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宁夏银川一中2012-2013学年高二上学期期末考试数学(文)试题

银川一中 2012/2013 学年度(上)高二期末考试

数 学 试 卷(文科)
命题人:尹向阳
一、选择题:(每题 5 分,共 60 分) 1. 若复数 A.-3
a ? 3i 1? i ( a ? R , i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为(

)

B.3

C.-6

D.6
2

2. 用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a、b、c 中至少 有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是( A.假设 a、b、c 都是偶数 C.假设 a、b、c 至多有一个偶数 )

B.假设 a、b、c 都不是偶数 D.假设 a、b、c 至多有两个偶数

3. 分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c,且 a+b+c=0”,求证 “ b -ac< 3a”索的因应是( A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0
2

) B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<04.

4. 给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b=0?a=b”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“若 a,b,c,d∈Q,则

a+b=c+d?a=c,b=d”;
③若“a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0?a>b”. 其中类比结论正确的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3 )

5. “①矩形是平行四边形; 推理 ②三角形不是平行四边形; ③三角形不是矩形” 中的小前提是( A.① 6.复数 ( A. ?
1? 3i )
2

B.② ( ) B. ?
x

C.③

D.①和②

1? i

3 ?i

3 ?i

C. 3 ? i )

D. 3 ? i

7. 函数 f ( x ) ? ( x ? 3 ) e 的单调递增区间是( A. ( ?? , 2 )
2

B. (0,3)

C. (1,4) )

D. ( 2 , ?? )

8. 抛物线 y ? a x 的焦点坐标是(

高二期末数学(文科)试卷

第 1 页(共 2 页)

A. ( 0 ,

1 4a

)

B. (0 , ?
2 2

1 4a

)

C. ( 0 , ?

a 4

)

D. ( 0 , )
4

a

9. 设双曲线 ( )

x a

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程为

A. y ? ? 2 x 10. 设函数 f ( x ) ? A. [ ? 5 , ?? )
1 3
3

B. y ? ? 2 x
x ? ax
2

C. y ? ?

2 2

x

D. y ? ?

1 2

x

? 5 x ? 6 在区间[1,3]上是单调函数,则实数 a 的取值范围是(

)

B. ( ?? , ? 3 ]

C. ( ?? , ? 3 ] ? [ ? 5 , ?? )

D. [ ? 5 , 5 ] )表示

11. 为了表示 n 个点与相应直线在整体上的接近程度,我们常用( A.

?

n

? ( yi ? yi )

B.
2 2

i ?1

?

n

? ( yi ? yi )

C.

i ?1

?

n

( yi ? yi )

D.

i ?1

?
? y

n

? ( yi ? yi )

2

i ?1

12. 过双曲线

x a

2 2

?

y b

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的左焦点 F ( ? c , 0 ) 作圆 x
2

2

2

? a 的切线,切点为 E,
2

延长 FE 交抛物线 y ? 4 cx 于点 P,若 E 为线段 FP 的中点,则双曲线的离心率为( A. 5 B. 5 ? 1 C.
5 2

)

D.

5 ?1 2

二、填空题:(每题 5 分,共 20 分) 13.双曲线 2 x ? y ? m 的一个焦点是 ( 0 , 3 ) , 则 m 的值是________ _.
2 2

14.曲线 y ? x ? x ? 3 在点(1,3)处的切线方程为___________________.
3

15. 已 知回归 直线 的斜率 的估 计值 是 1.23 ,样本 点的 中心为 (4 , 5) ,则 回归 直线的 方程 是 ________________. 1 1 1 3 5 16. 设 n 为正整数,f(n)=1+ + +…+ ,计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,观察上 2 3 n 2 2 述结果,可推测一般的结论为_______________________________. 三、解答题: 17.(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2),其焦点 F 在 x 轴上. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)设直线 l 是抛物线的准线,求证:以 AB 为直径的圆与准线 l 相切. 18.(本题满分 12 分) 某校为了探索一种新的教学模式,进行了一项课题实验,乙班为实验班,甲班为对比班,甲乙 两班的人数均为 50 人,一年后对两班进行测试,成绩如下表(总分:150 分) :

