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高中数学 第十五章 第3讲 坐标系与曲线的极坐标方程


第 3 讲 坐标系与曲线的极坐标方程

分层训练 A 级

基础达标演练

(时间:30 分钟 满分:60 分)
π? ? 1.在极坐标系中,直线 l 的方程为 ρsin θ=3,求点?2,6?到直线 l 的距离. ? ? π? ? 解 ∵直线 l 的极坐标方程可化为 y=3,点?2,6?化为直角坐标为( 3,1)∴ ? ? π? ? 点?2,6?到直线 l 的距离为 2. ? ? π? ? 2.(2013· 汕头调研)在极坐标系中,ρ=4sin θ 是圆的极坐标方程,求点 A?4,6?到 ? ? 圆心 C 的距离. 解 将圆的极坐标方程 ρ=4sin θ 化为直角坐标方程为 π? ? x2+y2-4y=0,圆心坐标为(0,2).又易知点 A?4,6?的直角坐标为(2 3,2), ? ? 故点 A 到圆心的距离为 ?0-2 3?2+?2-2?2=2 3. π? ? 3.(2012· 常州一中期中)在极坐标系中,已知点 O(0,0),P?3 2,4?,求以 OP 为 ? ? 直径的圆的极坐标方程. 解 设点 Q(ρ,θ)为以 OP 为直径的圆上任意一点(不包括端点),在 Rt△OQP ? π? 中,ρ=3 2cos?θ-4?, ? ? ? π? 故所求圆的极坐标方程为 ρ=3 2cos?θ-4?. ? ? 4.从极点 O 作直线与另一直线 ρcos θ=4 相交于点 M,在 OM 上取一点 P,使 |OM|· |OP|=12,求点 P 的轨迹方程. 解 设动点 P 的坐标为(ρ,θ),则 M(ρ0,θ). 12 ∵|OM|· |OP|=12.∵ρ0ρ=12.ρ0= ρ .

12 又 M 在直线 ρcos θ=4 上,∴ ρ cos θ=4, ∴ρ=3cos θ.这就是点 P 的轨迹方程. 5.设过原点 O 的直线与圆(x-1)2+y2=1 的一个交点为 P,点 M 为线段 OP 的 中点,当点 P 在圆上移动一周时,求点 M 轨迹的极坐标方程,并说明它是什 么曲线. 解 圆(x-1)2+y2=1 的极坐标方程为 π? ? π ρ=2cos θ?-2≤θ≤2?, ? ? 设点 P 的极坐标为(ρ1,θ1),点 M 的极坐标为(ρ,θ), ∵点 M 为线段 OP 的中点,∴ρ1=2ρ,θ1=θ,将 ρ1=2ρ,θ1=θ 代入圆的极 坐标方程,得 ρ=cos θ. π? ? π ?1 ? ∴点 M 轨迹的极坐标方程为 ρ=cos θ?-2≤θ≤2?,它表示原心在点?2,0?, ? ? ? ? 1 半径为2的圆. 6.⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ. (1)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标方程. 解 (1)ρ=4cos θ,两边同乘以 ρ,得 ρ2=4ρcos θ; ρ=-4sin θ,两边同乘以 ρ,得 ρ2=-4ρsin θ. 由 ρcos θ=x,ρsin θ=y,ρ2=x2+y2, 得⊙O1,⊙O2 的直角坐标方程分别为 x2+y2-4x=0 和 x2+y2+4y=0.
2 2 ?x +y -4x=0, (2)由? 2 2 ?x +y +4y=0,

① ②

①-②得-4x-4y=0,即 x+y=0 为所求直线方程.

