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反三角函数与最简三角方程专题精选(知识总结与试题)


反三角函数与最简三角方程专题
1、反三角函数: 概念:把正弦函数

? ? ?? y ? sin x , x ? ? ? , ? 时的反函数,成为反正弦函数,记作 y ? arcsin x . ? 2 2?

y ? sin x( x ? R) ,不存在反函数.
含义: arcsin x 表示一个角 ? ;角 ?

? ? ?? ? ? ? , ? ; sin ? ? x . ? 2 2?

反余弦、反正切函数同理,性质如下表.

名称

函数式

定义域

值域

奇偶性

单调性

反正弦函数

y ? arcsin x

?? 1,1? 增
?? 1,1? 减
R 增

? ? ?? ? , ? ? 2 2? ?

奇函数

增函数

反余弦函数

y ? arccos x

?0, ? ?
? ? ?? ?? , ? ? 2 2?

arccos(? x) ? ? ? arccosx
非奇非偶

减函数

反正切函数

y ? arctan x

奇函数

增函数

反余切函数

y ? arc cot x

R



?0, ? ?

arc cot(? x) ? ? ? arc cot x
非奇非偶

减函数

其中: (1 ) . 符号 arcsinx 可以理解为[-

? ? ? ? , ]上的一个角(弧度),也可以理解为区间[- , ]上的一个实数;同 2 2 2 2 ? ? , ], y=arccosx 等价于 cosy=x, x∈[0, π ], 这两个等价关系是解 2 2

样符号 arccosx 可以理解为[0,π ]上的一个角(弧度),也可以理解为区间[0,π ]上的一个实数; (2) . y=arcsinx 等价于 siny=x, y∈[- 反三角函数问题的主要依据; (3) .恒等式 sin(arcsinx)=x, x∈[-1, 1] , cos(arccosx)=x, x∈[-1, 1], arcsin(sinx)=x, x∈[-

? ? , ], arccos(cosx)=x, x∈[0, π ]的运用的条件; 2 2 ? ? (4) . 恒等式 arcsinx+arccosx= , arctanx+arccotx= 的应用。 2 2
方程 方程的解集

2、最简单的三角方程

sin x ? a

a ?1 a ?1

?x | x ? 2k? ? arcsin a, k ? Z ?

?x | x ? k? ? ?? 1? arcsina, k ? Z ?
k

cosx ? a

a ?1

?x | x ? 2k? ? arccosa, k ? Z ?
-1-

a ?1
tan x ? a

?x | x ? 2k? ? arccosa, k ? Z ?

?x | x ? k? ? arctan a, k ? Z? ?x | x ? k? ? arc cot a, k ? Z?

cot x ? a

其中: (1) .含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解,如果有解,求出三角方 程的解集; (2) . 解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础, 要在理解三角方程的基础上, 熟练地写出最简单的三角方程的解; (3) .要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用; 如:若 sin ? 若 tan ?

? sin ?

,则 sin ?

? k? ? (?1)k ?
;若 cot ?

;若 cos ?

? cos ? ,则 ? ? 2k? ? ? ;


? tan ? ,则 a ? k? ? ?

? cot ? ,则 a ? k? ? ?

(4) .会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。 【例题】 例 1. 函数y ? sin x,x ? ? ? , 3? ? 的反函数为( ? 2 ? ?2 ? 例 2. 函数y ? arccos(cos x ) ,x ? ?? ? , ? ? 的图象为( ? 2? ? 2 ?
?
2





?
?
O

2

1

1

-

?
2

?
2

2
O

-

?

?
2

-

?
2

O

?
2

2
O -1

-

?
2

?

2
(A)

(B)
(C)

(D)

例 3. 求值:(1) sin ? 2arcsin ? ?

? ?

? 3 ?? ?? ? 5 ??

(2) tan ?

1? ?1 arccos ? 3? ?2

例 4.画出下列函数的图像(1) 函数是以 2? 为周期的周期函数 当 x ? [?

y ? arcsin(sinx)

, ] 时, arcsin(sinx) ? x 2 2 ? 3? ] 时, arcsin(sinx) ? ? ? x 当 x ?[ , 2 2
(2)

? ?

y
其图像是折线,如图所示:

y ? sin(arccosx), x ? [?1,1] ∵ arccosx ? [0, ? ]
x
-2-



y ? 1 ? cos 2 (arccos x) ? 1 ? x 2 ( x ? 1)

其图像为单位圆的上半圆(包括端点)如图所示:

例 5.已知 cos 例 6.已知函数

2? ?

