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2017届高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率直线的方程课时跟踪检测理


课时跟踪检测(四十五)直线的倾斜角与斜率、直线的方程
?一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.直线 x+ 3y+1=0 的倾斜角是________. 解析:由直线的方程得直线的斜率为 k=- 5π 以α = . 6 5π 答案: 6 2.直线 l:xsin 30°+ycos 150°+1=0 的斜率是________. sin 30° 3 解析:设直线 l 的斜率为 k,则 k=- = . cos 150° 3 答案: 3 3 3 3 ,设倾斜角为 α ,则 tan α =- ,所 3 3

3.倾斜角为 135°,在 y 轴上的截距为-1 的直线方程是________. 解析:直线的斜率为 k=tan 135°=-1,所以直线方程为 y=-x-1,即 x+y+1= 0. 答案:x+y+1=0 4.若直线 l 的斜率为 k,倾斜角为 α ,而 α ∈? 是__________.

?π ,π ?∪?2π ,π ?,则 k 的取值范围 ? ? ? ?6 4? ? 3 ?

?π π ? ?2π ? 解析:∵k=tan α ,α ∈? , ?∪? ,π ? ?6 4? ? 3 ?
∴- 3≤k<0 或 3 ≤k≤1. 3

答案:[- 3,0)∪?

? 3 ? ,1? ?3 ?
A B C B

5.如果 A?C<0,且 B?C<0,那么直线 Ax+By+C=0 不经过第________象限. 解析: 由题意知 A?B?C≠0, 直线方程变形为 y=- x- .∵A?C<0, B?C<0, ∴A?B>0, ∴其斜率 k=- <0,又 y 轴上的截距 b=- >0.∴直线过第一、二、四象限,不经过第三象 限. 答案:三 ?二保高考,全练题型做到高考达标 1.(2016?常州一中月考)已知直线 l 的斜率为 k,倾斜角为 θ ,若 30°<θ <90°,则
1

A B

C B

实数 k 的取值范围是________. 解析: 因为 30°<θ <90°, 所以斜率 k>0, 且斜率 k 随着 θ 的增大而增大, 所以 k> 答案:? 3 . 3

? 3 ? ,+∞? 3 ? ?
2

2.(2016?南京学情调研)直线 x+(a +1)y+1=0 的倾斜角的取值范围是________. 解析:依题意,直线的斜率 k =- 1

a2+1

∈ [-1,0) ,因此其倾斜角的取值范围是

?3π ,π ?. ? 4 ? ? ?
答案:?

?3π ,π ? ? ? 4 ?

3.若 k∈R,直线 kx-y-2k-1=0 恒过一个定点,则这个定点的坐标为________. 解析:y+1=k(x-2)是直线的点斜式方程,故它所经过的定点为(2,-1). 答案:(2,-1) 4.已知直线 l 过点(1,0),且倾斜角为直线 l0:x-2y-2=0 的倾斜角的 2 倍,则直线

l 的方程为________.
解析:由题意可设直线 l0,l 的倾斜角分别为 α ,2α , 1 1 因为直线 l0:x-2y-2=0 的斜率为 ,则 tan α = , 2 2 1 2? 2 2tan α 4 所以直线 l 的斜率 k=tan 2α = = = , 2 1-tan α ?1?2 3 1-? ? ?2? 4 所以由点斜式可得直线 l 的方程为 y-0= (x-1), 3 即 4x-3y-4=0. 答案:4x-3y-4=0 5. 直线 l1: (2m -5m+2)x-(m -4)y+5=0 的斜率与直线 l2: x-y+1=0 的斜率相同, 则 m 等于________. 2m -5m+2 2m -5m+2 解析: 由题意知 m≠±2, 直线 l1 的斜率为 , 直线 l2 的斜率为 1, 则 m2-4 m2-4 =1,即 m -5m+6=0,解得 m=2 或 3(m=2 不合题意,舍去),故 m=3. 答案:3 6.直线 l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线 l 恒过定点________. 解析:直线 l 的方程变形为 a(x+y)-2x+y+6=0,
2 2 2 2 2

2

由?

?x+y=0, ? ?-2x+y+6=0, ?

