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利用导数求参数取值范围的几种类型(1)


利用导数求参数取值范围的几种类型
学习目标: (1)学会利用导数的方法求参数的取值范围 (2)通过学习培养善于思考,善于总结的思维习惯 学习重点:学会利用函数的单调性求参数的取值范围;学会利用不等式求参数的取值范围 学习难点:在求参数的取值范围中构造关于 x 的函数 学习过程: 类型 1. 与函数单调性有关的类型 例1. 已知 a

? 0 ,函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 x ??1, ??? 是一个单调函数。

(1) 试问函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是否为单调减函数?请说明理由; (2) 若函数 y ? f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是单调增函数,试求 a 的取值范围。 解: ( 1 ) f ' ( x) ? 3x2 ? a , 若 函 数 f ( x) 在 区 间 ?1, ?? ? 上 单 调 递 减 , 则

f ' ( x) ? 3x2 ? a ? 0 在 x ??1, ??? 上恒成立,即 3x2 ? a 对 x ??1, ??? 恒成立,这样的

a 值不存在。所以函数 f ( x) 在区间 ?1, ?? ? 上不是单调减函数。
( 2)函数 y ? f ( x) 在区间 ?1, ?? ? 上是单调增函数,则 f ' ( x) ? 3x2 ? a ? 0 ,即

a ? 3x2 在 x ??1, ??? 上恒成立,在此区间上 y ? 3x2 ? 3 ,从而得 0 ? a ? 3
' ' 规律小结:函数在区间 (a,b)上递增 ? f ( x) ? 0 ,递减 ? f ( x) ? 0 在此基础上再

研究参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)注意:解出的参数 的值要是使 f ( x) 恒等于 0,则参数的这个值应舍去,否则保留。 类型 2. 与不等式有关的类型 例2. 设函数 f ( x) ?
'

1 ( x ? 0且x ? 1) x ln x

(1) 求函数 f ( x) 的单调区间; (2) 已知 2 x ? x 对任意 x ? (0,1) 成立,求实数 a 的取值范围
a 1

解: (1) f ( x ) ? ?
'

x

ln x ? 1 1 ' , 若f ( x ) ? 0, 则x ? ,列表如下: 2 2 x ln x e 1 1 1 (1, ??) (0, ) ( ,1) e e e
+ 0 — —

f ' ( x)

1

f ( x)

单调增

极大值 f ( )

1 e

单调减

单调减

所以的单调增区间为,单调减区间为 (3) 在 2 x ? x 两边取对数,得
a 1

1 a 1 ln 2 ? a ln x 由于 0 ? x ? 1 所以 ? x ln 2 x ln x 1 e

① 由(1)的结果知,当 x ? (0,1) 时, f ( x ) ? f ( ) ? ?e 。为使①式对所 有 x ? (0,1) 成立,当且仅当

a ? ?e 即 a ? ?e ln 2 ln 2

规律小结:在利用不等式求参数取值范围时,通常要构造一个新的函数 g ( x) ,若类似于

a ? g ( x) ,则只要研究 a ? g ( x)max ;若类似于 a ? g ( x) ,则只要研究 a ? g ( x)min
类型 3:与极值有关的类型 例 3:若函数 f ( x) ? ex ( x2 ? ax ? a ? 1) 没有极值点,求 a 的取值范围。
x 2 (a ? 2) x ? 2a ? 1? 解:由已知可得 f ' ( x) ? ex ( x2 ? ax ? a ? 1) ? e x (2x ? a) ? e ? ?x ? ? ,若

函 数 不 存 在 极 值 点 , 则 在 方 程 f ' ( x )? 0即 x2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 1 ? 0 中 , 有

? ? (a ? 2)2 ? 4(2a ? 1) ? a2 ? 4a ? 0 ,解之得 0 ? a ? 4
规律小结:极值点的个数,一般是使 f ( x) ? 0 方程根的个数,一般情况下导函数若可以化
'

成二次函数,我们可以利用判别式研究,若不是,我们可以借助图形研究。 类型 4:与方程有关的类型 例 4:试确定 a 的取值范围,讨论 xe ? a 解的个数(解略)
x

练习: 1. 已知 y ?

1 3 x ? bx 2 ? (b ? 2) x ? 3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围是 ___ 3

2

2. 设 f ( x) ? ax3 ? x 恰有三个单调区间,则 a 的范围是 ______

3. 已知 f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? 2 x ? c ,若对 x ?? ?1, 2? ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取 2

值范围

4. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1 同时有极大值和极小值,求 a 的取值范围。
3 2

归纳总结:

3


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