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高中数学必修2知识点加例题加课后习题


高中数学必修二
第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构 1、棱柱

定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五 棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱
ABCDE ? A' B ' C ' D ' E '

几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平 行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边 形。 2、棱锥

定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五 棱锥等 ' ' ' ' ' 表示:用各顶点字母,如五棱锥 P ? A B C D E 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相 似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 3、棱台

定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部 分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五 棱台等 表示:用各顶点字母,如四棱台 ABCD—A'B'C'D' 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧 棱交于原棱锥的顶点 4、圆柱

定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所 围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半 径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 5、圆锥

定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围 成的几何体

几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图 是一个扇形。
6、圆台

定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部 分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③ 侧面展开图是一个弓形。 球体

定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何 体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半 径。 ※空间几何体的结构特征:面(侧面、上底面、下底面)、棱、顶 点、轴 例 1 下列命题中错误的是( ) A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆

D.圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形 【解析】圆锥的母线长相长,设为 l,若圆锥截面三角形顶角为 ? ,圆 锥轴截面三角形顶角为 ? ,则 0< ? ≤ ? . 当 ? ≤90°时,截面面积 S =
1 2 l sin? 2 1 2 l sin? ≤2 .



90°< ? <180°时.截面面积

1 2 1 l ? sin 90? ? l 2 2 2 , S≤

故选 B. 例 2 根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其它 各面都是矩形; (2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转 180°形成 的封闭曲面所围成的图形. 【分析】要判断几何体的类型,首先应熟练掌握各类几何体的结构特 征. 【解析】(1)如图 1,该几何体满足有两个面 平行,其余六个面都是矩形,可使每相邻两个 面的公共边都相互平行,故该几何体是六棱柱. (2)如图 2,等腰梯形两底边中点的连线将 梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转 图2 图1 180°形成半个圆台,故该几何体为圆台. 点评:对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作适当 的分割,再根据圆柱、圆 锥、圆台的结构特征进行判断. 例 3 把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是 1:4,母线长是 10cm,求圆锥的母线长. 【分析】 画出圆锥的轴截面,转化为平面问题求解. 【解析】 设圆锥的母线长为 ycm,圆台上、下底 面半径分别是 xcm 、4xcm.作圆锥的轴截面如图. 在 Rt△SOA 中,O′A′∥OA,∴SA′∶SA= O′ A′∶OA,即(y-10)∶y=x∶4x.
1 13 3 cm 1 ∴y=13 3 .
图 4—1—8

∴圆锥的母线长为 【点评】圆柱、圆锥、圆台可以看做是分别以矩形的一边、直角三角 形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余 各边旋转而成的曲面所围成的几何体,其轴截面分别是矩形、等腰三 角形、等腰梯形,这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素,处理 旋转体的有关问题一般要作出轴截面.

例 4 已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为 r,R,求球的半径. 【解析】圆台轴截面为等腰梯形,与球的大圆相切,由此得梯形腰长 为 R + r,梯形的高即球的直径为 (r ? R) ? ( R ? r ) =2 rR ,所以,球的半 径为 rR . 圆锥底面半径为 1cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,求这个内 接正方体的棱长.
S
2 2

C

D

E

C1

O

【解析】锥的轴截面 SEF,正方体对角面 CDD1C1,如图所示.设正方 体棱长 x,则 CC1 = x,C1D1 = 2 x. 作 SO⊥EF 于 O,则 SO = 2 ,OE = 1,
CC1

D1 =1

F

∵△ECC1~△EOS,∴ ∴x=
2 2

SO

=

EC1 EO

x

,即

2

1 ? ( 2 / 2) x 1 = .

(cm),即内接正方体棱长为

2 2

cm.

课后练习 一、选择题 1.用一个平面去截一个四棱锥,截面形状不可能的是 A. 四边形 B. 三角形 C. 五边形 D. 六边形 2.一个棱长为 的正四面体纸盒内放一个正方体,若正方体可以在纸 盒内任意转动,则正方体棱长的最大值为 A. 1 C. 2 D. 3 B. 3.下列命题中,错误的是 A. 圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形 B. 圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 C. 圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个 D. 当球心到平面的距离小于球面半径时,球面与平面的交线总 是一个圆 4.等腰三角形 ABC 绕底边上的中线 AD 所在的直线旋转所得的几何体 是

A. 圆台 B. 圆锥 5.下列几何体是组合体的是

C. 圆柱

D. 球

C. A. D. B. 6.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆面,则该圆锥的母线与轴 所成的角为 A. B. C. D. 7.在所有棱长都相等的三棱锥 中,P、Q 分别是 AD、BC 的中 点,点 R 在平面 ABC 内运动,若直线 PQ 与直线 DR 成 角 则 R 在 平面 ABC 内的轨迹是 A. 双曲线 B. 椭圆 C. 圆 D. 直线 8.如图,以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把 和 折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论: ; ; 三棱锥 是正三棱锥; 平面 ADC 的法向量和平面 ABC 的法向量互相垂直. 其中正确的是

A. B. C. 9.如图,将无盖正方体纸盒展开,直线 是 A. 平行 B. 相交成 C. 相交且垂直 D. 异面直线

D. 在原正方体中的位置关系

10.以下命题中真命题的序号是 若棱柱被一平面所截,则分成的两部分不一定是棱柱; 有两个面平行,其余各面都是梯形的几何体叫棱台;

用一个平面去截圆锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台; 有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱. A. B. C. D. 在四面体 的四个面中,是直角三角形的面至多有 个. A. 0 个 B. 1 个 C. 3 个 D. 4 个 11.一个骰子由 六个数字组成,请你根据图中三种状态所显示的数 字,推出“?”处的数字是

A. 6 B. 3 C. 1 D. 2 12.一个直角三角形绕斜边旋转 形成的空间几何体为 A. 一个圆锥 B. 一个圆锥和一个圆柱 C. 两个圆锥 D. 一个圆锥和一个圆台 13.一个十二面体共有 8 个顶点,其中 2 个顶点处各有 6 条棱,其它顶 点处都有相同的棱,则其它顶点处的棱数为 ____________. 14.两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体, 可放入棱长为 1 的正方体内,使正四棱锥的底面 ABCD 与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则 这样的几何体体积的可能值有____________个. 15.在长方体 的六个面中,与棱 AB 平行的面共有______ 个 16.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,它的轴截面面积是 ,母线与轴的夹角是 ,求这个圆台的高、母线和两底面的半 径.

17.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥 的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边 长与各侧棱长也都相等 设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 ,求 : : 的值.

1.2 空间几何体的三视图和直观图 1、中心投影与平行投影 中心投影:把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。 平行投影:在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2、三视图 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下

画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度 和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度 和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽 度。 例 1 画出下列空间几何体的三视图. 如图是截去一角的长方体,画出它的三视图. 【解析】物体三个视图的构成都是矩形,长方体截角后,截面是一个 三角形,在每个视图中反映为不同的三角形,三视图为图 2.

例 2 由 5 个小立方块搭成的几何体,其三视图分别如下,请画出这个 的几何体

(正视图)

(俯视图)

(右视图)

【解析】先画出几何体的正面,再侧面,然后结合俯视图完成几何体 的轮廓,如图. 【评析】画三视图之前,先把几何体的结构弄清楚,确定一个正前 方,从三个不同的角度进行观察. 在绘制三视图时,分界线和可见轮廓 线都用实线画出,被遮挡的部分用虚线表示出来,绘制三视图. 就是由 客观存在的几何物体,从观察的角度,得到反应出物体形象的几何学 知识. 例 3 某建筑由相同的若干个房间组成,该楼的三视图如图所示,问:

(1)该楼有几层?从前往后最多要走过几个房间? (2)最高一层的房间在什么位置?画出此楼的大致形状. 【解析】(1)由主视图与左视图可知,该楼有 3 层. 由俯视图可知, 从前往后最多要经过 3 个房间. (2)由主视图与左视图可知,最高一层的房间在左侧的最 后一排的房间. 楼房大致形状如右图所示. 【评析】根据三视图的特征,结合所给的视图进行逆推, 考察我们的想象能力与逆向思维能力. 由三视图得到相应几何体后,可 以验证所得几何体的三视图与所给出的三视图是否一致. 依据三视图进 行逆向分析,就是用几何知识解决实际问题的一个方面. 在工厂中,工 人师傅都是根据零件结构设计的三视图,对零件进行加工制作. 3、直观图:斜二测画法 斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱 (4)成图 例 1 用斜二测法画水平放置的正六边形的直观图. 画法:(1)如图(1),在正方边开 ABCDEF 中,取 AD 所在直线为 x 轴,对称轴 MN 所在直线为 y 轴,两轴相交于点 O′,使∠x′O′ y′ = 45°.

(2)在图(2)中,以 O′为中点,在 x′ 轴上取 A′D′=AD,在 y′ 轴上取 M′ N ′ 以点 N ′ 为中点,画 B′C′ 平行 于 x′ 轴,并且等于 BC;再以 M ′为中点,画 E′F′平行于 x′ 轴,并且等于 EF.
1 = 2 MN.

(3)连接 A′B′,C′D′,D′E′,F′A′,并擦去辅助线 x′ 轴和 y′ 轴,便获得正六边形 ABCDEF 水平放置的直观图 A′B′ C′D′E′F′(图(3)) 例 2 用斜二测画法画长、宽、高分别是 4cm,3cm,2cm 的长方体 ABCD – A′B′C′D′的直观图. 画法:(1)画轴. 如图,画 x 轴、y 轴、z 轴,三轴交于点 O,使∠ xOy = 45°,∠xOz = 90°.

(2)画底面. 以点 O 为中点,在 x 轴上取线段 MN,使 MN = 4cm; 在 y 轴上取线段 PQ,使 PQ 分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行 线,过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线,设它们的交点分别为 A,B,C, D,四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD.
3 = 2 cm.

(3)画侧棱. 过 A,B,C,D 各点分别作 z 轴的平行线,并在这些平 行线上分别截取 2 cm 长的线段 A′A,B′B,C′C,D′D. (4)成图,顺次连接 A,B,C,D,并加以整理(去掉辅助线,将被 挡的部分改为虚线),就得长方体的直观图. 例 3 已知几何体的三视图说出它的结构特征,并用斜二测画法画它的 直观图. 画法:(1)画轴. 如图(1),画 x 轴、z 轴,使∠xOz=90°.

(2)画圆的柱的下底面. 在 x 轴上取 A,B 两点,使 AB 的长度等于 俯视图中圆的直径,且 OA = OB. 选择椭圆模板中适当的椭圆过 A,B 两点,使它为圆柱下底面的作法作出圆柱的下底面. (3)在 Oz 上截取点 O′,使 OO′ 等于正视图中 OO′ 的长度,过 点 O′作平行于轴 Ox 的轴 O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱 的上底面. (4)画圆锥的顶点. 在 Oz 上截取点 P,使 PO′ 等于正视图中相应的 高度. (5)成图. 连接 PA′、PB′,AA′,BB′,整理得到三视图表示 的几何体的直观图.(如图(2))

课后练习 一、选择题 1. 某三棱锥的正视图如图所示,则下列图 三棱锥的俯视图的是

,所有可能成为这个

A.