解得 x=2,y=-2,

所以直线 l 恒过定点(2,-2). 答案:(2,-2) 7.一条直线经过点 A(2,- 3),并且它的倾斜角等于直线 y= 则这条直线的一般式方程是________. 解析:∵直线 y= 1 3 1 3

x 的倾斜角的 2 倍,

x 的倾斜角为 30°,

所以所求直线的倾斜角为 60°, 即斜率 k=tan 60°= 3. 又该直线过点 A(2,- 3), 故所求直线为 y-(- 3)= 3(x-2), 即 3x-y-3 3=0. 答案: 3x-y-3 3=0 8.(2016?盐城调研)若直线 l: + =1(a>0,b>0)经过点(1,2),则直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距之和的最小值是________. 解析:由直线 l: + =1(a>0,b>0)可知直线在 x 轴上的截距为 a,直线在 y 轴上的截 距为 b.求直线在 x 轴和 y 轴上的截距之和的最小值, 即求 a+b 的最小值. 由直线经过点(1,2) 1 2 b 2a b 2a ?1 2? 得 + =1.于是 a+b=(a+b)?? + ?=3+ + ,因为 + ≥2

x y a b

x y a b

a b a

?a b?

a

b

a

b

b 2a ? =2 2(当且仅 a b

b 2a 当 = 时取等号),所以 a+b≥3+2 2. b
答案:3+2 2 9.已知 A(1,-2),B(5,6),直线 l 经过 AB 的中点 M,且在两坐标轴上的截距相等, 求直线 l 的方程. 解:法一:设直线 l 在 x 轴,y 轴上的截距均为 a. 由题意得 M(3,2). 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 ∴直线 l 的方程为 y= x,即 2x-3y=0. 3 若 a≠0,设直线 l 的方程为 + =1,

x y a a

3

∵直线 l 过点(3,2), 3 2 ∴ + =1,解得 a=5,

a a

此时直线 l 的方程为 + =1, 5 5 即 x+y-5=0. 综上所述,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. 法二:由题意知 M(3,2),所求直线 l 的斜率 k 存在且 k≠0,则直线 l 的方程为 y-2=

x y

k(x-3),
2 令 y=0,得 x=3- ;令 x=0,得 y=2-3k.

k

2 2 ∴3- =2-3k,解得 k=-1 或 k= , k 3 2 ∴直线 l 的方程为 y-2=-(x-3)或 y-2= (x-3), 3 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0. 10.过点 A(1,4)引一条直线 l,它与 x 轴,y 轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0,b), 当 a+b 最小时,求直线 l 的方程. 解:法一:由题意,设直线 l:y-4=k(x-1),由于 k<0, 4 则 a=1- ,b=4-k.

k

? 4 ? ∴a+b=5+?- -k?≥5+4=9. ? k ?
当且仅当 k=-2 时,取“=”. 故得 l 的方程为 y=-2x+6. 法二:设 l: + =1(a>0,b>0), 1 4 由于 l 经过点 A(1,4),∴ + =1,

x y a b

a b

4a b ?1 4? ∴a+b=(a+b)?? + ?=5+ + ≥9,

?a b?

b

a

4a b 当且仅当 = 时,即 b=2a 时,取“=”,即 a=3,b=6.

b

a

∴所求直线 l 的方程为 + =1,即 y=-2x+6. 3 6 ?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1 1.已知曲线 y= x ,则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的 e +1
4

x y

面积为________. -e 解析:y′= x 2= ?e +1?
x

-1 1 x x ,因为 e >0,所以 e + x≥2 1 e x e + x+2 e

1 x e ? x=2 当且仅当 e

1 1 -1 1 x x e = x,即 x=0 时取等号,所以 e + x+2≥4,故 y′= ≥- (当且仅当 x=0 时 e e 1 4 x e + x+2 e

? 1? 取等号).所以当 x=0 时,曲线的切线斜率取得最小值,此时切点的坐标为?0, ?,切线的 ? 2?
1 1 方程为 y- =- (x-0),即 x+4y-2=0.该切线在 x 轴上的截距为 2,在 y 轴上的截距为 2 4 1 1 1 1 ,所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 S= ?2? = . 2 2 2 2 1 答案: 2 2.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△AOB 的面 积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程. 解:(1)证明:直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1,故无论 k 取何值,直线 l 总过定 点(-2,1). (2)直线 l 的方程为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1,要使直线 l 不 经过第四象限, 则?
?k≥0, ? ? ?1+2k≥0,

解得 k 的取值范围是[0,+∞).

1+2k (3)依题意,直线 l 在 x 轴上的截距为- ,在 y 轴上的截距为 1+2k,

k

? 1+2k,0?,B(0,1+2k). ∴A?- ? ?
k

?

1+2k 又- <0 且 1+2k>0,

k

∴k>0. 1 故 S= |OA||OB| 2 1 1+2k = ? ?(1+2k) 2 k

5

1 ? 1 1? = ?4k+ +4?≥ (4+4)=4, k ? 2 2? 1 1 当且仅当 4k= ,即 k= 时,取等号.故 S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x-2y k 2 +4=0.

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