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第三章 第五节 数列的综合应用


1.能运用数列的概念、公式、性质解决简单的实 际问题. 2.能运用观察、归纳、猜想的手段,建立有关等 差(比)数列 、递推数列模型.

1.等差、等比数列的综合问题
(1)若{an}是等差数列,则数列{can}(c>0,c≠1)为 等比 数列; (2)若{an}为正项等比数列,则数列{logcan}(c>0,c≠1)为 等差 数列; (3)若{an}既是等差数列又是等比数列,则数列{an}为 非零常数列 .

2.与银行利率相关的几类模型

1.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,
S4 成等比数列,则 等于 (

)
A.1 C.3 B.2 D.4

解析:设数列{an}的首项为a1,公差为d,则S1=a1,S2=
2a1+d,S4=4a1+6d. ∵S2 =S1· 4, S ∴(2a1+d)2=a1(4a1+6d), ∴4a +4a1
2 1 2 2=4a d+d 1 2

+6a1d,

∴d2=2a1d.
又∵d≠0,∴d=2a1,

答案:C

2.随着计算机技术的迅猛发展,电脑的价格不断降低,若每

隔4年电脑的价格降低三分之一,则现在价格为8 100元的电
脑12年后的价格可降为 ( )

A.2 400元
C.3 000元

B.2 700元
D.3 600元 )3=2 400 元.

解析:12年后的价格可降为8 100×(1- 答案:A

3.已知函数f(x)=

,其对称中心是(

,0),若an=

(n∈N*),记数列{an}的前n项和为Sn,则使Sn>0的n

的最小值为

(

)

A.10

B.11

C.12

D.13

解析:因为函数f(x)=

,且函数关于点P(

,0)对

称,故f(1)+f(2)+…+f(10)=0,即S10=0.当n≥6时,f(n)>0, ∴a11=f(11)>0,∴S11>0. 答案:B

4.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列, 则{an}的公比为 .

解析:设等比数列的首项为a1,公比为q,则S1=a1,S2 =a1+a2=a1+a1q,S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2. 由S1,2S2,3S3成等差数列,得2· 2=S1+3S3,即4(a1+a1q) 2S =a1+3(a1+a1q+a1q2),可得3q2-q=0,得q=0,q= ,因为q≠0,所以q= 答案: .

5.若数列{an}是正项递增等比数列,Tn表示其前n项的积,

且T8=T4,则当Tn取最小值时,n的值=

.

解析:由T8=T4,得a1a2a3a4a5a6a7a8=a1a2a3a4,所以
a5a6a7a8=1,又a5a8=a6a7=1,且数列{an}是正项递增数 列,所以a5<a6<1<a7<a8,因此T6取最小值. 答案:6

1.解决等差、等比数列综合问题的关键是将已知转化成基
本量的关系,求出首项与公差(公比)后,再进行其他运算.

2.利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值,同时对
两种数列的性质,要熟悉它们的推导过程,利用好性质, 可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程 求解.

设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的

前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.
(1)求数列{an}的通项;

(2)令bn=lna3n+1,n=1,2,…,求数列{bn}的前n项和Tn. [思路点拨]

[课堂笔记] (1)由已知得

解得a2=2.

设数列{an}的公比为q,由a2=2,可得a1=
又S3=7,可知

,a3=2q.

+2+2q=7,即2q2-5q+2=0.

解得q1=2,q2=

.由题意得q>1,∴q=2,∴a1=1.

故数列{an}的通项为an=2n-1.

(2)由于bn=lna3n+1,n=1,2,…,

由(1)得a3n+1=23n,∴bn=ln23n=3nln2.
又bn+1-bn=3ln2,∴{bn}是等差数列, ∴Tn=b1+b2+…+bn= =

· ln2.
故Tn= ln2.

若将“S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列”改为“Sn =2an-1,n∈N*”. (1)求数列{an}的通项; (2)令bn=log2a3n+1,n=1,2,…,求数列{bn}的前n项和Tn.

解:(1)当n=1时,a1=S1=2a1-1,a1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1), ∴an=2an-1, ∴数列{an}是首项为a1=1,公比为2的等比数列, ∴数列{an}的通项公式是an=2n-1.

(2)由于bn=log2a3n+1,n=1,2,… 由(1)可得a3n+1=23n ∴bn=log223n=3n, ∴{bn}是等差数列, ∴Tn=b1+b2+…+bn

1.解等差数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题
的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题 抽象为数学中的等差数列问题,使关系明朗化、标准化, 然后用等差数列知识求解.这其中体现了把实际问题数学 化的能力,也就是所谓的数学建模能力.

2.解等差数列应用题的关键是建模,建模的思路是: 从实际出发,通过抽象概括建立数列模型,通过对模型的 解析,再返回实际中去,其思路框图为:

用分期付款方式购买家用电器一件,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月这一天都交50元, 并加付欠款利息,月利率为1%,若付150元之后的第一个 月算分期付款的第一个月,问分期付款的第10个月该交付 多少钱?全部付清后,实际共花了多少钱?