B.

C.

D.

2. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三 视图,则此几何体各面直角三角形的个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3. 如图,在三棱锥 为

中,侧面

底面 ,该三棱锥三视图的正视图

A.

B.

D. C. 4. 如图 1 所示,是一个棱长为 2 的正方体被削去一个角后所得到的几 何体的直观图,其中 ,若此几何体的俯视图 如图 2 所示,则可以作为其正视图的是

A.

B. C. D. 5. A. B. C. D.

如图, 是 等腰三角形 直角三角形 等腰直角三角形 钝角三角形

的直观图,其中

,那么



6. 下列三视图所对应的直观图是

C. D. B. 7. 用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图,正确的是

A.

A.

B.

D. C. 8. 若一几何体的正视图与侧视图均为边长是 1 的正方形,则下列图形 一定不是该几何体的俯视图的是

A.

B.

C. D. 9. 利用斜二测画法画一个水平放置的平面四边形的直观图,得到的直 观图是一个边长为 1 的正方形 如图所示 ,则原图形的形状是

B.

C.

D. 二.填空题 1.如图是三角形 ABC 的直观图, 平面图形是______ 填正三角 形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等 腰三角形

2.如图所示的几何体,在右边的三视图中填上适当的视图名称 主视 图、俯视图、左视图 并补充完整.

3 图 为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由______ 块木块堆成;图 中的三视图表示的实物为______ .

4.如图,图 、 、 是图 表示的几何体的三视图,其中图 是 ______ ,图 是______ ,图 是______ 说出视图名称 .

三、解答题 1.画出图中两个几何体的三视图. 2.用斜二测画法作出边长为 3cm、高 4cm 的矩形的直观图 不写作法保 留作图痕迹

3 已知某几何体的三视图如图,画出该几何体 的直观图;

1.3 空间几何体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 ' (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为 母线)
S直棱柱侧面积 ? ch
S正棱台侧面积 ?

S圆柱侧 ? 2?rh S正棱锥侧面积 ? 2 ch '
S圆锥表 ? ?r?r ? l ?
S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

1

S圆锥侧面积 ? ?rl

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?

1 (c1 ? c2 )h' 2

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2

?

?

例 1 如图所示,一个圆台形花盆盆口直径为 20cm,盆底 直径为 15cm,底部渗水圆孔直径为 1.5cm,盆壁长 15cm.为了美化花 盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用 100 毫升油漆,涂 100 个这样 的花盆需要多少油漆( ? 取 3.14,结果精确到 1 毫升,可用计算器)? 分析:只要求出每一个花盆外壁的表面积,就可求出油漆的用量.而花 盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上下底面面积,再减去底面圆 孔的面积. 解:如图所示,由圆台的表积公式得一个花盆外壁的表面积 = 0.1(m2). 涂 100 个花盆需油漆:0.1?100?100 =1000(毫升). 答:涂 100 个这样的花盆约需要 1000 毫升油漆. 例 2 直平行六面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为 Q1,Q2, 求直平行六面体的侧面积. 【分析】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征,直平行 六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体,它的两个对 角面是矩形. 【解析】如图所示,设底面边长为 a,侧棱长为 l, 两条底面对角线的长分别为 c,d,即 BD = c,AC = d ?,则
?c ? l ? Q1 (1) ? (2) ?d ? l ? Q2 ? 1 1 ?( c) 2 ? ( d ) 2 ? a 2 (3) ? 2 2
15 15 20 1.5 S ? ? ? [( )2 ? ?15 ? ?15] ? ? ? ( )2 2 2 2 2 ≈1000(cm2)

由(1)得 ∴ Q1
2

c?

Q1 l

,由(2)得
2 2

d?

Q2 l

,代入(3)得

(

Q1 2 Q2 2 ) ? ( ) ? a2 2l 2l ,

2 ? Q2 ? 4l 2 a 2

,∴ 2la ?

2 Q12 ? Q2

.

∴S 侧 = 4al ? 2 Q1 ? Q2 . 例 3 一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个 三棱柱的表面积. 【解析】由三视图知正三棱柱的高为 2mm. 由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为 2 3 mm. 设底面边长为 a,则 ∴正三棱柱的表面积为
3 a?2 3 2 ,∴a

= 4.

S = S 侧 + 2S 底 = 3?4?2 + ? 24 ? 8 3 (mm2). 例 3 有一根长为 10cm,底面半径是 0.5cm 的圆柱形铁管,用一段铁 丝在铁管上缠绕 8 圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两 端,则铁丝的最短长度为多少厘米?(精确到 0.01cm) 【解析】如图,把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开 在平面上,得到矩形 ABCD. 由题意知,BC=10cm,AB = 2 ? ?0.5?8 ? 8? cm,点 A 与点 C 就是铁丝的起止位置,故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度. ∴AC = 10 ? (8? ) ? 27.05 (cm). 所以,铁丝的最短长度约为 27.05cm. 【评析】此题关键是把圆柱沿这条母线展开,将问题转化为平面几何 问题. 探究几何体表面上最短距离,常将几何体的表面或侧面展开,化 折(曲)为直,使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面 化,是解决立体几何问题基本的、常用的方法. 例 4.粉碎机的下料是正四棱台形如图,它的 两底 面边长分别是 80mm 和 440mm,高是 200mm. 计算 制造这一下料斗所需铁板是多少? 【分析】 问题的实质是求四棱台的侧面积, 欲求 侧面积,需求出斜高,可在有关的直角梯形中 求出 图 4 —3 —2 斜高.
2 2

1 ? 4? 2 3 2? 2

【解析】如图所示,O、O1 是两底面积的中心,则 OO1 是高,设 EE1 是斜高,在直角梯形 OO1E1E 中, EE1= =
E1 F 2 ? EF 2

OO12 ? (EO ? E1O1 )2

∵边数 n = 4,两底边长 a = 440,a′= 80,斜高 h′=269. ∴S 正棱台侧 = (mm2) 答:制造这一下料斗约需铁板 2.8?105mm2. (3)柱体、锥体、台体的体积公式
V柱 ? Sh
1 1 1 (c ? ? c) ? h ? ? n(a ? ? a) ? h ? ? 4 ? (440 ? 80) ? 269 ? 2.8 ?105 2 2 = 2

V圆柱 ? S h ??

2

r h

1 V锥 ? Sh 3

1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

1 1 ' 2 2 V圆台 ? (S ' ? S S ? S )h ? ? (r ? rR ? R )h 3 3

例 有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是 7.8g/cm3)六角螺 帽(如图)共重 5.8kg,已知底面是正六边形,边长为 12cm,内孔直径为 10mm,高为 10mm,问这堆螺帽大约有多少个( ? 取 3.14,可用计算 器)? 解:六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差,即
V? 3 10 ?122 ? 6 ?10 ? 3.14 ? ( )2 ?10 4 2 ≈2956

(mm3) = 2.956(cm3)

所以螺帽的个数为 5.8?1000÷(7.8?2.956)≈ 252(个) 答:这堆螺帽大约有 252 个. 例 已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为 S,求其内接 正四棱柱的体积.

【解析】如图,设等边圆柱的底面半径为 r,则高 h = 2r, ∵S = S 侧 + 2S 底 = 2 ? rh + 2? r
2

? 6? r

2

,∴

r?

S 6?

.

∴内接正四棱柱的底面边长 a=2r sin45°= ∴V = S 底?h = ( = 4?
(

2r .

2r )2 ? 2r ? 4r 3

S 3 6? S ) ? ?S 6? 9? 2 , 6? S S 9? 2

即圆柱的内接正四棱柱的体积为

.

(4)球体的表面积和体积公式:V ; S 球面 = 4? R 例 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证:


4 3 ?R =3

2

2 (1)球的体积等于圆柱体积的 3 ;

(2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 证明:(1)设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为 R,高为 2R.
4 V球 ? ? R3 3 因为 ,
V圆柱 ? ? R2 ? 2R ? 2? R3



2 V球 ? V圆柱 3 所以, .

(2)因为 S球 ? 4? R , S圆柱侧 ? 2? R ? 2R ? 4? R2 , 所以,S 球 = S 圆柱侧. 例 球与圆台的上、下底面及侧面都相切,且球面面积与圆台的侧面 积之比为 3:4,则球的体积与圆台的体积之比为( ) A.6:13 B.5:14 C.3:4 D.7:15 【解析】如图所示,作圆台的轴截面等腰梯形 ABCD,球的大圆 O 内 切于梯形 ABCD. 设球的半径为 R,圆台的上、下底面半径分别为 r1、r2,由平面几 何知识知,圆台的高为 2R,母线长为 r1 + r2. ∵∠AOB = 90°,OE⊥AB (E 为切点), ∴R2 = OE2 = AE?BE = r1?r2. 由已知 S 球∶S 圆台侧= 4 ? R2∶ ? (r1+r2)2 = 3∶4
2

? (r1

+ r2)2

16 2 R . =3
4 ? R3 3

V 球∶V 圆台

1 ? (r12 ? r1r2 ? r2 2 ) ? 2 R 3 =

A. 例 在球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA、PB、PC 两两垂直且 PA = PB = PC = a,求这个球的体积. 解:∵PA、PB、PC 两两垂直, PA = PB = PC = a. ∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体. 又∵P、A、B、C 四点是球面上四点, ∴球是正方体的外接球 ,正方体的对角线是球的直径. ∴ ∴
?
2R ? 3a, R ?
V ?

2R2 2R2 ? 2 6 (r1 ? r2 ) ? r1 r2 16 2 R ? R2 ? . 13 故选 3 =

3 a 2 .

4 4 3 ? R 3 ? ? ( a )3 3 3 2

3 3 ?a 2

课后练习 一、选择题 1. 已知四棱锥 形,平面 的表面积为

的顶点都在球 O 的球面上,底面 ABCD 是矩 底面 为正三角形, ,则球 O

C. A. B. D. 2. 球 O 与棱长为 2 的正方体 的各个面都相切,点 M 为 棱 的中点,则平面 ACM 截球 O 所得截面的面积为 B. D. A. C. 3. 如图,网格纸上小正方形变长为 1,粗实线及粗虚线画出的是某多 面体的三视图,则该多面体体积为 A. B.

C. 8 D. 4. 三棱锥 中, ,若 三棱锥 的体积为 ,则 CD 的长为 A. B. C. D. 5. 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提到了一 种名为“刍甍”的五面体 如图 :面 ABCD 为矩形,棱 若此几 何体中, 和 都是边长为 2 的等边三角形, 则此几何体的表面积为

A. B. C. D. 6. 已知 AD 与 BC 是四面体 ABCD 中相互垂直的棱,若 ,且 ,则四面体 ABCD 的体积的最大值是 C. 18 D. 36 A. B. 7. 三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为 ,则该三棱锥的 外接球的表面积 A. B. C. D. 8. 点 M 为棱长是 的正方体 的内切球 O 球面上的动 点,点 N 为 的中点,若满足 ,则动点 M 的轨迹的长度 为 A. B. C. D. 9. 四面体 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上, ,且平面 平面 ABC,则球 O 的 表面积为 A. B. C. D. 10. 三棱锥 的三条侧棱两两垂直,且 ,则其外接球 上的点到平面 ABC 的距离的最大值为 A. 二、填空题 1.若正四棱锥 B. C. D.

