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河北省2012年5月普通高中学业水平考试(数学试卷及答案)


2012 年 5 月河北省普通高中学业水平考试 数
注意事项: 1.本试卷共 4 页,30 道小题,总分 100 分,考试时间 120 分钟. 2.所有答案在答题卡上作答,在本试卷和草稿纸上作答无效.答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事 项”,按照“注意事项”的规定答题. 3.做选择题时,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,请用橡皮将原选涂答案 擦干净,再选涂其它答案. 4.考试结束后,请将本试卷与答题卡一并收回. 参考公式: 柱体的体积公式:V=Sh(其中 S 为柱体的底面面积,h 为高) 1 锥体的体积公式:V= Sh(其中 S 为锥体的底面面积,h 为高) 3 1 台体的体积公式:V= (S?+ S?S +S)h(其中 S?、S 分别为台体的上、下底面面积,h 为高) 3 4 球的体积公式:V= ?R3(其中 R 为球的半径) 3 球的表面积公式:S=4?R2(其中 R 为球的半径) 一、选择题(本题共 22 道小题,1-10 题,每题 2 分,11-22 题,每题 3 分,共 56 分.在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.直线 2x-y+1=0 的斜率为 1 A. 2 B.2 1 C.- 2 D.-2

4.在等差数列{an}中,a2=2,a5=10,则 a8= A.16 B.18 1 5.不等式 ≥2 的解集是 x A.{x|0<x≤2} 6.函数 y=2x
-1

C.20

D.50



B.{x|x≥

1 } 2

C.{x|x≤

1 } 2

D.{x|0<x≤

1 } 2

的值域是 B.(-1,+∞) C.(1,+∞) 1 D.( ,+∞) 2

A.(0,+∞)

3 ? 7.已知 sin x= ,且 <x<π,则 tan x= 5 2 A. 4 5 B.- 4 5 C. 3 4 D.- 3 4
3

8.函数 f (x)=2x+x-2 的零点所在的区间是 A.(-1,0) C.(1,2)

B.(0,1) D.(2,3)
正视图 侧视图

1

9.一个正三棱柱 的三视图如图所示,则这个正三棱柱的高和底面边长分别 为 A.1, 3 C.2,1 B. 2,1 D.1,2

俯视图

10.点 P(x,y)在直线 x+y-4=0 上,O 是坐标原点,则|OP|的最小值是 A. 7 B. 6 C.2 2 D. 5 11.从装有 3 个红球、2 个白球的口袋里随机取出一个球,得到红球的概率是 A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D.1

12.等边三角形 ABC 的边长为 2,则→·→= AB BC A.-2 B.2 C.-2 3 D.2 3 1 1 D. < a b

13.若 a>b,则下列不等式一定成立的是 A.ac>bc B.a2>b2 C.a+c>b+c

2.半径为 3 的球的体积等于 A.9π B.12π A.{0}? M B.0? M

C.36π

D.54π

3.已知集合 M={x|x>-1},下列关系式正确的是 C.{0}∈M D.?∈M

? 14. 函数 y=3sin (2x+ )(x∈R)图象的一条对称轴方程是 6 A.x=0 C.x= ? 6 ? B.x=- 12 D.x= ? 3

24.已知向量 a=(-2,3),b=(x,-6),若 a⊥b,则 x=_____ ______.
开始 输入 n S=n(n+1) S>100? 是 输出 n 结束 n=n+1 否

25.函数 f (x)=lg (x2-1)的定义域是___________. S1+S2+?+Sn 26. 设有穷数列{an}的前 n 项和为 Sn, 定义数列{an}的期望和为 Tn= , 若数列 a1, 2, a ?, n a9 的期望和 T9=100,则数列 2,a1,a2,?,a9 的期望和 T10=________. 三、解答题(本大题共 4 道小题,满分 32 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 27. (本小题满分 8 分) 已知函数 f (x)=(sin x-cos x)2+m,x∈R. (Ⅰ)求 f (x)的最小正周期; (Ⅱ)若 f (x)的最大值为 3,求 m 的值. 28. (本小题满分 8 分) 数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 3Sn=an+4(n∈N*) . (Ⅰ )求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )若等差数列{bn}的公差为 3,且 b2a5=-1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn 的最小值. 29. (本小题满分 8 分) PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国 PM2.5 标准采 用世卫组织设定的最宽限值,PM2.5 日均值在 35 微克/立方米及其以下空气质量为一级,在 35 微克/ 立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级,在 75 微克/立方米及其以上空气质量为超标.

15.按右图表示的算法,若输入一个小于 10 的整数 n,则输出 n 的值是 A.9 B.10 C.11 D.110
[来源:Z+xx+k.Com]

16.函数 y=sin (x - 2? ? A.[- , ] 3 3

? )(x∈R)的一个单调递增区间为 3 ? 5? ? 4? B.[- , ] C.[ , ] 6 6 3 3

5? 11? D.[ , ] 6 6 D.210-2

17.已知数列{an},an=2n+1,那么数列{an}的前 10 项和为 A.211+8 B.211-1 C.210+9

18.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且(a+b+c)(b+c-a)=bc,则 A= A.30? B.60? C.120? D.150?