7 ? 5 3? , ? ? (0, ), sin ? ? ? , ? ? (? , ) 求 ? ? ? 25 2 13 2

(用反三角函数表示)

f ( x) ? arccos( x2 ? x)
f ( x) ? f (2 x ? 1)

(1)求函数的定义域、值域和单调区间; (2)解不等式:

简单的三角方程 例 1.写出下列三角方程的解集 (1) sin( x ?

?
8

)?

2 2

;

(2) 2 cos 3 x ? 1 ? 0 ;

(3) cot

x ?3

例 2.求方程 tan(3 x ? 例 3.解方程 2sin
2

?
4

) ? 3 在 ?0, 2? ? 上的解集.

x ? 3 cos x ? 1 ? 0
?0

例 4. 解方程① 3sin x ? 2 cos x ② 2sin
2

x ? 3sin x cos x ? 2cos2 x ? 0

例 5.解方程:(1) 例 6.解方程 2sin
2

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1
x ? 3cos x ? 0 .

(2) 5sin 3x ? 12 cos 3 x

? 6.5

例 7.解方程: tan( x ? 例 8.已知方程 sin x ?

?

) ? tan( x ? ) ? 2 cot x 4 4

?

3 cos x ? a ? 0 在区间 ?0, 2? ? 上有且只有两个不同的解,求实数 a 的取值范围。

例 9.若方程 cos 2 x ? 2sin x ? m ? 1 ? 0 存在实数解,求 m 的取值范围. 例 10.求方程 sin 2 x ? cos(? 【巩固练习】 反三角函数 1. arctan(tan A. ?

? x) 的解集.

3? 5

3? ) 的值是 5 2? B. 5

(

C

) C. ?

2? 5

D.

3? 5

2.下列关系式中正确的是 A.

( C

) B.

? ? 5? arc cos ?cos ? ? ? ? 4

5? ?? ?? ? ? 4 ??

?? ? ? sin ? arcsin ? ? 3? 3 ?

-3-

C.

?? ?? ? ? arc cos ? cos ? ? cos ? arc cos ? 4? 4? ? ?
f ( x) ? arcsin(tan x) 的定义域是
( B

D. arc tan( ?2)

1 ? arc cot( ? ) 2

3.函数

)

A.

? ? ?? ? , ? ? 4 4? ?

B.

? ?? ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? ? 4 4? ?
D.

C.

? ?? ? k? ? , (k ? 1)? ? ? ? k ? Z ? ? 4 4? ?
? 3? ?1, 上和函数 y ? x 相同的函数是 ? ? 2? ?
B. (

? ?? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? ? 4 4? ?
)

4.在

B

A.

y ? arccos(cos x )
y ? ? ? arctan

y ? arcsin(sin x)

C.

y ? sin(arcsin x)

D.

y ? cos(arccos x )

5.函数

x 的反函数是 2

.

6.求

? ? 3? ? y ? sin x 在 ? , ? 上的反函数. ?2 2 ?
? ? ?
1 5? 与 arc cot( ? ) 的大小. ? 2 4 ? ?

7.比较 arccos ? ?

? 5? 1 arccos ? ?? 4 ? ? ? arc cot(? 2 ) ? ?
8.研究函数

y ? arccos ? x ? x 2 ? 的定义域、值域及单调性.

9.计算: cos ?arccos

? ?

4 ? 5 ?? ? arccos ? ? ?? 5 ? 13 ??

10.求下列函数的定义域和值域: (1) y=arccos

1 x

;

(2) y=arcsin(-x +x);

2

(3) y=arccot(2 -1),

x

11.求函数 y=(arccosx) -3arccosx 的最值及相应的 x 的值。

2

-4-

简单的三角方程 1.解下列方程. (1) tan
2

x ?1

(2) sin 5 x

? sin 3 x

2.方程 sin2x=sinx 在区间(0, 2π )内的解的个数是

.

3.(1) 方程 tan3x=tgx 的解集是 (2) 方程 sinx+cosx=

2 在区间[0, 4π ]上的所有的解的和是 2

.

4.解方程 sin

2

x?

2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 0 . 3

-5-


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