的高为 2,侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的大小为

,则该正四棱锥的体积为______ .

2.在 中, 为 AB 中点,将 沿 CM 折起,使 A、B 之间的距离为 ,则三棱锥 的体积为______ . 3.已知等边三角形 ABC 的边长为 分别为 的中点,沿 MN 将 折成直二面角,则四棱锥 的外接球的表面积为 ______ . 4.如图是两个腰长均为 10cm 的等腰直角三角形拼成 的一个四边形 ABCD,现将四边形 ABCD 沿 BD 折成 直二面角 ,则三棱锥 的外接球的体积 为______ . 5.如图,在直三棱柱 中,若四边形 是边长为 4 的正方形,且 是 的中点,则三棱锥 的体积为 ______ . 三、解答题 1 如图,四棱锥 的底面 边长为 1 的正方形,每条侧棱 的长均为 为侧棱 SD 上的 点. 求证: ; 若 平面 PAC,求三棱锥 的体积.

2.底面半径为 3,高为 的圆锥有一个内接的正四棱 柱 底面是正方形,侧棱与底面垂直的四棱柱 . 设正四棱柱的底面边长为 x,试将棱柱的高 h 表示 成 x 的函数; 当 x 取何值时,此正四棱柱的表面积最大,并求出 最大值.

3.如图 单位: ,求图中阴影部分绕 AB 旋转一 周所形成的几何体的表面积和体积.

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 ?平面: 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的; 平面的表示:通常用希腊字母α 、β 、γ 表示,如平面α (通常写在 一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面 BC。 点与平面的关系:点 A 在平面 ? 内,记作 A ? ? ;点 A 不在平面 ? 内, 记作 A ? ? 点与直线的关系:点 A 的直线 l 上,记作:A∈l; 点 A 在直线 l 外,记作 A ?l; 直线与平面的关系:直线 l 在平面α 内,记作 l ? α ;直线 l 不在平面 α 内,记作 l ? α 。 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在 此平面内。 应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1: A ? l , B ? l , A ?? , B ?? ? l ? ?

公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平 面;两平行直线确定一平面。 公理 2 及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只 有一条过改点的公共直线 符号:平面α 和β 相交,交线是 a,记作α ∩β =a。 符号语言: P ? A ? B ? A ? B ? l , P ? l 公理 3 的作用: ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关 系:交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依 据。 例 如图,用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.

分析:根据图形,先判断点、直线、平面之间的位置关系,然后用符 号表示出来. 解:在(1)中, ? ? ? ? l , a ? ? ? A , a ? ? ? B . 在(2)中, ? ? ? ? l , a ? ? , b ? ? , a ? l ? P , b ? l ? P . ?线线关系:1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店 的直线是异面直线 异面直线所成角:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别 引直线 a’∥a,b’∥b,则把直线 a’和 b’所成的锐角(或直角)叫 做异面直线 a 和 b 所成的角。两条异面直线所成角的范围是(0°,

90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互 相垂直。 说明:(1)判定空间直线是异面直线方法:①根据异面直线的定义; ②异面直线的判定定理 (2)在异面直线所成角定义中,空间一点 O 是任取的,而和点 O 的 位置无关。 ②求异面直线所成角步骤: A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某 个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所 求角 C、利用三角形来求角 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥ b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都 适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据 例 如图所示,空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、 CD、DA 的中点.求证:四边形 EFGH 是平行四边形. 证明:连接 BD, 因为 EH 是△ABD 的中位线, 所以 EH∥BD,且
EH ? FG ? 1 BD 2 . 1 BD 2 .

同理 FG∥BD,且 因为 EH∥FG,且 EH = FG, 所以 四边形 EFGH 为平行四边形. 例 如图,已知正方体 ABCD – A′B′C′D′. (1)哪些棱所在直线与直线 BA′是异面直线? (2)直线 BA′和 CC′的夹角是多少? (3)哪此棱所在的直线与直线 AA′垂直? 解:(1)由异面直线的定义可知,棱 AD、DC、CC′、DD′、D′ C′、B′C′所在直线分别与直线 BA′是异面直线.

(2)由 BB′∥CC′可知,∠B′BA′为异面直线 B′A 与 CC′的 夹角,∠B′BA′= 45°. (3)直线 AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′ A′分别与直线 AA′垂直. ?线面位置关系 (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a α a∩α =A a∥α 4、面面关系 平行——没有公共点;α ∥β 相交——有一条公共直线。α ∩β =b 例 4 下列命题中正确的个数是( B ) ①若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l∥ ? . ②若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都平行. ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个 平面平行. ④若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线没有公共点. A.0 B.1 C.2 D.3 例 5 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的( ) A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.任意一条直线都不相交 D.无数条直线都不相交 【解析】直线与平面平行,那么直线与平面内的任意直线都不相交, 反之亦然;故应选 C. 例 6 “平面内有无穷条直线都和直线 l 平行”是“ l // ? ”的( ). A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 【解析】如果直线在平面内,直线可能与平面内的无穷条直线都平 行,但直线不与平面平行,应选 B. 例 7 求证:如果过一个平面内一点的直线平 于与该平面平行的一条直线,则这条直线在这 平面内. 已知:l∥ ? ,点 P∈ ? ,P∈m,m∥l 求证: m ? ? . 证明:设 l 与 P 确定的平面为 ? ,且 ? ? ? = m′,则 l∥m′. 又知 l∥m, m ? m? ? P , 由平行公理可知,m 与 m′重合. 所以 m ? ? . 行 个

例 8 已知平面 ? ∥ ? ,直线 a ? ? ,求证 a∥ ? . 证明:假设 a∥ ? ,则 a 在 ? 内或 a 与 ? 相交. ∴a 与 ? 有公共点. 又 a?? . ∴a 与 ? 有公共点,与面 ? ∥面 ? 矛盾. ∴? ∥ ? . 课后练习 1、给出的下列命题中,正确命题的个数是( ) ①梯形的四个顶点在同一平面内 ②三条平行直线必共面 ③有三个公 共点的两个平面必重合 ④每两条都相交且交点各不相同的四条直线一 定共面 A.1 B.2 C. 3 D.4 2、如图 2-1-17,空间四边形 SABC 中,各边及对角线长 都相等,若 E、F 分别为 SC、AB 的中点,那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( ) A.90° B.60° C.45° D.30°

图 2-1-17 3、如果直线 a∥平面α ,那么直线 a 与平面α 内的( ) A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交 4、若点 M 在直线α 上,α 在平面α 内,则 M、a、α 间的上述关系可 记为( ) A.M∈a,a∈α B.M∈a,a α C.M a,a α D.M a,a α 5、在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、 G、H 四点,如果 EF 与 HG 交于点 M,则( ) A.M 一定在直线 AC 上 B.M 一定在直线 BD 上 C.M 可能在 AC 上,也可能在 BD 上 D.M 不在 AC 上,也不在 BD 上 6、下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形 D.平面α 和平面β 有不同在一条直线上的三个交点 7、若点 M 在直线 a 上,a 在平面α 内,则 M,a,α 间的上述关系可记为 ( ) A.M∈a,a∈α B.M∈a, C. , D. , 8、异面直线是指( ) A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与平面外的一条直线

D.不同在任何一个平面内的两条直线 9、若 a∥α ,b∥α ,则直线 a、b 的位置关系是( ) [来源:学,科,网 Z,X,X,K] A.平行 B.相交 C.异面 D.A、B、C 均有可能 10、下列命题: ①若直线 l 平行于平面α 内的无数条直线,则 l∥ α ; ②若直线 a 在平面α 外,则 a∥α ; ③若直线 a∥b,直线 ,则 a∥α ; ④若直线 a∥b,b ?α ,那么直线 a 就平行于平面α 内的无数条直线. 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 1、空间三条直线两两相交,点 P 不在这三条直线上,那么由点 P 和这 三条直线最多可以确定的平面的个数为__________. 参考答案与解析:解析:(1)当题中三条直线共点但不共面相交时,可确 定 3 个平面;而 P 点与每条直线又可确定 3 个平面,故共确定 6 个. 2、和两条平行直线中的一条是异面直线的直线与另一条直线的位置关 系是_______. 参考答案与解析:思路解析:由公理 4 可知不可能平行,只有相交或异面. 答案:相交或异面 主要考察知识点:空间直线和平面 3、看图填空.

(1)AC∩BD=_______; (2)平面 AB1∩平面 A1C1=________; (3)平面 A1C1CA∩平面 AC=________; (4)平面 A1C1CA∩平面 D1B1BD=_________; (5)平面 A1C1∩平面 AB1∩平面 B1C=_________; (6)A1B1∩B1B∩B1C1=_________. 三、解答题

1、如图,已知△ABC 在平面α 外,它的三边所在直线分别交平面α 于 点 P、Q、R,求证:P、Q、R 三点共线.[来源:Z§xx§k.Com]

2、如图,已知正方体 ABCD—A′B′C′D′.

①哪些棱所在直线与直线 BA ′是异面直线? ②直线 BA′和 CC′的夹角是多少? ③哪些棱所在的直线与直线 AA′垂直? 3、已知直线 b∥c,且直线 a 与 b、c 都相交,求证:直线 a,b,c 共面.

2.2 直线、平面平行的判定及其性质 1、线面平行 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该 直线与此平面平行。 线线平行 ?线面平行 例 已知:空间四边形 ABCD,E、F 分别是 AB、AD 的中点. 求证 EF∥平面 BCD. 证明:连结 BD.在△ABD 中,

因为 E、F 分别是 AB、AD 的中点, 所以 EF∥BD. 又因为 BD 是平面 ABD 与平面 BCD 的交线, EF ? 平面 BCD, 所以 EF∥平面 BCD. 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线 的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。线面平行 ?线线平行 例 如图所示的一块林料中,棱 BC 平行平面 A′C′. (1)要经过面 A′C′内一的点 P 和棱 BC 将木料锯开,应怎样 画线? (2)所画的线与平面 AC 是什么位置关系? 解:(1)如图,在平面 A′C′,过点 P 作直线 EF,使 EF∥B′ C′,并分别交棱 A′B′,C′D′于点 E,F.连接 BE,CF.则 EF、BE、CF 就是应画的线. (2)因为棱 BC 平行于平面 A′C′,平面 BC′与平面 A′C′交于 B′C′,所以,BC∥B′C′.由(1)知,EF∥BC,因此
EF ? BC ? ? EF ? 平面A C ? ? EF ? 平面AC B C ? 平面A C ? ? .

BE、CF 显然都与平面 AC 相交 面面平行 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两 个平面平行 (线面平行→面面平行), (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平 面平行。 (线线平行→面面平行), (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 例 已知正方体 ABCD –A1B1C1D1 证:平面 AB1D1∥平面 C1BD. 证明:因为 ABCD – A1B1C1D1 为正方体, 所以 D1C1∥A1B1,D1C1 = A1B1 又 AB∥A1B1,AB = A1B1 所以 D1C1BA 为平行四边形. 所以 D1A∥C1B.

