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人教A版高中数学选修1-1 第2章 圆锥曲线与方程 章末总结 名师公开课市级获奖课件(32张)_图文

章末总结 网络建构 知识辨析 判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”) 1.动点 P 到两定点 A(0,-2),B(0,2)的距离之和为 4,则点 P 的轨迹是椭圆. ( × 2.椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越“圆”.( × ) 3.方程 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ ) 4.平面内到两点 F1(-1,0),F2(1,0)的距离之差等于 1 的点的轨迹是双曲线. ( × ) x2 y 2 x2 y 2 5.与双曲线 =1(mn>0)共渐近线的双曲线方程可设为 =λ (λ ≠0). ( √ ) m n m n ) 6.若直线与双曲线交于一点,则直线与双曲线相切.( × ) 7.抛物线 y2=4x 的焦点到准线的距离是 4.( × ) 8.方程 y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是 ( a a ,0),准线方程是 x=- .( × 4 4 ) p ,0)的弦,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2 9.AB 为抛物线 y2=2px(p>0)的过焦点 F( p2 2 x1x2= ,y1y2=-p ,弦长|AB|=x1+x2+p.( √ 4 ) ) 10.过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点.( √ 题型归纳 真题体验 题型归纳 题型一 素养提升 圆锥曲线的定义及其应用 x2 y 2 【典例 1】 若点 M(2,1),点 C 是椭圆 + =1 的右焦点,点 A 是椭圆上的动点, 16 7 则|AM|+|AC|的最小值是 . 解析:设椭圆的左焦点为 F(-3,0),连 MF,AF. x2 y 2 因为点 A 在椭圆 + =1 上运动. 16 7 所以|AC|+|AF|=2a=8. 由此可得|AM|+|AC|=|AM|+(8-|AF|)=8+(|AM|-|AF|), 当 M,A,F 三点共线,且 A 在 FM 延长线上时, |AM|-|AF|取得最小值,所以|AM|-|AF|的最小值为 2 ( 1 ? 0) -|MF|=- (2 ? 3)2 ? =- 26 . 由此可得|AM|+|AC|的最小值为 8- 26 . 答案:8- 26 规律方法 圆锥曲线定义的应用 (1)在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线 的定义,写出所求的轨迹方程; (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结 合解三角形的知识来解决; (3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准 线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决. 题型二 圆锥曲线的方程与性质 x2 y2 【典例 2】 (1)(2018·云南模拟)已知椭圆 C: 2 + 2 =1 (a>b>0)的左右焦点 a b 分别为 F1,F2,过 F2 的直线与圆 x2+y2=b2 相切于点 A,并与椭圆 C 交于不同的两点 P,Q,如图,若 PF1⊥PQ,则椭圆的离心率为( (A) 2 3 ) (B) 3 3 (C) 5 3 (D) 7 3 解析:(1)连接 OA,PF1,则 OA⊥PQ, 又 PF1⊥PQ,可得 OA∥PF1,又 O 是 F1F2 的中点, 所以 A 为线段 PF2 的中点,于是 PF1=2b. 结合椭圆的定义有 PF2=2a-2b, 在直角三角形 PF1F2 中,利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2, 2 c a 2 ? b2 将 c =a -b 代入,整理可得 b= a,于是 e= = = 3 a a 2 2 2 a2 ? 9 2 a 5 4 = . a 3 故选 C. 答案:(1)C x2 y2 (2)(2018·湖北六校联考)已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛物线 x2=2py(p>0) a b 的焦点为 F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为 . 解析:(2)由题意知 p = c 2 ? a 2 =b, 2 p ), 2 抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为(c,c 2 b2 即(c,-b),代入双曲线方程为 2 - 2 =1, a b c2 得 2 =2, a b c2 所以 = 2 ? 1 =1, a a 所以渐近线方程为 y=±x. 答案:(2)y=±x 规律方法 (1)待定系数法求圆锥曲线方程的步骤 ①定位:确定焦点位置. ②定形:根据曲线类型,设出方程. ③定量:利用已知条件,求出a,b或p的值. ④结论:代入所设方程,得出所求方程. (2)求离心率常用方法 ①直接法:求出 a,c,直接利用 e= c 求解. a ②方程或不等式法:列关于 a,c 的齐次方程或不等式.将方程或不等式两边 都除以 a 的最高次幂,得关于 c 即 e 的方程或不等式求解. a 题型三 直线与圆锥曲线的位置关系 x2 y2 【典例 3】 (2018·陕西质检)已知椭圆 E: 2 + 2 =1 (a>b>0)的一个焦点与 a b 短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点 P( 3 , (1)求椭圆 E 的方程; 1 )在椭圆 E 上. 2 1 x2 y2 (1)解:由已知得 a=2b.又椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)过点 P( 3 , ), 2 a b 1 3 x2 2 4 故 2 + 2 =1,解得 b =1.所以椭圆 E 的方程是 +y2=1. 4b 4 b (2)设不过原点 O 且斜率为 1 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 M,直线 OM 与椭圆 2 E 交于 C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|. (2)证明:设直线 l 的方程为 y= 1 x+m(m≠0),A(x1,y1),