高二期末数学(文科)试卷

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甲班 成绩 频数 乙班 成绩 频数
[8 0 , 9 0 ) [9 0,1 0 0 ) [1 0 0,1 1 0 ) [1 1 0,1 2 0 ) [1 2 0,1 3 0 )
[8 0 , 9 0 ) [9 0,1 0 0 ) [1 0 0,1 1 0 ) [1 1 0,1 2 0 ) [1 2 0,1 3 0 )

4

20

15

10

1

1

11

23

13

2

(1)现从甲班成绩位于 [9 0,1 2 0 ) 内的试卷中抽取 9 份进行试卷分析,请问用什么抽样方法更合 理,并写出最后的抽样结果; (2)根据所给数据可估计在这次测试中,甲班的平均分是 101.8,请你估计乙班的平均分,并 计算两班平均分相差几分; (3)完成下面 2×2 列联表,你认为在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下, “这两个班在这 次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗?并说明理由。 成绩小于 100 分 甲班 乙班 合计 附:
P(K
k
2

成绩不小于 100 分 26
d ?

合计 50 50 100

a ?

12 36

64

? k)

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

19.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 为 x ? y ? 3 ? 0. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间,并求出 f ( x ) 在区间[—2,4]上的最大值。 20.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C : 离之和为 6。 (1)求椭圆 C 的方程;
x a
2 2

1 3

x ? a x ? ( a ? 1) x ? b ( a , b ? R ) ,其图象在点(1, f (1) )处的切线方程
3 2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

6 3

,椭圆 C 上任意一点到椭圆两个焦点的距

高二期末数学(文科)试卷

第 3 页(共 2 页)

(2)设直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 交于 A、B 两点,点 P(0,1) ,且|PA|=|PB|,求直线 l 的方 程。 21.(本题满分 12 分)已知函数 (1)若 a (2)当 a
? 1 2
? 1 时,求证: f ( x ) ? g ( x )

f ( x ) ? ln x ? 2 x

, g (x) ?

a(x

2

? x)

,求 F ( x ) ?

f (x) ? g (x)

的单调区间;



22.(本题满分 12 分) 某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 1 5 元,销售价是 2 0 元,月平均销售 a 件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的 销售价提高的百分率为 x ? 0 ? x ? 1 ? ,那么月平均销售量减少的百分率为 x .记改进工艺后,旅游
2

部门销售该纪念品的月平均利润是 y (元) . (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.

高二期末数学(文科)试卷

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高二期末数学考试试题(参考答案)
一.选择题:BBCCB

ADACC

DD
n

二.填空题:13,-2; 14,2x-y+1=0; 15。Y=1.23x+0.08; 16,f( 2 )≥ 三.解答题: 17.解:(1)设抛物线 y2=2px(p>0),将点(2,2)代入得 p=1. ∴y2=2x 为所求抛物线的方程.

n + 2 2

1 (2)证明:设 lAB 的方程为:x=ty+ ,代入 y2=2x 得:y2-2ty-1=0,设 AB 的中点为 M(x0,y0), 2 1+2t2 则 y0=t,x0= . 2 1 1+2t 1 1 ∴点 M 到准线 l 的距离 d=x0+ = + =1+t2.又 AB=2x0+p=1+2t2+1=2+2t2, ∴d= 2 2 2 2 AB,故以 AB 为直径的圆与准线 l 相切. 18.(1)用分层抽样的方法更合理;在 ?90 ,100 ?, ?100 ,110 ?, ?110 ,120 ? ,各分数段抽取 4 份,3 份,2 份 试卷。 (2)估计乙班的平均分数为 x乙 ? 85 ?
1 50 ? 95 ? 11 50 ? 105 ? 23 50 ? 115 ? 13 50 ? 125 ? 2 50 ? 105 . 8
2

105.8-101。8=4,即两班的平均分数差 4 分。 (3) K
2

? 6 . 25 ? 5 . 024

所以,在犯错误的概率不超过 0。025 的前提下,认为两个班的成绩有差异。
/ 2 2 / 2 19.J 解: (1) f ? x ? ? x ? 2 ax ? a ? 1 ,由题意得。 f (1) ? 1 ? 2 a ? a ? 1 ? ? 1 得:

A=-1

b=
/

8 3

(2) f ( x ) ? x ? x ? 0 得:x=1 或 x=0,有列表得,
2

f ( x ) 极大值 ? f ( 0)?