又 D1 A ? 平面 C1BD, C1 B ? 平面 C1BD 由直线与平面平行的判定定理得 D1A∥平面 C1BD 同理 D1B1∥平面 C1BD 又 D1 A ? D1 B1 ? D1 所以 平面 AB1D1∥平面 C1BD. 点评:线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行. 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平 行。(面面平行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行→线线平行) 例 1 如图,已知平面 ? , ? , ? 满足 ? // ? , ? ? ? ? a , ? ? ? ? b ,证:a∥b.

证明:因为 ? ? r ? a , ? ?r ? b, 所以 a ? ? , b ? ? . 又因为 ? // ? , 所以 a、b 没有公共点, 又因为 a、b 同在平面 ? 内, 所以 a∥b. 课后习题 一、选择题 1、若两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面内的直 线( ) A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 2、下列结论中,正确的有( ) ①若 a α ,则 a∥α ②a∥平面α ,b α 则 a∥b ③平面α ∥平面β ,a α ,b β ,则 a∥b ④平面α ∥β ,点 P∈α ,a∥β ,且 P∈a,则 a α A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

3、在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB 和 BC 上的点,若 AE∶ EB=CF∶FB=1∶3,则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.在内 D.不能确定 4、a,b 是两条异面直线,A 是不在 a,b 上的点,则下列结论成立的 是( ) A.过 A 有且只有一个平面平行于 a,b B.过 A 至少有一个平面平行于 a,b[来源:Z&xx&k.Com] C.过 A 有无数个平面平行于 a,b D.过 A 且平行 a,b 的平面可能不存在 5、已知直线 a 与直线 b 垂直,a 平行于平面α ,则 b 与α 的位置关系是 ( ) A.b∥α B.b α C.b 与α 相交 D.以上都有可能 6、下列命题中正确的命题的个数为( ) ①直线 l 平行于平面α 内的无数条直线,则 l∥α ; ②若直线 a 在平面α 外,则 a∥α ; ③若直线 a∥b,直线 b α ,则 a∥α ; ④若直线 a∥b,b 平面α ,那么直线 a 就平行于平面α 内的无数条直线. A.1 B.2 C.3 D.4 7、下列命题正确的个数是( ) (1)若直线 l 上有无数个点不在α 内,则 l∥α (2)若直线 l 与平面α 平行,l 与平面α 内的任意一直线平行 (3)两条平行线中的一条直线与平面平行,那 么另一条也与这个平面平 行 (4)若一直线 a 和平面α 内一直线 b 平行,则 a∥α A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 8、已知 m、n 是两条不重合的直线,α 、β 、γ 是三个两两不重合的 平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α ,m⊥β ,则α ∥β ; ②若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ∥β ; ③若 m α ,n β ,m∥n,则α ∥β ; ④若 m、n 是异面直线,m α ,m∥β ,n β ,n∥α ,则α ∥β . 其中真命题是( ) A.①和② B.①和③ C.③和④ D.①和④ 主要考察知识点:空间直线和平面

9、长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AA1 中点,F 为 BB1 中点,与 EF 平 行的长方体的面有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10、对于不重合的两个平面α 与β ,给定下列条件:①存在平面γ , 使得α 、β 都垂直于γ ;②存在平面γ ,使α 、β 都平行于γ ;③α 内有不共线的三点到β 的距离相等;④存在异面直线 l,M,使得 l∥ α ,l∥β ,M∥α ,M∥β . 其中可以判断两个平面α 与β 平行的条件有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题 1、在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 A1B1、B1C1 的中点,P 是棱 AD 上一点,AP= ,过 P、M、N 的平面 与棱 CD 交于 Q,则 PQ=_________. 2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上,那么这些点 在空间的位置是__________. 3、若直线 a 和 b 都与平面α 平行,则 a 和 b 的位置关系是__________. 4、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 DD1 中点,则 BD1 与过点 A, C,E 的平面的位置关系是_________. 三、解答题 1、如图,直线 AC,DF 被三个平行平面α 、β 、γ 所截. ①是否一定有 AD∥BE∥CF; ②求证: .

2、如图,ABCD 是平行四边形,S 是平面 ABCD 外一点,M 为 SC 的 中点.

求证:SA∥平面 MDB. 3、如图,已知点 M、N 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的两棱 A1A 与 A1B1 的中点,P 是正方形 ABCD 的中心, 求证:MN∥平面 PB1C.

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 1.线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么 这条直线垂直这个平面。 例 如图,已知 a∥b,a⊥ ? ,求证:b⊥ ? . 证明:在平面 ? 内作两条相交直线 m、n. 因为直线 a⊥ ? ,根据直线与平面垂直的定义知 a⊥m,a⊥n. 又因为 b∥a, 所以 b⊥m,b⊥n. 又因为 m ? ? , n ? ? ,m、n 是两条相交直线, b⊥ ? . 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 例 设 ? ? ? , ? ? ? =CD, AB ? ? ,AB⊥CD,AB⊥CD = B 求证 AB ? ?

证明:在 ? 内引直线 BE⊥CD,垂足为 B,则∠ABE 是二面角 ? ? CD ? ? 的平面角.由 ? ? ? 知,AB⊥BE,又 AB⊥CD,BE 与 CD 是 ? 内的两条相交 直线,所以 AB⊥ ? 线面角:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。 例 如图,在正方体 ABCD – A1B1C1D1 中,求 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角. 分析:找出直线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影,就可以求出 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角. 解:连结 BC1 交 B1C 于点 O,连结 A1O. 设正方体的棱长为 a,因为 A1B1⊥B1C1, A1B1⊥B1B,所以 A1B1 ⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 又因为 BC1⊥B1C,所以 B1C⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影,∠BA1O 为 A1B 与 平面 A1B1CD 所成的角. 在 Rt△A1BO 中,
2 BO ? a A1B ? 2a , 2 , 1 BO ? A1 B 2 所以 ,

∠BA1O = 30° 因此,直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 30°. ※在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的 垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂 直性质易得垂线。 2.面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平 面互相垂直。 例 如图,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周 上不同于 A、B 的任意一点,求证:平面 PAC⊥平面 PBC. 证明:设⊙O 所在平面为 ? ,由已知条件, PA⊥ ? ,BC 在 ? 内, 所以 PA⊥BC. 因为点 C 是圆周上不同于 A、B 的任意一点,AB 是⊙O 的直径, 所以,∠BCA 是直角,即 BC⊥AC. 又因为 PA 与 AC 是△PAC 所在平面内的两条直线.

所以 BC⊥平面 PAC. 又因为 BC 在平面 PBC 内, 所以,平面 PAC⊥平面 PBC. 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的 交线的直线垂直于另一个平面。 例 如图,已知平面 ? , ? , ? ? ? ,直线 a 满足 a ? ? , a ? ? ,试判 断直线 a 与平面 ? 的位置关系. ? 解:在 内作垂直于 ? 与 ? 交线的直线 b, 因为 a ? ? ,所以 b ? ? 因为 a ? ? ,所以 a∥b. 又因为 a ? ? ,所以 a∥ ? . 即直线 a 与平面 ? 平行. (2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角 的面。 (3)二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面 角。 (4)直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直; 反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角 (5)求二面角的方法 ?定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱 的射线得到平面角 ?垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面两 个面的交线所成的角为二面角的平面角 例 如图,平面角为锐角的二面角 ? ? EF ? ? ,A∈EF, AG ? ? ,∠GAE = 45°若 AG 与 ? 所成角为 30°,求二面角 ? ? EF ? ? 的平面角. 【分析】首先在图形中作出有关的量,AG 与 ? 所成的角(过 G 到 ? 的垂 线段 GH,连 AH,∠GAH = 30°),二面角 ? ? EF ? ? 的平面角,注意在 作平面角是要试图与 GAH 建立联系,抓住 GH⊥ ? 这一特殊条件,作 HB⊥EF,连接 GB,利用相关关系即可解决问题. 【解析】作 GH⊥ ? 于 H,作 HB⊥EF 于 B, 连结 GB, 则 CB⊥EF,∠GBH 是二面角的平面角. ? GH 2 2 所成的角, 1 又∠GAH 是 AG sin ?GBH ? ? GB 与 ? a, GH ? a GB 2 2 2 , 设 AG = a,则 . 所以∠GBH = 45° 反思研究:本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系. 课后练习 一、选择题 1、二面角指的是(

)

A.两个平面相交所组成的角 B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形 C.一条直线出发的两个半平面组成的图形 D.两个平面所夹的不大于 90°的角 2、α 、β 、γ 、ω 是四个不同平面,若α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ⊥ω ,β ⊥ω ,则( ) A.α ∥β 且γ ∥ω B.α ∥β 或γ ∥ω C.这四个平面中可能任意两个都不平行 D.这四个平面中至多有一对平面平行 3、已知直线 m 、n 与平面α 、β ,给出下列三个命题: ①若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n;②若 m∥α ,n⊥α ,则 n⊥m;③若 m⊥α ,m ∥β ,则α ⊥β . 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 [来源:Zxxk.Com] C.2 D.3 4、如图 2-3-15,设 P 是正方形 ABCD 外一点,且 PA⊥平面 ABCD,则平 面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 的位置关系是( )

图 2-3-15 A.平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都垂直 B.它们两两都垂直 C.平面 PAB 与平面 PBC 垂直、与平面 PAD 不垂直 D.平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都不垂直 5、如图 2-3-16,等边三角形 ABC 的边长为 1,BC 边上的高为 AD,若沿 AD 折成直二面角,则 A 到 BC 的距离是??( )

图 2-3-16 A.1 B. C. D. 6、下列命题正确的是( ) A.垂直于同一条直线的两直线平行 B.垂直于同一条直线的两直线垂直 C.垂直于同一个平面的两直线平行 D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行 7、空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两对角线 AC、BD 的关系 是( ) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 8、线段 AB 的长等于它在平面α 内射影长的 2 倍,则 AB 所在直线与 平面α 所成的角为( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 9、设α ,β 为两个不重合的平面,l,M,n 为两两不重合的直线,给出下列四 个命题: ①若α ∥β , ,则 l∥β ; ②若 , ,M∥β ,n∥β ,则α ∥β ; ③若 l∥α ,l⊥β ,则α ⊥β ; ④若 , ,且 l⊥M,l⊥n,则 l⊥α . 其中正确命题的序号是( ) A.①③④ B.①②③ C.①③ D.②④ 10、下列说法中正确的是( ) ①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直 ②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直 ③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行 ④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直

A.①②③

B.①②③④

C.②③

D.②③④

二、填空题 1、α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面α 、β 外的两条不同直 线,给出四个结论: ①m⊥n;②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α . 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确 的一个命题______.[来源:学#科#网] 2、α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面α 、β 外的两条不同直 线,给出四个结论: ①m⊥n;②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α . 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确 的一个命题______. 3、设三棱锥 PABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影是 H,给出下列命 题: ①若 PA⊥BC,PB⊥AC,则 H 是△ABC 的垂心; ②若 PA、PB、PC 两两互相垂直,则 H 是△ABC 的垂心; ③若∠ABC=90°,H 是 AC 的中点,则 PA=PB=PC; ④若 PA=PB=PC,则 H 是△ABC 的外心. 请把正确命题的序号填在横线上:______________.

