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高中数学第一章基本初等函数(Ⅱ)1.1任意角的概念与弧度制1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算同步

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 课时过关·能力提升 1.已知扇形的半径为 r,圆心角 α 所对的弧长为 2r,则 α 的大小是( ) AC..310弧° 度 D.2B弧.6度0° 拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。 解析:α 的大小为 =2 弧度. 答案:D 2.下列各对角中,终边相同的是( ) A. 和 2kπ - (k∈Z) B.- C.- D. 解析:由于- =-2π , 所以- 的终边相同. 答案:C 3.已知圆的半径是 6 cm,则 15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是( ) A. cm2 B. cm2 C.π cm2 D.3π cm2 解析:15°=15× rad,所以扇形面积 S= ×62× (cm2). 答案:B 4.已知角 α 的终边经过点 P(-1,-1),则( ) A.α =kπ + (k∈Z) B.α =2kπ + (k∈Z) C.α =kπ + (k∈Z) D.α =2kπ - (k∈Z) 1 解析:由终边过点 P(-1,-1),知 α 为第三象限的角,故由终边相同的角,得 α =2kπ - (k∈ Z). 答案:D 5.集合 中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 解 析 : 由 于 k ∈ Z, 所 以 当 k 是 偶 数 时 , 不 妨 设 k=2m(m ∈ Z), 这 时 集 合 为 ;当 k 是奇数时,不妨设 k=2m+1(m∈Z),这时集合为 . 由终边相同的角的表示方法知,集合中的角的范围是 C 项的阴影部分. 答案:C ★6.已知扇形的圆心角为 ,半径长为 a,则扇形内切圆的面积与扇形的面积之比是( ) A.1∶3 C.4∶3 B.2∶3 D.4∶9 解析:如图,设扇形 AOB 的内切圆圆心为 M,与 切于点 C,与半径 OB 切于点 N. 设内切圆半径为 r, 由于∠AOB= , 所以∠MON= , 于是 OM=OC-MC=a-r,MN=r, 所以 a-r=2r,解得 r= , 2 从而扇形内切圆面积 S1=π · a2. 而扇形面积为 S2= ·a2= a2. 故扇形内切圆的面积与扇形的面积之比 S1∶S2= a2∶ a2=2∶3. 答案:B 7.已知角 α ,β 的终边关于 x+y=0 对称,且 α =- ,则 β = . 答案: 8.已知数集 A={x|x=4kπ ,k∈Z},B={x|x=2kπ ,k∈Z},C= ,D={x|x=kπ ,k∈ Z},则 A,B,C,D 四个数集之间的关系是 . 答案:A? B? D? C 9.已知扇形的周长为 8 cm,圆心角为 2 弧度,则该扇形的面积为 cm2. 答案:4 10.用弧度制表示,并分别写出下列集合: (1)终边在 x 轴上的角的集合; (2)终边在 y 轴上的角的集合. 解 :(1) 终 边 在 x 轴 上 的 角 的 集 合 为 {α |α =2k1π ,k1 ∈ Z} ∪ {α |α =2k2π +π ,k2 ∈ Z}={α |α =kπ ,k∈Z}. (2)终边在 y 轴上的角的集合为 . ★11.扇形的周长为 20 cm,当扇形的圆心角为何值时,它的面积最大?并求出最大面积. 解:设扇形的圆心角为 α ,半径为 r cm,面积为 S cm2, 则弧长为 l=(20-2r) cm. 由 20-2r>0,r>0,得 0<r<10. 由 20-2r<2π r,得 r> . 于是 S= lr= (20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,r∈ , 3 因此当 r=5 时,S 取得最大值 25,此时圆心角 α = =2 rad. 故当扇形的圆心角为 2 rad 时,它的面积最大,最大面积为 25 cm2. 4