[思路点拨]

[课堂笔记]

购买当天付了150元,余欠款1 000元,按

题意分20次还清. 设每次付款依次构成数列{an},则a1=50+1 000×0.01= 60元, a2=50+(1 000-50)×0.01=59.5元, a3=50+(1 000-50×2)×0.01=59元, …

an=60-(n-1)×0.5, ∴{an}是以60为首项,-0.5为公差的等差数列. ∴a10=60-9×0.5=55.5元. 20期共还款S20=20×60- ×0.5=1 105,

故共花了1 105+150=1 255元.

与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的概念, 在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题;在人口数量 的研究中也要研究增长率问题;金融问题更多涉及复利的问 题.这都与等比数列有关.

从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生 态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入 800万元,以后每年投入将比上年度减少 .本年度当地旅

游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业有促进作 用,预计今后的旅游业收入每年会比上年度增加 .

(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总 收入为bn万元,写出an,bn的表达式;

(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

[思路点拨]

[课堂笔记]

(1)第1年投入为800万元,第2年投入800×
n-1万元,

万元,…,第n年投入800×

总投入an=800+800× =4 000×

+…+800×

n-1

同理,第1年收入为400万元,第2年收入为400×



元,…,第n年收入400×

n-1万元,

总收入bn=400+400× =1 600×

+…+400×

n-1

(2)由题意知bn-an>0, 即1 600× 化简,得5× 设x= 解得x< 即 < -4 000× +2× -7>0, >0,

<1,则5x2-7x+2>0, 或x>1(舍去), ,∴n≥5.

至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.

(理)以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背 景的数列构造问题是高考对本节内容的常规考法,09年广 东高考将函数、数列、不等式、导数等知识综合命题考查

学生推理论证能力、函数与方程思想、转化与化归思想和
放缩法,是高考考查的一个新方向.

[考题印证] (2009· 广东高考)(12分)已知曲线Cn:x2-2nx+y2=0(n =1,2,…).从点P(-1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn>0)的切线ln, 切点为Pn(xn,yn). (1)求数列{xn}与{yn}的通项公式;

(2)证明:x1· 3· 5·…·x2n-1< x x

【解】

(1)直线ln的方程为y=kn(x+1),kn>0.

代入曲线Cn的方程得: (k n +1)x2-2(n-k n )x+k n =0.┄┄┄┄┄┄┄(2分) ∵ln与Cn相切, ∴方程有等根xn,
2 2 2

Δ=4(n-k ) -4(k +1)k =0?
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(3分)

22 n

2 n

2 n

∴xn

┄┄┄┄(4分)

yn=kn(xn+1)=

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6分) (2)证明:由(1)知,xn= 于是所证明的不等式变为

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(8分) (a)先证明: ∵4n2-1<4n2, ∴(2n-1)(2n+1)<4n2 ?(2n-1)2(2n+1)<4n2(2n-1), (*)

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(10分) (b)再证明 令f(x)=sinx- 当x∈[0, x,则f′(x)=cosx-

)时,f′(x)>0,

所以f(x)在[0,

)上单调递增,┄┄┄┄┄┄┄(11分)

又xn= ∴f(xn)= 所以 故x1· 3· 5·…·x2n-1< x x

(n≥ 1) >f(0)=0.

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)

[自主体验] (理)已知曲线C:y=x2(x>0),过C上的点A1(1,1)作曲线C 的切线l1交x轴于点B1,再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点 A2,再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2,再过点B2作y轴 的平行线交曲线C于点A3,…,依次作下去,记点An的横坐标 为an(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求证:anSn≤1; (3)求证:

解:(1)∵曲线C在点An(an,a 2 )处的切线ln的斜率是2an, n ∴切线ln的方程是y-a 2 =2an(x-an), n 由于点Bn的横坐标等于点An+1的横坐标an+1, ∴令y=0,得an+1= an, 的等比数列,

∴数列{an}是首项为1,公比为 ∴an=

(2)证明:∵Sn=
∴anSn=4× (1- ).令t= ,则0<t≤ ,

∴anSn=4t(1-t)=-4(t- 当t= ,即n=1时,-4(t-

)2+1. )2+1有最大值1,即

anSn≤1.

2 (3)证明:∵Sk≥ak,k∈N*,∴akSk≥a ,即 k

∵数列{

}是首项为1,公比为4的等比数列,

(文)数列、不等式是高中重要的知识交汇点,以数 列为背景的不等式证明问题是高考对本节内容的常规考法, 09年安徽高考将等差数列、等比数列及不等式综合,考查 了抽象概括和运算求解的能力.

[考题印证]

(文)(2009· 安徽高考)(12分)已知数列{an}的前n项和Sn=
2n2+2n,数列{bn}的前n项和Tn=2-bn. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设cn=a 2 · n,证明:当且仅当n≥3时,cn+1<cn. n b

【解】

(1)a1=S1=4.

