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2017年北京市石景山区高三一模数学(文)试题及答案

石景山区 2017 年高三统一练习

数 学(文)试 卷
第一部分(选择题
共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项.

1} ,那么 A ? B 等于( 1.已知集合 A ? {x | 2 x ?1 ? 0} , B ? {x | 0≤x≤
A. {x | x≥0} C. { x | 0 ? x ? } B. {x | x≤1}



1 2

D. {x | 0≤x ? }

1 2

2.以

? ?1,1? 为圆心且与直线 x ? y ? 0 相切的圆的方程是(



A. ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 C. ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 3.下列函数中,偶函数是(
x A. y ? 2 ?

B. ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 4 D. ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 ) B. y ? x sin x D. y ? x2 ? sin x )

1 2x

C. y ? e x cos x

4.设 ? ? R ,“ sin ? ? cos ? ”是“ cos 2? ? 0 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

高三数学(文科)第 1 页(共 12 页)

5.我国南宋数学家秦九韶(约公元 1202—1261 年) 给出了求 n (n ? N* ) 次多项式 an x ? an?1 x
n n?1

开始

? ? ? a1x ? a0

输入x
k ? 0, S ? 1

当 x ? x0 时的值的一种简捷算法.该算法被后人命名为“秦九 韶算法”,例如,可将 3 次多项式改写为:

a3 x3 ? a2 x2 ? a1x ? a0 ? ((a3 x ? a2 ) x ? a1 ) x ? a0
然后进行求值.

k ? k ?1

S ? x?S ? k

运行如图所示的程序框图,能求得多项式( A. x 4 ? x 3 ? 2 x 2 ? 3 x ? 4 B. x 4 ? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 4 x ? 5 C. x 3 ? x 2 ? 2 x ? 3

)的值.
k?4





输出S
结束

D. x ? 2 x ? 3 x ? 4
3 2

6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥 的表面积是 ( A. 2 ? 5 B. 4 ? 5 C. 2 ? 2 5 D. 5
俯视图

) 2
正(主)视图

1 1 1

侧(左)视图

高三数学(文科)第 2 页(共 12 页)

7.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 , 点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上, 若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是( A. 2 ? 2 C. 2 B. 1 D. 2

D

F

C

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?



E

A

B

8.21 个人按照以下规则表演节目:他们围坐成一圈,按顺序从 1 到 3 循环报数,报数 字“3”的人出来表演节目,并且表演过的人不再参加报数.那么在仅剩两个人没有表演过 节目的时候,共报数的次数为( A.19 B.38 ) C.51 共 110 分) D.57

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.若复数

a?i 是纯虚数,则实数 a ? 1? i



? 2 x ? 3 y ? 6≥0, ? 10.已知实数 x , y 满足 ? x≤0, 那么 z ? y ? x 的最大值是 ? y≥0, ?
11.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线



x2 ? y 2 ? 1的右顶点重合,则 p ? 4



2 ? ? x ? x, x≥0, f ( x ) ? 12.已知函数 若 f (a) ? f (2 ? a) ,则 a 的取值范围是 ? 2 ? ? x ? x , x ? 0. y



y0
13.若函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的部分 图象如图所示,则 ? = . 0

x0 ?

x0

π 3
x

? y0

高三数学(文科)第 3 页(共 12 页)

14.在环境保护部公布的 2016 年 74 城市 PM2.5 月均浓度排名情况中,某 14 座城市在 74 城的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为某三座城市.
2 月份名次 第 1 季度名次

60

60 丙

40

甲 乙

40

20

20

0

20

40

60

1 月份名次

0



20

40

60

1 月份名次

从排名情况看, ① 在甲、乙两城中, 2 月份名次比 1 月份名次靠前的城市是__________; ② 在第 1 季度的三个月中,丙城市的名次最靠前的月份是__________. 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 数列 {an } 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? c ? 2n ( c 是常数, n ? 1, 2,3…… ), 且 a1 , a2 , a3 成公比不为 1 的等比数列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式. 16.(本小题共 13 分)
2 2 2 已知 a, b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的三条对边,且 c ? a ? b ? ab .