分层训练 B 级

创新能力提升

π? ? 1.求圆心为 C?3,6?,半径为 3 的圆的极坐标方程. ? ? 解 如图,设圆上任一点为 P(ρ,θ), π 则 OP=ρ,∠POA=θ-6, OA=2×3=6, 在 Rt△OAP 中,OP=OA×cos∠POA, ? π? ? π? ∴ρ=6cos?θ-6?.∴圆的极坐标方程为 ρ=6cos?θ-6?. ? ? ? ? ? π? 2. (2012· 扬州市调研)已知 A 是曲线 ρ=12sin θ 上的动点, 是曲线 ρ=12cos?θ-6? B ? ? 上的动点,试求线段 AB 长的最大值. 解 曲线 ρ=12sin θ 的直角坐标方程为 x2+(y-6)2=36, 其圆心为(0,6),半径为 6; ? π? 曲线 ρ=12cos ?θ-6? 的直角坐标方程为(x-3 3)2 +(y-3)2 =36,其圆心为 ? ? (3 3,3),半径为 6. 所以 AB 长的最大值= ?3 3-0?2+?3-6?2+6+6=18.

3.(2012· 泉州模拟)已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2,ρ2 -2 2 ? π? ρcos?θ-4?=2. ? ? (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解 (1)由 ρ=2 知 ρ2=4,所以 x2+y2=4; ? π? 因为 ρ2-2 2ρcos?θ-4?=2, ? ? π π? ? 所以 ρ2-2 2ρ?cos θcos4+sin θsin4?=2, ? ? 所以 x2+y2-2x-2y-2=0. (2)将两圆的直角坐标方程相减, 得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1.

2 ? π? 化为极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ=1,即 ρsin?θ+4?= 2 . ? ? 4.已知圆锥曲线 C 的极坐标方程为 ρ= 8sin θ ,以极点为坐标原点,极轴为 1+cos 2θ

x 轴的正半轴建立直角坐标系,求曲线 C 的直角坐标方程,并求焦点到准线 的距离. 解 由 ρ= 8sin θ ,得 ρcos2θ=4sin θ,ρ2cos2θ=4ρsin θ.又 ρcos θ=x,ρsin θ 1+cos 2θ

=y,故所求曲线的直角坐标方程是 x2=4y,故焦点到准线的距离为 2. ?x=t, 5.(2012· 宿迁联考)已知直线 l 的参数方程:? (t 为参数)和圆 C 的极坐 ?y=1+2t ? π? 标方程:ρ=2 2· ?θ+4?. sin ? ? (1)将直线 l 的参数方程化为普通方程, C 的极坐标方程化为直角坐标方程; 圆 (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系. 解 (1)消去参数,得直线 l 的普通方程为 y=2x+1. ? π? ρ=2 2sin?θ+4?,即 ρ=2(sin θ+cos θ),两边同乘以 ρ, ? ? 得 ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ). 得⊙C 的直角坐标方程为(x-1)2+(x-1)2=2. |2-1+1| 2 5 (2)圆心 C 到直线 l 的距离 d= = 5 < 2, 22+12 所以直线 l 和⊙C 相交. 6. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与 x 轴的正半轴重合. 若 ? π? 直线 l 的极坐标方程为 ρsin?θ-4?=3 2. ? ? (1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; x2 y2 (2)已知 P 为椭圆 C:16+ 9 =1 上一点,求 P 到直线 l 的距离的最大值. 2 2 ? π? 解 (1)直线 l 的极坐标方程 ρsin?θ-4?=3 2,则 2 ρsin θ- 2 ρcos θ=3 2, ? ? 即 ρsin θ-ρcos θ=6,所以直线 l 的直角坐标方程为 x-y+6=0. x2 y2 (2)P 为椭圆 C:16+ 9 =1 上一点,设 P(4cos α,3sin α),其中 α∈[0,2π),则

P 到直线 l 的距离 d= |4cos α-3sin α+6| |5cos?α+φ?+6| 4 = ,其中 cos φ=5,所以当 cos(α+φ)=1 2 2

11 时,d 的最大值为 2 2. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设 计· 高考总复习》光盘中内容.


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