对于n≥2,有an=Sn-Sn-1 =2n(n+1)-2(n-1)n=4n. 综上,{an}的通项公式an=4n.┄┄┄┄┄┄┄┄(3分) 将n=1代入Tn=2-bn得b1=2-b1,故T1=b1=1.┄┄(4分)

(求bn)法一:对于n≥2,
由Tn-1=2-bn-1,Tn=2-bn 得bn=Tn-Tn-1=-(bn-bn-1),

bn=

bn-1,bn=21-n.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)

(求bn)法二:对于n≥2,

由Tn=2-bn得Tn=2-(Tn-Tn-1),
2Tn=2+Tn-1,Tn-2= (Tn-1-2),

Tn-2=21-n(T1-2)=-21-n, Tn=2-21-n, bn=Tn-Tn-1=(2-21-n)-(2-22-n)=21-n.┄┄┄(6分) 综上,{bn}的通项公式bn=21-n.┄┄┄┄┄┄┄(7分)

(2)法一:由cn=a 2 · n=n225-n, b n


当且仅当n≥3时,1+

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(10分)

即cn+1<cn.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)

法二:由cn=a · n=n225-n,得 b

2 n

cn+1-cn=24-n[(n+1)2-2n2]
=24-n[-(n-1)2+2].

当且仅当n≥3时,cn+1-cn<0,即cn+1<cn.┄┄(12分)

[自主体验]
(文)已知数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(a 2 , n (n∈N*)在函数f(x)= +4的图象上,且a1=1,an>0. )

(1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:Sn> n∈N*.

解:(1)由于点Pn( 的图象上, ∴ ∴ ∴数列{

),n∈N*,在函数f(x)=

+4

+4,n∈N*, =4,n∈N*, }是等差数列,首项为 =1,公差为4.



=1+4(n-1)=4n-3,n∈N*,
,n∈N*.

∴a 2 = n ∵an>0, ∴an=

,n∈N*.

(2)证明:∵an=

,n∈N*,

∴Sn=a1+a2+…+an>

+…+

,n∈N*,

∵an+1= ∴Sn>

,n∈N*,

,n∈N*.

1.若互不相等的实数a、b、c成等差数列,c、a、b成等比数 列,且a+3b+c=10,则a= A.4 C.-2 B.2 D.-4 ( )

解析:∵a,b,c成等差,∴a+c=2b. 又∵a+c+3b=10,∴b=2. ∴ 由①②知a+ =4,解之得a=-4或a=2.由a,b,c互不

相等知a=-4.
答案:D

2.某厂在2010年底制订生产计划,要使2020年底的总产量在 原有基础上翻两番,则年平均增长率为 ) A.4 -1 B.2 (

C.4 -1 D.2 -1 解析:设年平均增长率为x.则(1+x)10=4,∴x=4 -1. 答案:A

3.有限数列A:a1,a2,…,an,Sn为其前n项和,定义 为A的 “凯森和”,若有99项的数列a1, a2,…,a99的“凯森和”为1000,则有100项的数列1,a1, a2,…a99的“凯森和”为 A.1 001 C.999 B.991 D.990 ( )

解析:设a1,a2,…,a99的“凯森和”为 则1,a1,a2,…,a99的“凯森和”为 而T1=1,T2=S1+1,T3=S2+1,…,T100=S99+1, 所以 答案:B

4.设x,y为正数,且x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y
成等比数列,则 的最小值是 .

解析:由等差数列的性质知:a1+a2=x+y; 由等比数列的性质知:b1b2=xy, 所以 =4,当且仅当x=y时取等号. 答案:4

5.(2010· 济宁模拟)已知数列{an},定义其倒均数是Vn=
,n∈N*.若数列{an}的倒均数是Vn= ,则an= .

解析:由于数列{an}的倒均数是Vn= 所以 当n≥2时,有 所以两式相减得 =n,即an=



,又当n=1时, (n∈N*).

=1,

所以a1=1,适合an= 答案:

,所以an=

6.已知数列{an}中,a1= 其中n=1,2,3….

,点(n,2an+1-an)在直线y=x上,

(1)令bn=an+1-an-1,求证:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和,是否存在实 数λ,使得数列 为等差数列?若存在,试求出

λ;若不存在,请说明理由.

解:(1)证明:由已知得a1= ∴a2= ,a2-a1-1= -

,2an+1=an+n, -1=- ,

又bn=an+1-an-1,bn+1=an+2-an+1-1,

∴{bn}是以-

为首项,以

为公比的等比数列.

(2)由(1)知,bn=

∴an+1-an-1=
∴a2-a1-1= a3-a2-1=- ∴an-an-1-1=- , …,

将以上各式相加得:

∴an-a1-(n-1)= ∴an=a1+n-1-×



+(n-1)-

+n-2.

即an=

+n-2.

(3)存在λ=2,使数列 ∵Sn=a1+a2+…+an=3 …+n)-2n

是等差数列.

+(1+2+

Tn=b1+b2+…+bn=

数列

是等差数列的充要条件是



An+B(A、B是常数),即Sn+λTn=An2+Bn,

又Sn+λTn=

∴当且仅当1-

=0,即λ=2时,数列

为等差数列.


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