4、如图,P 是二面角α -AB-β 的棱 AB 上一点,分别在α 、β 上引射 线 PM、PN,截 PM=PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,则 二面角α -AB-β 的大小是___________.

三、解答题 1、如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,EF⊥A1D,EF⊥AC,求 证:EF∥BD1.

2、在长江汽车渡口,马力不足或装货较重的汽车上岸时,采用沿着坡面 斜着成 S 形的方法向上开,这是为什么?你能从数学的角度进行解释 吗? 3、如图,在四面体 ABCD 中,△ABD、△ACD、△BCD、△ABC 都 全等,且 面的二面角的大小. ,BC=2,求以 BC 为棱、以面 BCD 和面 BCA 为

第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别 地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此, 倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的 斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾 斜程度。

当 ? ? ?0 ,90 ?时, k ? 0 ; k 不存在。
? ?

当 ? ? ?90 ,180 ?时, k ? 0 ; 当 ? ? 90 时,
? ?
?

k?

②过两点的直线的斜率公式: 注意:(1)当 x1 ? x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角 为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线 上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 例 已知 A (3,2),B (–4,1),C (0,–1),求直线 AB,BC,CA 的 斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线,图 略) 分析:已知两点坐标,而且 x1 ≠ x2,由斜率公式代入即可求得 k 的 值; 而当 k ? tan ? ? 0 时,倾斜角 ? 是钝角; 而当 k ? tan ? ? 0 时,倾斜角 ? 是锐角; 而当 k ? tan ? ? 0 时,倾斜角 ? 是 0°. 例 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为 1,–1,2 及 –3 的直线 a,b,c,1. 分析:要画出经过原点的直线 a,只要再找出 a 上的另个一点 M.而 M 的坐标可以根据直线 a 的斜率确定;或者 k = tan ? =1 是特殊值,所以 也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边,在 x 轴的上方作 45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可. 例 求下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角. (1)(1,1),(2,4); (2)(–3,5),(0,2); (3)(2,3),(2,5); (4)(3,–2),(6,–2) 【解析】(1)
k?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

k?

4 ?1 ?3?0 2 ?1 ,所以倾斜角是锐角;

(2) ,所以倾斜角是钝角; (3)由 x1 = x2 = 2 得:k 不存在,倾斜角是 90° (4) 例 已知点 P (? 点的坐标为
k? ?2 ? (?2) ?0 6?3 ,所以倾斜角为

2?5 ? ?1 ? 0 0 ? ( ?3)

0° 3,1) 点 Q 在 y 轴上,直线 PQ 的倾斜角为 120°,则 Q .

【解析】因为点 Q 在 y 轴上,则可设其坐标为(0,6) 直线 PQ 的斜率 k = tan120°= ? 3 ∴ ∴b = –2,即 Q 点坐标为 (0, ? 2) 课后习题 一、选择题 1、以 A(-1,1)、B(2,-1)、C(1,4)为顶点的三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.以 A 点为直角顶点的直角三角形 D.以 B 点为直角顶点的直角三角形 2、在同一直角坐标系中,如图中,表示直线 y=ax 与 y=x+a 正确的是 ( )
0 ? ( ? 3) k? b ?1 ?? 3

3、下列三点能构成三角形的三个顶点的为( ) A.(1,3),(5,7),(10,12) B.(-1,4),(2,1),(-2,5) C.(0,2),(2,5),(3,7) D.(1,-1),(3,3),(5 ,7) 4、下列命题: ①若两直线平行,则其斜率相等;②若两直线垂直,则其斜率之积为-1;③ 垂直于 x 轴的直线平行于 y 轴. 其中正确命题的个数为( )

A.0 B.1 C.2 D.3 5、没有斜率的直线一定是( ) A.过原点的直线 B.垂直于 x 轴的直线 C.垂直于 y 轴的直线 D.垂直于坐标轴的直线 6、下列三点能构成三角形的三个顶点的为( ) A.(1,3),(5,7),(10,12) B.(-1,4),(2,1),(-2,5) C.(0,2),(2,5),(3,7) D.(1,-1),(3,3),(5,7) 7、顺次连结 A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0) 四点所组成的图 形是( ) A.平行四边形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不对 8、直线 x=1 的倾斜角和斜率分别是( ) A.45°,1 B.135°,-1 C.90°,不存在 D.180°,不存在 9、若直线 l 经过第二、四象限,则直线 l 的倾斜角范围是 ??( ) A. [0°,90°] B.[90°,180°] C.(90°,180°) D.[0°,180°) 10、下列说法正确的有( ) ①若两直线斜率相等,则两直线平行 ②若 l1∥l2,则 k1=k2 ③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直 线相交 ④若两直线斜率都不存在,则两直线平行 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题 1、在下列叙述中:①一条直线的倾斜角为α ,则它的斜率为 k=tan α ; ②若直线斜率 k=-1,则它的倾斜角为 135°; ③若 A(1,-3)、B(1,3),则直线 AB 的倾斜角为 90°; ④若直线过点(1,2),且它的倾斜角为 45°,则这直线必过(3,4)点; ⑤若直线斜率为 ,则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点.

所有正确命题的序号是___________. 2、过点 A(0, )与 B(7,0)的直线 l1 与过(2,1),(3,k+1)的直线 l2 和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数 k 为___________. 3、一光线射到 x 轴上并经 x 轴反射,已知入射光线的倾斜角α 1=30°, 则入射光线的斜率为 k1=_______;反射光线的倾斜角为α 2=_______,斜 率为 k2=_______. 4、a、b、c 是两两不等的实数,则经过 P(b,b+c)、C(a,c+a)两点直线的 倾斜角为________. 三、解答题 1、求过下列两点的直线 l 的斜率 k: (1)A(a,b)、B(ma,mb)(m≠1,a≠0); (2)P(2,1)、Q(m,2). 2、已知三点 A(m-1,2)、B(1,1)、C(3,m2-m-1),若 AB⊥BC,求 M 的值. 3、已知四边形 ABCD 的顶点为 求证:四边形 ABCD 为矩形. ,B(-2,2), ,D( 4,2),

3.2 直线的方程

①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用 点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 例 直线 l 经过点 P0 (– 2,3),且倾斜角 ? = 45° . 求直线 l 的点斜式 方程,并画出直线 l.
y P1 P0 –2 –1 0 6 4 2 1 x

解析:直线 l 经过点 P0 (–2,3),斜率 k = tan45°=1 代入点斜式方程 得 y – 3=x+2 例 直线方程是. (1)经过点 (
1 y ? ? 3 x ? 1 求倾斜角是直线 的倾斜角的 4 ,且分别满足下列条件的
3, ?1) ;

(2)在 y 轴上的截距是–5.
3x ? 1的斜率 k ? 3 ,

【解析】∵直线 y ? ?

∴其倾斜角 ? =120° .故所求直线的斜率

由题意,得所求直线的倾斜角
k1 ? tan 30? ? 3 3

?1 ? ? ? 30?

1 4

. ,

3 ( 3, ? 1) (1)∵所求直线经过点 ,斜率为 3

∴所求直线方程是

y ?1 ?

3 ( x ? 3) 3 ,即 3x ? 3 y ? 6 ? 0 .

(2)∵所求直线的斜率是
y?

3 3

,在 y 轴上的截距为–5,

∴所求直线的方程为 即 3x ? 3 y ?15 ? 0 【点评】(1)由于点斜式与斜截式方程中都是用斜率 k 来表示的,故 这两类方程不能用于垂直于 x 轴的直线.如过点(1,2),倾斜角为 90° 的直线方程为 x – 1 = 0. (2)截距和距离是两不同的概念,y 轴上的截距是指直线与 y 轴交点 的纵坐标,x 轴上的截距是指直线与 x 轴交点的横坐标.若求截距可在 方程中分别令 x = 0 或 y = 0 求对应截距. 例 直线 l 过点 P(–2,3)且与 x 轴,y 轴分别交于 A、B 两点,若 P 恰为线段 AB 的中点,求直线 l 的方程. 【解析】设直线 l 的斜率为 k, ∵直线 l 过点(–2,3), ∴直线 l 的方程为 y – 3 = k[x – (–2)],令 x = 0,得 y = 2k + 3;令 y=0
3 x ? ? ?2 k 得 .

3 x?5 3 ,

∴A、B 两点的坐标分别为 (–2,3)

3 (? ? 2, 0) k A ,B(0,2k

+ 3). ∵AB 的中点为

? 3 ?? k ? 2 ? 0 ? ?2 3 ? , 解之得k ? 2 ? 2 ? 0 ? 2k ? 3 ?3 ? ∴? 2

∴直线 l 的方程为

y ?3 ?

3 ( x ? 2) 2 ,即直线

l 的方程为 3x – 2y +12 = 0.

②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b

③两点式:

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ?

例 已知三角形的三个顶点 A(–5,0 ),B (3, –3),C (0,2),求 BC 边所在 直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程. 解析:

如图,过 B(3,–3),C(0,2)的两点式方程为
y ?2 x?0 ? ?3 ? 2 3 ? 0

整理得 5x + 3y – 6 = 0. 这就是 BC 所在直线的方程. BC 边上的中线是顶点 A 与 BC 边中点 M 所连线段,由中点坐标公式 可得点 M 的坐标为
3 ? 0 ?3 ? 2 , 2 ( 2 3 1 ,? 即( 2 2

),

). )的直线的方程为



3 1 ,? A(–5,0),M( 2 2

y?0 x?5 ? 1 3 ? ?0 ?5 2 2 ,

1 13 5 x? y? ?0 整理得 2 2 2 ,

即 x + 13y + 5 = 0. 这就是 BC 边上中线所在直线方程. 例 求经过点 A (–3,4),且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的 方程. 【解析】当直线 l
x y ? ?1 在坐标轴上截距都不为零时,设其方程为 a ?a .

将 解得 a = –7. ∴所求直线方程为 x – y + 7 = 0. 当直线 l 在坐标轴上的截距都为零时,设其方程为 y = kx.将 A(–3,4) 代入方程得 4 = –3k,即 k = ∴所求直线的方程为 – y + 7 = 0 或 4x + 3y = 0.
x y ? ?1 ④截矩式: a b
y??

?3 4 ? ?1 A(–3,4)代入上式,有 a ?a ,

?

4 3.