8 3

, f( x ) ? f (1)? 2 极小值

而 f(-2)=-4,f(4)=8,所以,f(x)的最大值为 8

高二期末数学(文科)试卷

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20.解: (I)由已知 2 a ? 6 ,

c a

?

6 3

,解得 a ? 3, c ?

6

所以椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

9
2 2

3

?x y ? ?1 ? 2 2 得 , (1 ? 3 k ) x ? 1 2 k x ? 3 ? 0 , (III)由 ? 9 3 ? y ? kx ? 2 ?

直线与椭圆有两个不同的交点,所以 ? ? 1 4 4 k ? 1 2 (1 ? 3 k ) ? 0,
2 2

解得 k

2

?

1 9

.

设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 则 x1 ? x 2 ?
12k 1 ? 3k
2

, x1 x 2 ?

3 1 ? 3k
2

计算 y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 4 ? k ? 所以,A,B 中点坐标为 E (
6k 1 ? 3k
2

12k 1 ? 3k ,?
2

?4
2

? ? ),

4 1 ? 3k
2

,

2 1 ? 3k

因为|PA|=|PB|,所以 PE⊥AB, k P E ? k A B ? ? 1,
? 2 1 ? 3k 6k
2

?1 ? k ? ? 1 ,解得 k ? ? 1 ,经检验,符合题意,
2

所以

1 ? 3k

所以直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 . 21.解: (1) a
F ?( x ) ? 1 x

?

1 2

, F (x) ?
3 2 ? 2 ? 2x
2

ln x ? 2 x ?
? 3x

1 2

(x

2

? x)

( x ? 0)

? x ?

?

? ( 2 x ? 1)( x ? 2 ) 2x

2x

∵ x ? 0 ,∴当 0 ? x ? 2 时, F ? ( x ) ? 0 ,当 x ∴ F ( x ) 的增区间为 ( 0 , 2 ) ,减区间为 ( 2 , ?? ) (2)令 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ( x ? 0 ) 则由 h ?( x ) ?
f ?( x ) ? g ?( x ) ? 1 x ? 2 ? 2 ax ? a ?

? 2

时, F ? ( x ) ?

0



? ( 2 x ? 1)( ax ? 1) 2

? 0

解得 x

?

1 a

∵ h ( x) 在 (0, ∴当 x
? 1 a

1 a

)

上增,在 (

1 a

, ?? )

上减
1 a ? 2 a ? a( 1 a
2

时, h ( x ) 有最小值, h ( 1 ) ? ln
a

?

1 a

) ? ln

1 a

?

1 a

?1

高二期末数学(文科)试卷

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∵a

? 1 ,∴ ln

1 a

? 0



1 a

? 1 ? 0,

∴ h(x) ?

h(

1 a

)? 0

,所以

f (x) ? g (x)

22.解:(Ⅰ)改进工艺后,每件产品的销售价为 2 0 ? 1 ? x ? ,月平均销售量为 a ? 1 ? x 2 ? 件,则月平均 利润 y ? a ? 1 ? x 2 ? ? ? 2 0 ? 1 ? x ? ? 1 5 ? (元) , ? ? ∴ y 与 x 的函数关系式为 y ? 5 a ? 1 ? 4 x ? x 2 ? 4 x 3 ? ? 0 ? x ? 1 ? (Ⅱ)由 y ? ? 5 a ? 4 ? 2 x ? 1 2 x 2 ? ? 0 得 x1 ? 当0 ? x ?
x ? 1 2 1 2

,x ? ?

2 3

(舍)
2 3

1 2

时 y? ? 0 ;

1 2

? x ? 1 时 y ? ? 0 ,∴函数 y ? 5 a ? 1 ? 4 x ? x ? 4 x

? ?0 ?

x ? 1? 在

取得最大值.
? ? 1? ? ? 3 0 元时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最 2?

故改进工艺后,产品的销售价为 2 0 ? 1 ? 大.

高二期末数学(文科)试卷

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