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高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第一课时三角函数的定义学案含解析新人教A

1.2.1 任意角的三角函数 第一课时 三角函数的定义 任意角的三角函数的定义 [提出问题] 使锐角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,在终边上任取一点 P,PM ⊥x 轴于 M,设 P(x,y),|OP|=r. 问题 1:角 α 的正弦、余弦、正切分别等于什么? 提示:sin α = ,cos α = ,tan α = . 问题 2:对于确定的角 α ,sin α ,cos α ,tan α 是否随 P 点在终边上的位置的改变 而改变? 提示:否. 问题 3:若|OP|=1,则 P 点的轨迹是什么?这样表示 sin α ,cos α ,tan α 有何优点? 提示:P 点的轨迹是以原点 O 为圆心,以 1 为半径的单位圆,即 P 点是单位圆与角 α 终 边的交点,在单位圆中定义 sin α ,cos α ,tan α 更简便. [导入新知] 1.任意角三角函数的定义 (1)单位圆:在直角坐标系中,以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆. (2)单位圆中任意角的三角函数的定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 y r x r y x P(x,y),那么 y 叫做 α 的正弦,记作 sin α ,即 sin α =y;x 叫做 α 的余弦,记作 cos α , 即 cos α =x; 叫做 α 的正切,记作 tan α ,即 tan α = (x≠0). y x y x 2.三角函数 -1- 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函 数,它们统称为三角函数. [化解疑难] 对三角函数定义的理解 (1)三角函数是一种函数,它满足函数的定义,可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比 值的集合的对应. (2)三角函数是用比值来定义的,所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围. (3)三角函数是比值,是一个实数,这个实数的大小与点 P(x,y)在终边上的位置无关, 只由角 α 的终边位置决定,即三角函数值的大小只与角有关. 三角函数值的符号 [提出问题] 问题 1:若角 α 是第二象限角,则它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样? 提示:若角 α 为第二象限角,则 x<0,y>0, sin α >0,cos α <0,tan α <0. 问题 2:当角 α 是第四象限角时,它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样? 提示:sin α <0,cos α >0,tan α <0. 问题 3: 取角 α 分别为 30°, 390°, -330°, 它们的三角函数值是什么关系?为什么? 提示:相等.因为它们的终边重合. 问题 4:取 α =90°,-90°时,它们的正切值存在吗? 提示:不存在. [导入新知] 1.三角函数的定义域 三角函数 sin α cos α tan α ? ? ?α ? ? 定义域 R R ?α ≠π +kπ ,k∈Z ? 2 ? ? ? ? ? ? 2.三角函数值的符号 [化解疑难] 巧记三角函数值的符号 三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.即第一象 -2- 限各三角函数值均为正,第二象限只有正弦值为正,第三象限只有正切值为正,第四象限只 有余弦值为正. 诱导公式一 [提出问题] 问题:若角 α 与 β 的终边相同,根据三角函数的定义,你认为 sin α 与 sin β ,cos α 与 cos β ,tan α 与 tan β 之间有什么关系? 提示:sin α =sin β ,cos α =cos β ,tan α =tan β . [导入新知] 终边相同的角的同一三角函数的值 (1)终边相同的角的同一三角函数的值相等. (2)公式:sin(α +k?2π )=sin_α , cos(α +k?2π )=cos_α , tan(α +k?2π )=tan_α ,其中 k∈Z. [化解疑难] 诱导公式一的结构特点 (1)其结构特点是函数名相同,左边角为 α +k?2π ,右边角为 α . (2)由公式一可知,三角函数值有“周而复始”的变化规律,即角的终边每绕原点旋转一 周,函数值将重复出现. (3) 此公式也可以记为: sin(α + k?360°)= sin α , cos(α + k?360°)= cos α , tan(α +k?360°)=tan α ,其中 k∈Z. 三角函数的定义及应用 [例 1] (1)若角 α 的终边经过点 P(5,-12),则 sin α =________,cos α = ________,tan α =________. (2)已知角 α 的终边落在直线 3x+y=0 上,求 sin α ,cos α ,tan α 的值. 12 5 [解] (1)- 13 13 12 - 5 (2)直线 3x+y=0,即 y=- 3x,经过第二、四象限,在第二象限取直线上的点(-1, 3),则 r= ?-1? +? 3? =2,所以 sin α = 2 2 2 3 1 ,cos α =- ,tan α =- 3; 2 2 2 在第四象限取直线上的点(1,- 3),则 r= 1 +?- 3? =2,所以 sin α =- 3 , 2 -3- 1 cos α = ,tan α =- 3. 2 [类题通法] 利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角 α 的终边在直线上求 α 的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种: ①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用三角函数的定义求出相应的三角 函数值. ②注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处理,取射线上任一点坐标 (a,b),则 对应角的正弦值 sin α = b a +b 2 2 ,余弦值 cos α = a a +b 2 2 ,正切值 tan α = . b a (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行

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