4 3 x,即

4x + 3y = 0.故所求直线 l 的方程为 x

其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距 分别为 a , b 。 ⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 例 已知直线 mx + ny + 12 = 0 在 x 轴,y 轴上的截距分别是–3 和 4, 求 m,n. 解法一:将方程 mx + ny + 12 = 0
? ?12 ? ?3 ? ?m = 4 ? m 因此有 ? , 解之得:? ? 12 ?n= - 3 ? ?4 ? ? n
y x ? ?1 12 12 ? ? n 化为截距式得: m ,

解法二:由截距意义知,直线经过 A(–3,0)和 B (0,4)两点,

?m ? (?3) ? n ? 0 ? 12 ? 0 ?m ? 4 因此有 ? 所以 ? ?m ? 0 ? n ? 4 ? 12 ? 0 ? n ? ?3

注意:○ 1 各式的适用范围 ○ 2 特殊的方程如: 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数); 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数); (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线 系: A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数) (二)过定点的直线系

(ⅰ)斜率为 k 的直线系: y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ; (ⅱ)过两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直 线系方程为 ?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ??A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数),其中直线 l 2 不在直线系 中。 (6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时, l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 例 已知直线 l1:y = k1 + b1,l2:y2 = k2 x + b2 . 试讨论: (1)l1∥l2 的条件是什么? (2)l1⊥l2 的条件是什么? 解析:(1)若 l1∥l2,则 k1 = k2,此时 l1、l2 与 y 轴的交点不同, 即 b1 = b2;反之,k1 = k2,且 b1 = b2 时,l1∥l2 . 于是我们得到,对于直线 l1:y = k1x + b1,l2:y = kx + b2 l1∥l2 ? k1 = k2,且 b1≠b2;l1⊥l2 ? k1k2 = –1. 例 已知 A(2,2)和直线 l:3x + 4y – 20 = 0 求: (1)过点 A 和直线 l 平行的直线方程; (2)过点 A 和直线 l 垂 直的直线方程 【解析】(1)将与 l 平行的直线方程设为 3x + 4y + C1 = 0,又过 A(2,2), 所以 3?2 + 4?2 + C1 = 0,所以 C1 = –14.

所求直线方程为:3x + 4y – 14 = 0. (2)将与 l 垂直的直线方程设为 4x – 3y + C2 = 0,又过 A (2,2), 所以 3?2 + 4?2 + C2 = 0 ,所以 C2 = –2 所求直线方程为:4 – 3 – 2 = 0. 课后习题 一、选择题 1、方程 y-ax- =0 表示的直线可能是( )

2、已知直线 l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线 l2 与 l1 关于 l 对称,则 l2 的 方程是( ) A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0 3、已知两条直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等于( ) A.2 B.1 C.0 D.-1[来源:Z_xx_k.Com] 4、方程 y-ax- =0 表示的直线可能是图 3-2-1 中的( )

图 3-2-1 5、设 a<c<b,如果把函数 y=f(x)的图象被两条平行的直线 x=a,x=b 所 截的一段近似地看作一条线段 ,则下列关系式中,f(c)的最佳近似表示式 是?( ) A.f(c)= [f(a)+f(b)] B.f(c)= C.f(c)=f(a)+ [f(b)-f(a)]

D.f(c)=f(a)[f(b)-f(a)] 6、过 A(1,1)、B(0,-1)两点的直线方程是( A. B.

)

C. D.y=x 7、直线 l 过点 P(1,3),且与 x、y 轴正半轴围成的 三角形的面积等于 6 的直线方程是( ) A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0 C.3x-y=0 D.x-3y+8=0 8、已知 P(-1,0)在直线 l:ax+by+c=0 上射影是点 Q(-2, 斜角是( ) A. B. C. D. )则直线 l 的倾

9、在同一直角坐标系中,表示直线 y=ax 与 y=x+a 正确的是下图中的 ( )

10、已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y=1 平行,则 m 的值为 ( ) A.0 B.-8 C.2 D.10[来源:学科网] 二、填空题 1、直线 l 和两条直线 l1:x-3y+10=0 及 l2:2x+y-8=0 都相交,且这两个交 点所成的线段的中点是 P(0,1),则直线 l 的方程是__________. 2、过点 P(1,3)的直线分别与两坐标轴交于 A、B 两点,若 P 为 AB 的中 点,则直线的方程为________. 3、菱形的对角线长分别为 8 和 6,并且分别位于 x 轴和 y 轴上,则菱形的 各边所在直线的方程分别为________________. 4、方程 Ax+By+C=0(A、B 不同时为零)中,当 A=0,C≠0 时,方程表示的 直线平行于 x 轴;当_________时,方程表示的直线与 x 轴重合;当 _________时,方程表示的直线平行于 y 轴;当_________时,方程表示的 直线与 y 轴重合;当_________时,方程表示的直线过原点;当_________时, 方程表示的直线过第一、三、四象限. 三、解答题 1、求过点 A(3,2)且垂直于直线 4x+5y-8=0 的直线方程. 2、求经过点 A(2,1),且与直线 2x+y-10=0 垂直的直线 l 的方程. 3、设直线 l 的方程为(a+1)x+y-2+a=0,若 l 经过第一象限,求实数 a 的取 值范围. 3.3 直线的交点坐标与距离公式 1、两条直线的交点
l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? 交点坐标即方程组 ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 的一组解。

方程组无解 ? l1 // l 2 ; 例 求下列两直线交点坐标 L1:3x + 4y –2 =0 L2:2x + y +2 =0
?3 x ? 4 y ? 2 ? 0 ? 解:解方程组 ?2 x ? 2 y ? 2 ? 0

方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合

得 x = –2,y =2. 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(–2,2),如图:
8 y 4 2 –5 –2 –4 5x

例 判断下列各对直线的位置关系。如果相交,求出交点坐标。 (1)L1:x–y=0,L2:3x+3y–10=0 (2)L1:3x–y=0,L2:6x–2y=0 (3)L1:3x+4y–5=0,L2:6x+8y–10=0. 解:(1)解方程组
?x ? y ? 0 ? ?3 x ? 3 y ? 10 ? 0



5 ? x? ? ? 3 ? ?y ? 5 3 ? 得?

所以,l1 与 l2 相交,交点是 M (2)解方程组
?3 x ? y ? 4 ? 0 ? ?6 x ? 2 y ? 1 ? 0

5 5 , ( 3 3 ).

① ②

①?② – ②得 9 = 0,矛盾, 方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2. (3)解方程组

?3x ? 4 y ? 5 ? 0 ? ?6 x ? 8 y ? 10 ? 0

① ②

①?2 得 6x + 8y –10 = 0. 因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1 与 l2 重合. B x2 , y2) 2、两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点, 则 | AB |?
( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

例 已知点 A (–1,2), B(2, 7) 在 x 轴上求一点,使|PA| = |PB|,并求 |PA|的值. 解:设所求点 P (x,0),于是有
( x ?1)2 ? (0 ? 2)2 ? ( x ? 2)2 ? (0 ? 7)2

∴x2 + 2x + 5 = x2 – 4x + 11

解得 x = 1 ∴所求点 P (1,0)且
| PA |? (1 ? 1)2 ? (0 ? 2)2 ? 2 2

例已知点 A(3,6),在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于 10,求点 P 的 坐标 解:设点 P 的坐标为 (x,0),由|PA| = 10,得: 解得:x = 11 或 x = –5. 所以点 P 的坐标为(–5,0)或(11,0). 3、点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离
d? Ax 0 ? By 0 ? C A2 ? B 2

( x ? 3)2 ? (0 ? 6)2 ? 10



求点 P = (–1,2 )到直线 3x = 2 的距离.
d? | 3 ? ( ?1) ? 2 |
2 2

3 ?0 解: 例 已知点 A (1,3),B (3,1),C(–1,0),求三角形 ABC 的面积. 解:设 AB 边上的高为 h,则

?

5 3

SV ABC ?

1 | AB | ?h 2

| AB |? (3 ? 1)2 ? (1 ? 3)2 ? 2 2

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离. AB 即 x + y – 4 = 0.
y ? 3 x ?1 ? 1 边所在直线方程为 ? 3 3 ? 1

点 C 到 x + y – 4 = 0 的距离为 h
h? | ?1 ? 0 ? 4 | 5 ? 12 ? 1 2



1 5 S? ABC ? ? 2 2 ? ?5 2 2 因此,

4、两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解 例 求两平行线 l1:2x + 3y – 8 = 0 l2:2x + 3y – 10 =0 的距离. 解法一:在直线 l1 上取一点 P(4,0),因为 l1∥l2,所以 P 到 l2 的距离 等于 l1 与 l2 的距离,于是
d? | 2 ? 4 ? 3 ? 0 ? 10 | 2 ?3
2 2

?

2 13 13

解法二:直接由公式
d? | ?8 ? (?10) | 2 ?3
2 2

?

2 13 13

课后习题 一、选择题 1、两条直线 2x+3y-k=0 和 x-ky+12=0 的交点在 y 轴上,那么 k 的值是 ( ) A.-24 B.6 C.±6 D.不同于 A、B、C 的答案 2、点 P(m-n,-m)到直线 的距离等于( )

A. B. C. D. . 3、在坐标平面内,与点 A(1,2)的距离为 1,且与点 B(3,1)的距离为 2 的直线共有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 4、下列直线中,与直线 x+3y-4=0 相交的直线为?( ) A.x+3y=0 B.y= x-12

C. =1 D.y= x+4 5、点(1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离是(

)

A. B. C. D. 6、过点 P(1,2)引直线,使 A(2,3)、B(4,-5)到它的距离相等,则这 条直线的方程是( ) A.4x+y-6=0 B.x+4y-6=0 C.2x+3y-7=0 或 x+4y-6=0 D.3x+2y-7=0 或 4x+y-6=0 7、已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 等于( ) A. B. C. D. 8、直线 kx-y+1-3k=0,当 k 变动时,所有直线都通过定点( ) A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1) 9、一条线段的长是 5 个单位,它的一个端点是 A(2,1),另一个端点 B 的 横坐标是-1,则点 B 的纵坐标是( ) A.-3 B.5 C.-3 或 5 D.-1 或-3 10、已知两直线 2x+3y-3=0 与 mx+6y+1=0 互相平行,则它们的距离等于 ( ) A. B. C. D.4 二、填空题 1、两点 A(1,2),B(-1,3)间的距离是_________. 2、若直线 y=kx+3 与直线 的交点在直线 y=x 上,则 k=______________. 3、直线 5x+4y=2a+1 与直线 2x+3y=a 的交点位于第四象限,则 a 的取值 范围为____________. 4、已知三角形的三个顶点 A(2,1)、B(-2,3)、C(0,-1),则 BC 边上中线的 长为___________. 三、解答题 1、求经过两直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2=0 的交点且与直线 3x+y-1=0 平 行的直线方程. 2、已知△ABC 是直角三角形,斜边 BC 的中点为 M,建立适当的直角坐 标系,证明 .

3、求经过点 P(1,2)的直线,且使 A(2,3),B(0, -5)到它的距离相等的直线方 程.

第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点 为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r ,圆心 ?a, b ? ,半径为 r; 例 写出圆心为 A (2,–3)半径长等于 5 的圆的方程,并判断点
2 2 2

M1(5,–7), M 2 (? 5, ?1) 是否在这个圆上. 分析探求:可以从计算点到圆心的距离入手. 探究:点 M(x0,y0)与圆(x – a)2 + (y – b)2 = r2 的关系的判断方 法: (1)(x0 – a)2 + (y0 – b)2>r2,点在圆外. (2)(x0 – a)2 + (y0 – b)2 = r2,点在圆上. (3)(x0 – a)2 + (y0 – b)2 <r2,点在圆内. 解:圆心是 A(2,–3),半径长等于 5 的圆的标准方程是(x + 3)22 + ( y + 3)2 =25. 把 M1 (5,–7),M2 ( ? 5 ,–1) 的坐标代入方程(x –2)2 + (y +3)2 =25,左右两边相等,点 M1 的坐标适合圆的方程,所以点 M2 在这个 圆上;把 M2 ( ? 5 ,–1)的坐标代入方程(x – 2)2 + (y +3)22 =25,左 右两边 不 相等,点 M2 的坐标不适合圆的方程,所以 M2 不在这个圆上

例 写出下列方程表示的圆的圆心和半径 (1)x2 + (y + 3)2 = 2; (2)(x + 2)2 + (y – 1)2 = a2 (a≠0)

【解析】(1)圆心为(0,–3),半径为 2 ; (2)圆心为(–2,1),半径为|a|.
2 2 (2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

? 2 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ?