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? cos B 的最大值.

高三数学(文科)第 4 页(共 12 页)

17.(本小题共 13 分) “累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标,它是指空气净化器 从开始使用到净化效率为 50%时对颗粒物的累积净化量, 以克表示. 根据 GB/T18801-2015 《空气净化器》国家标准,对空气净化器的累计净化量(CCM)有如下等级划分: 累积净化量(克) 等级 (3,5] P1 (5,8] P2 (8,12] P3 12 以上 P4

为了了解一批空气净化器(共 2000 台)的质量,随机抽取 n 台机器作为样本进行估 计,已知这 n 台机器的累积净化量都分布在区间(4,14]中.按照(4,6],(6,8],(8, 10],(10,12],(12,14] 均匀分组,其中累积净化量在(4,6]的所有 数据有:4.5, .. 4.6,5.2,5.3,5.7 和 5.9,并绘制了如下频率分布直方图:
频率 组距

0.15 0.14 0.12 x 0.03 4 6 8 10 12 14


(Ⅰ)求 n 的值及频率分布直方图中的 x 值; (Ⅱ)以样本估计总体,试估计这批空气净化器(共 2000 台)中等级为 P2 的空气净化 器有多少台? (Ⅲ)从累积净化量在(4,6]的样本中随机抽取 2 台,求恰好有 1 台等级为 P2 的概率.

高三数学(文科)第 5 页(共 12 页)

18.(本小题共 14 分) 如图,在△ ABC 中, ?C 为直角, AC ? BC ? 4 .沿△ ABC 的中位线 DE , 将△ ADE 折起到△ A?DE 的位置,使得 ?A?DC ? 90? ,得到四棱锥 A? ? BCDE . (Ⅰ)求证: BC ? 平面 A?CD ; (Ⅱ)求三棱锥 E ? A?BC 的体积; (Ⅲ) M 是棱 CD 的中点,过 M 做平面 ? 与平面 A?BC 平行,设平面 ? 截四棱锥

A? ? BCDE 所得截面面积为 S ,试求 S 的值. A’
A

D

E E B · M C

C

B

D

19.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x . (Ⅰ)过原点作曲线 y ? f ( x) 的切线,求切线方程; (Ⅱ)当 x ? 0 时,讨论曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数.

20.(本小题共 14 分) 已知椭圆 E :
3 x2 y 2 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (0,1) ,且离心率为 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ?
1 x ? m 与椭圆 E 交于 A、 C 两点,以 AC 为对角线作正方形 ABCD . 2

记直线 l 与 x 轴的交点为 N ,问 B, N 两点间距离是否为定值?如果是,求出 定值;如果不是,请说明理由.
高三数学(文科)第 6 页(共 12 页)

石景山区 2017 年高三统一练习

数学(文)试卷答案及评分参考
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 题号 答案 1 D 9 1 2 A 10 3 B 11 4 4 A 5 A 12 13 3 6 C 7 C 14 乙, 二月份 8 D

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

3

a ?1

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)? a1 ? 2, an?1 ? an ? c ? 2n

? a2 ? a1 ? c ? 2 ? 2c , a3 ? a2 ? c ? 22 ? 2 ? 6c .
依题意, a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列,

? a22 ? a1 a3 , 即: (2+2c)2 ? 2(2 ? 6c) ,
化简,得: c ? c ? 0 ,
2

解得, c ? 0 或 c =1 . 由于公比不为 1,因此,c =1 .

..............................................................................6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: an?1 ? an ? 2n . 因此, a2 ? a1 ? 2

a3 ? a2 ? 22 a4 ? a3 ? 23
......

an ? an?1 ? 2n?1 ,( n≥2 ,且 n ? N* )
“叠加”: an ? a1 ? 2+22 +23 +......+2n ?1 =2+

( 2 1-2n ?1 ) n * =2 ( n ? 2且n ? N ). 1-2

? a1 ? 2 ? n=1 时也满足 an ? 2n .
故,数列 {an } 的通项公式为: an ? 2n ( n ? N ).....................................................13
*


高三数学(文科)第 7 页(共 12 页)

16.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)因为 c ? a ? b ? ab ,
2 2 2

所以 cos C ?

a 2 ? b 2 ? ab 1 ? . 2ab 2
π . 3
…………6 分

又因为 C ? (0, π) ,所以 C ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 C ?