? ?x≥0, 19.已知实数 x,y 满足?y≥0, 则目标函数 z=x+y 的最小值是 ? ?x+4y≥4,
A.0 B.5 C.4 D.1

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

某试点城市环保局从该市市区 2011 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机抽取 6 天的数据作为样 20.某单位共有职工 120 人,其中男职工 90 人,现采用分层抽样(按男、女分层)的方法抽取一个样 本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) ,若从这 6 天的数据中随机抽出 2 天. 本,该样本中有 9 名女职工,则样本容量为 D1 (Ⅰ)求恰有一天空气质量超标的概率; PM2.5 日均值(微克/m3) C1 A.27 B.36 C.40 D. 44 3 3 (Ⅱ)求至多有一天空气质量超标的概 率. A1 4 8 1 B1 21.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AB 和 AA1 的中点,则 7 9 3 9 7 直线 EF 与平面 ACC1A1 所成的角等于 F D C A.30? B.45? C.60? D.90? A B 30. (本小题满分 8 分) E 22.定义在 R 上的奇函数 f (x)满足 f (x+2)=f (x)+1,则 f (5)= 1 已知动点 P 与两个定点 E(1,0),F(4,0)的距离之比是 . 2 1 5 A.0 B.1 C. D. 2 2 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; 二、填空题(本大题共 4 道小题,每小题 3 分,满分 12 分) ............ (注意:在试题卷上作答无效) 23.sin 165?·cos 15?=_________. (Ⅱ)直线 l:y=kx+3 与曲线 C 交于 A,B 两点,在曲线 C 上是否存在点 M,使得四边形 OAMB (O 为坐标原点)为菱形,若存在,求出此时直线 l 的斜率;若不存在,说明理由.

1 14 故 P(C)= ,∴P(B)=1-P(C)= . 15 15

???????8 分


一、选择题 BCABD 二、填空题 23. 1 4
[来源:学科网 ZXXK]


BACDB AD

30.解: (Ⅰ)设点 P(x,y),由

(x-1)2+y2 1 = , (x-4)2+y2 2

ADBDC

CACCB

24.-9

25.(-∞,-1)∪(1,+∞)

26.92

三、解答题 27.解: (Ⅰ)f (x)=(sinx-cos x)2+m=m+1-sin2x, 所以 f (x)的最小正周期为 T= 2? =?. 2 ??????4 分

化简,得轨迹 C 的方程是:x2+y2=4. ???????4 分 2 2 (Ⅱ)因为直线 l:y=kx+3 与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点, |3| 5 5 所以 2 <2,解得 k> 2 或 k<- 2 . 1+k 假设存在点 M,使得四边形 OAMB 为菱形,则 OM 与 AB 互相垂直且平分,所以原点 O 到直线 l: |3| 1 y=kx+3 的距离为 d= |OM|=1. 所以 解得 k2=8, k=±2 2 , 即 经验证满足条件. 2 =1, 2 1+k 所以存在两点 M,使得四边形 OAMB 为菱形. ??????8 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 sin2x=-1 时,f (x)取最大值, 故有 m+2=3,得 m=1. 28.解: )由 3Sn=an+4,得 3Sn-1=an-1+4,两式相减,得 (Ⅰ

??????8 分

an 1 3(Sn-Sn-1)=(an+4)-(an-1+4)=an-an-1,整理,得 =- (n≥2) . 2 an-1 1 又 3a1=a1+4,得 a1=2,所以数列{an}是以 2 为首项,以- 为公比的等比数列, 2 故有 an=2× -

(

1 2

)

n-1



??????4 分

1 (Ⅱ )由已 知,得 b2=- =-8,又等差数列{bn}的公差 d=3, a5 故 bn=b2+(n-2)d=3n-14,因此当 n≤4 时,bn<0,当 n≥5 时,bn>0 , 所以 n=4 时,{bn}的前 n 项和 Tn 最小, 4(b1+b4) 最小值为 T4= =-26. 2 ??????8 分

29.解:由茎叶图知:6 天有 4 天空气质量未超标,有 2 天空气质量超标. 记未超标的 4 天为 a,b,c,d,超标的两天为 e,f.则从 6 天中抽取 2 天的所有情况为: ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,基本事件数为 15. ?2 分 (Ⅰ)记“6 天中抽取 2 天,恰有 1 天空气质量超标”为事件 A, 8 可能结果为:ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,基本事件数为 8.∴P(A)= . 15 ?5 分

(Ⅱ)记“至多有一天空气质量超标”为事件 B, 天都超标”为事件 C,其可能结果为 ef, “2


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