?

?

D E? ,? ? 2 2?

,半径为

1 r? D 2 ? E 2 ? 4F 2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示一个点; 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不 表示任何图形。 例 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的 圆心及半径. (1)4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 9 = 0 (2)4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 11 = 0 解析:(1)将原方程变为
2 2 2 2

x2 + y2 – x + 3y

9 +4= 9 =4.

0

D = –1,E =3,F ∵D2 + E2 – 4F = 1>0
1 3 ? 2 ∴此方程表示圆,圆心( , 2 ),半径

r

1 =2.

(2)将原方程化为 x2 + y2 – x + 3y
11 +4= 11 =4.

0

D = –1,E =3,F D2 + E2 – 4F = –1<0 ∴此方程不表示圆. 例 求过三点 A (0,0),B (1,1),C (4,2)的圆的方程,并求这个圆的 半径长和圆心坐标. 分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则 需确定三个系数,而条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般 方程. 解:设所求的圆的方程为:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

∵A (0,0),B (1,1),C (4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解. 把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于 D、E、F 的三元一次方 程组:
?F ? 0 ? ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ? 4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ?

即 解此方程组,可得:D= –8,E=6,F = 0 ∴所求圆的方程为:x2 + y2 – 8x + 6y = 0
r? ? 1 D2 ? E 2 ? 4F ? 5 2 ; D F ? 4, ? ? ?3 2 2 .

得圆心坐标为(4,–3). 或将 x2 + y2 – 8x + 6y = 0 左边配方化为圆的标准方程,(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25,从而求出圆的半径 r = 5,圆心坐标为(4,–3). (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条 件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来 确定圆心的位置。 课后习题 一、选择题:
2 2 1.方程 x ? y ? 4mx ? 2 y ? 5m ? 0 表示圆的充要条件是

( D. m ? 1



1 ? m ?1 A. 4
2 2

B.
2

m?

1 或m ? 1 4

C.

m?

1 4

2.方程 x ? y ? ax ? 2ay ? 2a ? 3a ? 0 表示的图形是半径为 r ( r ? 0 )的 圆,则该圆圆心在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0(D ? E ? 4F ? 0) 所表示的曲线关于直线 y ? x 对称,必有( ) A. E ? F B. D ? F C. D ? E D. D, E, F 两两不相等 2 2 4.点( 2a, a ? 1 )在圆 x +y -2y-4=0 的内部,则 a 的取值范围是 ( )
2 2 2 2

A.-1< a <1
1 C.–1< a < 5

B. 0< a <1
1 D.- 5 < a <1

2 2 5.圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? 0 的周长是 ( )

A. 2 2? B. 2? C. 2? D. 4? 6.两圆 x2+y2-4x+6y=0 和 x2+y2-6x= 0 的连心线方程为 ( ) A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0 D .4x-3y+7=0 7.如果圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切于原点,则 ( ) A.E≠0,D=F=0 B.D≠0,E≠0,F=0 C.D≠0,E=F=0 D.F≠0,D=E=0 8.过点 A(1,-1)与 B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程为 ( ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B .(x-1)2+(y-1)2=4 C.(x+3)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 9.方程 ?x ? y ? 1? x ? y ? 4 ? 0 所表示的图形是 ( ) A.一条直线及一个圆 B.两个点 C.一条射线及一个圆 D.两条射线及一个圆 2 2 10.要使 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 与 x 轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有 ( ) 2 2 A. D ? E ? 4F ? 0, 且F ? 0 B. D ? 0, F ? 0 C. D ? 0, F ? 0 D. F ? 0 二、填空题:
2 2

2 2 2 11.圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 过原点的充要条件是



12.求圆 x ? y ? 1上的点到直线 x ? y ? 8 的距离的最 x 小 值 .
2 2 2 2 2 4 (13、14 题已知)已知方程 x ? y ? 2(t ? 3) x ? 2(1 ? 4t ) y ? 16t ? 9 ? 0 表示 一个圆. 13. t 的取值范围 . 14.该圆半径 r 的取值范围 . 三、解答题:

15.已知一圆经过点 A(2,-3)和 B(-2,-5),且圆心 C 在直 线 l: x ? 2 y ? 3 ? 0 上,求此圆的标准方程.

16.(12 分)已知△ABC 的三个项点坐标分别是 A(4,1),B(6, -3),C(-3,0),求△ABC 外接圆的方程.

17.(12 分)求经过点 A(2,- 1),和直线 x ? y ? 1 相切,且圆心在直 线 y ? ?2 x 上的圆的方程.

18.(12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+3=0 与直线 x+2y-3=0 的两个 交点为 P、Q,求以 PQ 为直径的圆的方程.

19.(14 分)已知动点 M 到点 A(2,0)的距离是它到点 B(8,0) 的距离的一半, 求:(1)动点 M 的轨迹方程;(2)若 N 为线段 AM 的中点,试 求点 N 的轨迹.

20.(14 分)已知圆 C : x ? y - 4x -14 y ? 45 ? 0, 及点 Q(-2,3) . (1) P(a, a ? 1) 在圆上,求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率; (2)若 M 为圆 C 上任一点,求 |MQ | 的最大值和最小值;
2 2

(3 )若实数 m, n 满足 m ? n - 4m -14n ? 45 ? 0 ,求 小值.
2 2

K=

n -3 m + 2 的最大值和最

4.2 直线、圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列 两种方法判断: 2 2 2 (1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a? ? ? y ? b? ? r ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为
d? Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

,则有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ;
2 2 2

d ? r ? l与C相交

(2)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a? ? ? y ? b? ? r ,先将方程联立消 元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为 ? ,则有 ? ? 0 ? l与C相离 ; ? ? 0 ? l与C相切 ; ? ? 0 ? l与C相交 2 注:如果圆心的位置在原点,可使用公式 xx0 ? yy0 ? r 去解直线与圆相 切的问题,其中 ?x0 , y0 ? 表示切点坐标,r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程: ①圆 x2+y2=r2 ,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 2
xx0 ? yy0 ? r

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 例 如图,已知直线 l :3x + y – 6 = 0 和圆心为 C 的圆 x2 + y2 – 2y – 4 = 0,判断直线 l 与圆的位置关系;如果相交,求它们交点的 坐标. ?3x ? y ? 6 ? 0 l 与圆的方程,得 ?解法一:由直线 2 2
?x ? y ? 2 y ? 4 ? 0

消去 y,得 x2 – 3x + 2 = 0, 因为△= (–3)2 – 4?1?2 = 1>0 所以,直线 l 与圆相交,有两个公共点. 解法二:圆 x2 + y2 –2y – 4 = 0 可化为 x2 + (y – 1)2 =5,其圆心 | 3? 0 ?1? 6 | 5 C 的坐标为( ? 0,1),半径长为 5 ,点 C (0,1)到直线 l 的距离 2 2 10 d = 3 ?1 < 5. 所以,直线 l 与圆相交,有两个公共点. 由 x2 –3x + 2 = 0,解得 x1 =2,x2 = 1. 把 x1=2 代入方程①,得 y1= 0; 把 x2=1 代入方程①,得 y2= 0; 所以,直线 l 与圆有两个交点,它们的坐标分别是 A (2,0),B (1,3).

例 已知过点 M (–3,–3)的直线 l 被圆 x2 + y2 + 4y –21 = 0 所截得 的弦长为 4 5 ,求直线 l 的方程. 解:将圆的方程写成标准形式,得 x2 + (y2 + 2)2 =25, 所以,圆心的坐标是(0,–2),半径长 r =5. 4 5 2 如图,因为直线 l 的距离为 4 5 ,所以弦心距为 52 ? ( ) ? 5 2 , 即圆心到所求直线 l 的距离为 5 . 因为直线 l 过点 M (–3,–3),所以可设所求直线 l 的方程为 y + 3 = k (x + 3), 即 k x – y + 3k –3 = 0. | 2 ? 3k ? 3 | 根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线 l 的距离 2 21 ? 3k ? 3 | d = k |? . ? 5 2 因此, k ? 1 , 2 5 ? 5 k 即|3k – 1| = , 两边平方,并整理得到 1 –2 = 0, 2k2 –3k 解得 k = 2 ,或 k =2. 1 所以,所求直线 l 有两条,它们的方程分别为 ? 2 y + 3 = (x + 3), 或 y + 3 = 2(x + 3). 即 x +2y = 0,或 2x – y + 3 = 0 2、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之 间的大小比较来确定。 2 2 2 2 2 2 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r , C2 : ?x ? a2 ? ? ? y ? b2 ? ? R 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大 小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一 条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切 线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。 例 已知圆 C1:x2 + y2 – 2mx + 4y + m2 – 5 = 0,圆 C2:x2 + y2 + 2x – 2my + m2 – 3 = 0,m 为何值时, (1)圆 C1 与圆 C2 相外切; (2)圆 C1 与圆 C2 内含. 【解析】对于圆 C1,圆 C2 的方程,经配方后 C1:(x – m)2 + (y + 2)2 = 9,C2:(x + 1)2 + (y – m)2 = 4.

课后习题 一、选择题 1.已知θ ∈R,则直线 x sin? ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是 ( ) A.[0°,30°] B. [150?,180?) C.[0°,30°]∪ [150?,180?) D.[30°,150°] 2.已知两点 M(-2,0),N(2,0),点 P 满足 PM ? PN =12,则点 P 的轨迹方程为( )
x2 ? y2 ? 1 A. 16
2 2 2 2 B. x ? y ? 16 2 2

C. y ? x ? 8 D. x ? y ? 8 3.已知圆 x2+y2+2 x-6y+F=0 与 x+2y-5=0 交于 A, B 两点, O 为坐标原 点, 若 OA⊥OB, 则 F 的值为 ( ) A 0 B 1 C -1 D 2
2 2 2 4.M( x0 , y0 ) 为圆 x ? y ? a (a ? 0) 内异于圆心的一点,则直线

x0 x ? y0 y ? a 2 与该圆的位置关系(

A.相切

B.相交

) C.相离 D.相切或相交
x2 ? y2

5.已知实数 x,y 满足 2 x ? y ? 5 ? 0, 那么

的最小值(



A. 5 B. 10 C.2 5 D.2 10 6.已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程 为( ) A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 0
? ? 2 7.已知 a ? b,且 a sin ? +acos ? - 4 =0 ,b sin ? +bcos ? - 4 =0,则连
2 2

接(a,a ), 2 (b,b )两点的直线与单位圆的位置关系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 8.直线 l1:x+3y-7=0、l2:kx- y-2=0 与 x 轴、y 轴的正半轴所围成的 四边形有外接圆,则 k 的值等于 ( )

A.-3

B.3 C.-6
2 2 2

D.6

9. 若圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? R 上有且仅有两个点到直线 4x+3y=11 的距离等 于 1,则半径 R 的取值范围是 ( ) A R>1 B R<3 C 1<R<3 D R ≠2 10.设△ABC 的一个顶点是 A(3,-1),∠B,∠C 的平分线方程 分别是 x=0,y=x,则直线 BC 的方程是 ( ) A.y=2x+5 B.y=2x+3 C.y=3x+5 D.
y?? x 5 ? 2 2
2 2 ( ? 2, 0) 11.已知直线 l 过点 ,当直线 l 与圆 x ? y ? 2x 有两个交点时,其 斜率 k 的取值范围是 ( )

2 2) A (? 2 2,

B (? 2,2) C
2

(?