又 A? B ?C ? π, 所以 B ?

π , 3

2π 2π ? A 且 A ? (0, ) , 3 3
2π ? A) 3 2π 2π cos A ? sin sin A 3 3

故 cos A ? cos B ? cos A ? cos(

? cos A ? cos

?
又 A ? (0, 所以当

1 3 π cos A ? sin A ? sin( ? A) . 2 2 6

2π π π 5π ) , ? A?( , ) , 3 6 6 6

π π π ? A ? 即 A ? 时,cos A ? cos B 的最大值为1 .…..................13 分 6 2 3

17.(本小题 13 分)

(4, 6] 之间的数据一共有 6 个, 解:(Ⅰ)因为在 (4, 6] 之间的频率为 0.03 ? 2=0.06 . 再由频率分布直方图可知:落在
因此, n ?

6 ? 100 . 0.06

(0.03+x ? 0.12 ? 0.14 ? 0.15) ? 2 ? 1? x ? 0.06 ..........................................4 分

高三数学(文科)第 8 页(共 12 页)

(6,8] 之间共: 0.12 ? 2 ?100=24 台, (Ⅱ)由频率分布直方图可知:落在 (5, 6] 之间共 4 台, 又因为在 (5,8] 之间共 28 台, ? 落在
故,这批空气净化器等级为 P 2 的空气净化器共有 560 台....................................8 分 (Ⅲ)设“恰好有 1 台等级为 P 2 ”为事件 B

(4, 6] 之间共有 6 台,记为: A1,A2,A3 , A4,A5,A6 ,属于国标 P 2 级 依题意,落在
有 4 台,我们记为: A3 , A4,A5,A6 ,

(4, 6] 中随机抽取 2 个, 则从 所有可能的结果有 15 种, 它们是: ( A1, A2 ) , ( A1, A3 ) ,
( A1, A4 ) , ( A1, A5 ) ,( A1, A6 ) ,( A2 , A3 ) ,( A2 , A4 ) ,( A2 , A5 ) ,( A2 , A6 ) ,( A3 , A4 ) ,( A3 , A5 ) , ( A3 , A6 ) , ( A4 , A5 ) , ( A4 , A6 ) , ( A5 , A6 ) ,
而事件 B 的结果有 8 种, 它们是: ( A1, A3 ) , ( A1, A4 ) , ( A1, A5 ) , ( A1, A6 ) , ( A2 , A3 ) , ( A2 , A4 ) ,

( A2 , A5 ) , ( A2 , A6 ) .

(B) = 因此事件 B 的概率为 P
分 18.(本小题 14 分)

8 . 15

.........................................................................13

(Ⅰ)证明:因为 DE / / BC ,且 ?C ? 90? , 所以 DE ? A?D ,同时 DE ? DC , 又 A?D ? DC ? D , 又因为 DE / / BC , 所以 BC ? 平面 A?CD . ......................4 分 所以 DE ? 面 A?CD.

高三数学(文科)第 9 页(共 12 页)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: BC ? 平面 A?CD ,又 A?D ? 平面 A?DC , 所以 A?D ? BC , 又因为 ?A?DC ? 90? ,所以 A?D ? DC .

又因为 BC ? DC ? C ,所以 A?D ? 平面 BCDE .
1 所以, VE ? A?BC ? VA?? EBC ? 3 S?EBC ? A?D . 1 1 依题意, S?EBC = BC ? CD ? ? 4 ? 2 ? 4 . 2 2 1 8 所以, VE ? A?BC ? 3 ? 4 ? 2 ? 3 .

