NC .在 Rt ?PAC 中, PA ? PN ? PC ,所以 PN ?

8 ,则 3

NC ? PC ? PN ?

10 NC 5 5 ? ,所以所求距离等于点 P 到平面 ACM 距离的 ,设点 P 到平面 , 3 PC 9 9

??? ? ? AP ? n 2 6 5 10 6 ACM 距离为 h 则 h ? ? ? ,所以所求距离为 h ? 。 3 9 27 n
21. (本小题满分 12 分)

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?c 2 ? ? ?a 2 ,解得 a ? 2, c ? 1 解(I)由已知得 ? 2 ?a ? 2 ?c ?
∴ 所求椭圆的方程为

∴ b ? a2 ? c2 ? 1

x2 ? y2 ? 1 . 2

(II)由(I)得 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0)

? x ? ?1 2 ? ①若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x ? ?1 ,由 ? x 2 得y?? 2 2 ? ? y ?1 ?2
设 M (?1,

????? ???? ? 2 2 2 2 ) ? (?2, ? ) ? (?4, 0) ? 4 ,这与已 ) 、 N (?1, ? ) ,∴ F2 M ? F2 N ? (?2, 2 2 2 2

知相矛盾。 ②若直线 l 的斜率存在,设直线直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,联立 ? x 2 ,消元得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2


x1 ? x2 ?

?4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 ? ,∴ 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ?

2k , 1 ? 2k 2

又∵ F2 M ? ( x1 ?1, y1 ), F2 N ? ( x2 ?1, y2 ) ∴ ∴

?????

???? ?

????? ???? ? F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 )

2 2 ????? ???? ? ? 8k 2 ? 2 ? ? 2k ? 2 26 2 2 F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2) ? ( y1 ? y2 ) ? ? ?? ? 2 ? 2 ? 3 ? 1 ? 2k ? ? 1 ? 2 k ?

4 2 化简得 40k ? 23k ? 17 ? 0 解得 k ? 1或k ? ?
2 2

17 (舍去) 40



k ? ?1



所求直线 l 的方程为 y ? x ? 1或y ? ? x ? 1 .

22. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) F ( x) ? ln x ? 2 x ?

1 2 1 x ? x ,其定义域是 (0, ??) 2 2

…………1 分

F '( x) ?

1 1 (2 x ? 1)( x ? 2) ?2? x? ? ? x 2 2x

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令 F '( x) ? 0 ,得 x ? 2 , x ? ?

1 (舍去) 。 2

…………….. 3 分

当 0 ? x ? 2 时, F '( x) ? 0 ,函数单调递增; 当 x ? 2 时, F '( x) ? 0 ,函数单调递减; 即函数 F ( x) 的单调区间为 (0, 2) , (2, ??) 。 (Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 F '( x) ? ? ……………….. 6 分 ………… 7 分

(2 x ? 1)(ax ? 1) , 2x

当 a ? 0 时, F '( x) ? 0 , F ( x) 单调递增, F ( x) ? 0 不可能恒成立, 当 a ? 0 时,令 F '( x) ? 0 ,得 x ? 当0 ? x ?

1 1 , x ? ? (舍去) 。 a 2

1 1 时, F '( x) ? 0 ,函数单调递增; 当 x ? 时, F '( x) ? 0 ,函数单调递减; a a 1 a 1 a

故 F ( x) 在 (0, ??) 上的最大值是 F ( ) ,依题意 F ( ) ? 0 恒成立, …………… 9 分 即 ln

1 1 1 1 ? ? 1 ? 0 ,…又 g (a) ? ln ? ? 1 单调递减,且 g (1) ? 0 ,………10 分 a a a a 1 1 ? ? 1 ? 0 成立的充要条件是 a ? 1 ,所以 a 的取值范围是 [1, ??) ……… 12 分 a a

故 ln

高二期末数学(理科)试卷

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