2 2 , ) 4 4

1 1 ( ? ,) 8 8 D

12.若关于 x 的方程 4 ? x ? kx ? 3 ? 2k ? 0 有且只有两个不同的实数根, 则实数 k 的取值范围是 ( )
?5 ? , ?? ? ? ? A. ?12 ? 5 ? ? ,1? B. ? 12 ?
2 2

? 5? ? 0, ? C. ? 12 ?
2 2

? 5 3? ? , ? D. ? 12 4 ?

二、填空题
( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 10与圆C2: ( x ? 6) ? ( y ? 3) ? 50交于 A、B 13.已知圆 C1: 两点,则 AB 所在的直线方程是__________。 14.过 P(-2,4)及 Q(3,-1)两点,且在 X 轴上截得的弦长为 6 的圆方程是______ 15.已知 A(-4,0),B(2,0)以 AB 为直径的圆与 y 轴的负半轴 交于 C,则过 C 点的圆的切线方程为 . 2 2 16.过直线 x ? 2 上一点 M 向圆 ? x ? 5? ? ? y ? 1? ? 1 作切线,则 M 到切点

的最小距离为_ ____. 三、解答题 17.(本小题满分 12 分)自点(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上, 被 x 轴反射,其反射线所在直线与圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光 线 L 所在直线方程. 18.已知线段 PQ 两端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 有交点,求 m 的范围.
2 2

19.半径为 5 的圆过点 A(-2, 6),且以 M(5, 4)为中点的弦长为 2 5 , 求此圆的方程。

20.已知定点 A(2,0) , P 点在圆 x ? y ? 1 上运动, ?AOP 的平分线交 PA 于 Q 点,其中 O 为坐标原点,求 Q 点的轨迹方程.
2 2

21.已知圆 C: x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,是否存在斜率为 1 的,使直线 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点,若存在求出直线 l 的方程,若 不存在说明理由。 22.(本小题满分 14 分)如图 9-3,已知:射线 OA 为 y=kx(k>0, x>0),射线 OB 为 y= -kx(x>0),动点 P(x,y)在∠AOx 的内部,PM ⊥OA 于 M,PN⊥OB 于 N,四边形 ONPM 的面积恰为 k. (1)当 k 为定值时,动点 P 的纵坐标 y 是横坐标 x 的函数,求这 个函数 y=f(x)的解析式; (2)根据 k 的取值范围,确定 y=f(x)的 定义域.
2 2

4.3 空间直角坐标系
OBCD ? D A B C 是单位正方体.以 A 为原点, (1)定义:如图, , 分别以 OD,O A ,OB 的方向为正方向,建立三条数轴 x轴.y轴.z轴 。 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1)O 叫做坐标原点 2)x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
, , , ,

(2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形 成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向,食指指向为 y 轴正向,中指 指向则为 z 轴正向,这样也可以决定三轴间的相位置。 (3)任意点坐标表示:空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来 表示,有序实数组 ( x, y, z ) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标, 记作 M ( x, y, z) (x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做 点 M 的竖坐标)

(4)空间两点距离坐标公式: d ? ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) ? ( z 2 ? z1 ) 例 如图,在长方体 OABC – D′A′B′C′中,|OA| = 3,|OC| = 4,|OD′| = 2.写出 D′、C、A′、B′四点的坐标. 解:D′在 z 轴上,且 O D′ = 2,它的竖坐标是 2;它的横坐标 x 与 纵坐标 y 都是零,所以点 D′的坐标是(0,0,2). 点 C 在 y 轴上,且 O D′ = 4,它的纵坐标是 4;它的横坐标 x 与竖坐 标 z 都是零,所以点 C 的坐标是(0,4,0). 同理,点 A′的坐标是(3,0,2). 点 B′在 xOy 平面上的射影是 B,因此它的横坐标 x 与纵坐标 y 同点 B 的横坐标 x 与纵坐标 y 相同.在 xOy 平面上,点 B 横坐标 x = 3,纵 坐标 y = 4;点 B′在 z 轴上的射影是 D′,它的竖坐标与点 D′的 竖坐标相同,点 D′ 的竖坐标 z = 2. 所点 B′的坐标是(3,4,2) 1 例 结晶体的基本单位称为晶胞,图是食盐晶胞的示意图 (可看成是八个 棱长为 2 的小正方体堆积成的正方体),其中色点代表钠原子,黑 点代表氯原子.如图,建立空间直角坐标系 O – xyz 后,试写出 全部钠原子所在位置的坐标. 解:把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标. 下层的原子全部在 xOy 平面上,它们所在位置的竖坐标全是 0,所 1 1 以这五个钠原子所在位置的坐标分别是 (0,0,0),(1,0,0), ( , , 0) (1,1,0),(0,1,0), 2 2 ; 1 1 1 1 1 中层的原子所在的平面平行于 xOy 平面,与 z 轴交点的竖坐标为 ( , 0, ), (1, , ) 1 2 ,所以,这四个钠原子所在位置的坐标分别是 1 1 1 2 2 2 2 , ( ,1, ), (0, , ) 2 2 2 2 ; 上层的原子所在的平面平行于 xOy 平面,与 z 轴交点的竖坐标为 1 1 1,所以,这五个钠原子所在位置的坐标分别是 ( , ,1 )(0,0,1),(1,0, 2 1),(1,1,1),(0,1,1), 2
2 2 2

课后习题: 1. 在空间直角坐标系中,点 P(1,2,3) ,过点 P 作平面 xOy 的垂线 PQ , 则 Q 的坐标为( )
0) A. (0,2,

B. (0,2,3)
0) D. (1,2,

0,3) C. (1,

, , 4) ,则点 A 关于原点的对称点的坐标为( 2. 已知点 A(?31 ? 3, ? 4) 1, ? 3) A. (1, B. (?4, ? 1, ? 4) ? 1, 3) C. (3, D. (4,



5, 1) 的距离 3. 在 xOy 平面内的直线 x ? y ? 1上确定一点 M ,使 M 到点 N (6, 最小. 3, 0) , B(5, 1, 0) 距离相等的点的坐标 ( x,y,z ) 满足的条 4. 求到两定点 A(2, 件. 1, 7) 和点 B(3, 5, ? 2) 等距离的点 C 的坐标 5. 在 z 轴上与点 A(?4, 为 . 1 ? t,t ) , B(2,t,t ) ,则 AB 的最小值为( 6. 已知 A(1 ? t,



5 A. 5

55 B. 5

3 5 C. 5

11 D. 5

? 1, 4) , B(3, 2, ? 6) , C (5, 0, 2) .则 7. 已知三角形的三个顶点 A(2, (1)过 A 点的中线长为 ; (2)过 B 点的中线长为 ; (3)过 C 点的中线长为 .

2, 1) , B(?1, 3, 4) , C(111) , , , AP ? 2 PB ,则 PC 长为 8. 已知 A(1, .

1, 2) 的距离 9. 给定空间直角坐标系,在 x 轴上找一点 P ,使它与点 P0 (4,

为 30 .

2 2 2 10. 下列各点不在曲线 x ? y ? z ? 12 上的是(



? 2, 2) A. (2, 2, 2) C. (?2,

2, 2 2) B. (0, 3, 4) D. (1,

11. 坐标原点到下列各点的距离最小的是( ) , , 2, 2) ? 3, 5) A. (111) B. (1, C. (2,

0, 4) D. (3,

, , , B(3, 3, 3) ,点 P 在 x 轴上,且 PA ? PB ,则 P 12. 已知 A 点坐标为 (111) 点坐标为( ) 0, 0) 0, 1) 0, 6) 6, 0) A. (6, B. (6, C. (0, D. (0,

13. 在空间直角坐标系 O ? xyz 中, z ? 1 的所有点构成的图形 是 .

3, 5) 到平面 xOy 的距离为 14. 点 P(2,



? 1, ? 9) , B(?10, 1, ? 6) , C (?2, ? 4, ? 3) 为顶点的三角形是 15. 求证:以 A(?4, 等腰直角三角形.

16. 已知 A(1, 2,1) , B(?1,3, 4) , C (1,1,1) , AP ? 2 PB ,则
PC

长为



z

17. 如图,长方体 OABC ? D'A'B'C' 中, OA ? 3 , OC ? 4 , OD' ? 3 , A'C' 于 B'D' 相交于点 P .分别写出 C , B' , P 的坐标.
A'

D'
B'

C'

P

C O
A B y

x

18. 在 xOy 平面内的直线 x ? y ? 1上确定一点 M ;使 M 到点 N (6,5,1) 的距 离最小.
2 2 2 19. 试解释方程 ( x ?12) ? ( y ? 3) ? ( z ? 5) ? 36 的几何意义.

0, 3) 在空间直角坐标系中的位置是在( 20. 点 (2, ) y xOy A. 轴上 B. 平面上 C. xOz 平面上 卦限内

D.第一

2, ? 1) 关于平面 xOy 的对称点是 21. 点 P(?3, ,关于平面 yOz 的对称点是 ,关于平面 zOx 的对称点 是 ,关于 x 轴的对称点是 ,关于 y 轴的 对称点是 ,关于 z 轴的对称点是 .

? 3, 5) 到原点的距离 d ? 22. 点 M (4, d? .

,到 z 轴的距离

0, 2) , M 2 (0, 3, ?1) ,此两点间的距离为( 23. 已知两点 M1 (?1,



A. 19

B. 11

C.19

D.11

24. 若向量 a 在 y 轴上的坐标为 0 ,其他坐标不为 0 ,那么与向量 a 平行 的坐标平面是( ) A. xOy 平面 B. xOz 平面 C. yOz 平面 D.以上都有可能

25. 在空间直角坐标系中,在 Ox 轴上的点 P1 的坐标特点 为 为 ,在 Oy 轴上的点 P2 的坐标特点为 ,在 yOz 平面上的点 P5 的坐标特点为 . ,在 Oz ,在 xOz 轴上的点 P3 的坐标特点为 平 面上的点 P6 的坐标特点为 ,在 xOy 平面上的点 P4 的坐标特点

5, ? 2) , B(2, 4, 1) , C ( p, 3,q ? 2) ,若 26. 已知空间三点的坐标为 A(1, A ,B,C 三点共线,则 p ? ,q ? .

4, 5) ,试在空间直角坐标系中作出点 P . 27. 已知点 P 的坐标为 (3,


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