..................................................................................9

分 (Ⅲ)分别取 A?D , EA? , A?B 的中点 N , P , Q ,并连接 MN , NP , PQ , QM . 因为平面 ? //平面 A?CD ,所以平面 ? 与平面 A?CD 的交线平行于 A?C , 因为 M 是中点,所以平面 ? 与平面 A?CD 的交线是 ?A?CD 的中位线 MN . 同理可证,四边形 MNPQ 是平面 ? 截四棱锥 A? ? BCDE 的截面. 即: S =SMNPQ . 由(I)可知: BC ? 平面 A?CD ,所以 BC ? A?C , 又? QM / / A?C , MN / / BC ? QM ? MN .

? 四边形 MNPQ 是直角梯形.
在 Rt ?A?DC 中, A?D ? CD ? 2 ? A?C ? 2 2 .
MN ? 1 1 1 A?C ? 2 , NP ? DE ? 1 , MQ ? ( BC ? DE) ? 3 . 2 2 2 1 ? 2 2 . ...................................................................................14 分 2

? S ? (1 ? 3) ? 2 ?

高三数学(文科)第 10 页(共 12 页)

19.(本小题 13 分) 解:(Ⅰ)由题意,设切点为 M ( x0 , y0 ) ,由题意可得

f '( x0 ) ?
所以 k ?

y0 ? 0 e x0 ,即 e x0 ? ,解得 x0 ? 1 ,即切点 M (1, e) . x0 ? 0 x0
e?0 所以切线方程为 y ? ex . ? e, 1? 0
……………..........…5 分

(Ⅱ)当 x ? 0, m ? 0 时, 曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 的公共点个数 即方程 f ( x) ? mx2 根的个数. 由 f ( x) ? mx2 得 m ?

ex . x2

令 g ( x) ?

ex xe x ( x ? 2) ,则 ,令 g '( x) ? 0 ,解得 x ? 2 . g '( x ) ? x2 x4

随 x 变化时, g '( x ) , g ( x) 的变化情况如下表:

x

(0, 2)
?

2
0 极小值 g (2)

(2, ??)

g '( x)

?


g ( x)
其中 g(2) ?



e2 ex .所以 g(2) 为 g ( x) ? 2 在 (0, ??) 的最小值. 4 x

所以对曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数,讨论如下: 当 m ? (0,

e2 e2 ) 时,有 0 个公共点; 当 m ? 时,有1 个公共点; 4 4
……………..........…13 分

当 m?(

e2 , ??) 时,有 2 个公共点. 4

高三数学(文科)第 11 页(共 12 页)

20.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c . 因为点( 0,1 )在椭圆 E 上,所以 b ? 1 . 故 a ? c ? 1.
2 2

又因为 e ?

c 3 ,所以 c ? 3 , a ? 2 . ? a 2
x2 ? y2 ? 1 . 4
……………..........…5 分

所以椭圆 E 的标准方程为:

(Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ,线段 AC 中点为 M ( x0 , y0 ) . 联立 y ?

1 x ? m和x 2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0 ,得: x2 ? 2mx ? 2m2 ? 2 ? 0 . 2
2 2 2

由 ? ? (2m) ? 4(2m ? 2) ? 8 ? 4m ? 0 ,可得 ? 2 ? m ? 2 所以 x1 ? x2 ? ?2m , x1 x2 ? 2m2 ? 2 . 所以 AC 中点为 M ( ? m,
2

1 m) . 2
2

弦长 | AC |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 又直线 l 与 x 轴的交点 N (?2m, 0) . 所以 | MN |? (?m ? 2m) ? ( m) ?
2 2

5 [( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 10 ? 5m2 , 4

1 2

5 2 m . 4

所以 | BN | ?| BM | ? | MN | ?
2 2 2

1 5 | AC |2 ? | MN |2 ? . 4 2

所以 B 、 N 两点间距离为定值 分

10 . 2

……...…14

【注:若有其它解法,请酌情给分】
高三数学(文科)第 12 页(共 12 页)


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