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高考数学一轮复习精品课件及配套练习第七章第二节课时知能训练

课时知能训练
一、选择题 1.(2012· 深圳质检)设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其 顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ) 2 2 A.3πa B.6πa 2 C.12πa D.24πa2 【解析】 ∵2R= a2+a2+?2a?2= 6a, ∴S 球=4πR2=6πa2. 【答案】 B

图 7-2-9 2.如图 7-2-9 所示,已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长均 为 1,且 AA1⊥底面 ABC,则三棱锥 B1—ABC1 的体积为( ) 3 3 A. 12 B. 4 6 6 C. 12 D. 4 3 【解析】 在△ABC 中,BC 边长的高为 2 ,即棱锥 A—BB1C1 3 上的高为 2 , 1 又 S△BB1C1=2, 1 3 1 3 ∴VB1—ABC1=VA—BB1C1=3× 2 ×2= 12 . 【答案】 A 3. 某几何体的三视图如图 7-2-10 所示, 其中俯视图是个半圆, 则该几何体的表面积为( )

图 7-2-10 3 A.2π 3 C.2π+ 3 B.π+ 3 5 D.2π+ 3

【解析】 由三视图可知该几何体为一个半圆锥, 底面半径为 1, 高为 3, 1 1 1 ∴表面积 S=2×2× 3+2×π×12+2×π×1×2 3π = 3+ 2 . 【答案】 C 4.(2011· 广东高考)如图 7-2-11,某几何体的正视图(主视图), 侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则 该几何体体积为( )

A.4 3

B.4

图 7-2-11 C.2 3

D.2

【解析】 由三视图知,该几何体为四棱锥,如图所示.依题意 AB=2 3,菱形 BCDE 中 BE=EC=2.

∴BO= 22-12= 3, 则 AO= AB2-BO2=3, 2×2 3 1 1 因此 VA—BCDE=3· AO· S 四边形 BCDE=3×3× 2 =2 3. 【答案】 C 5.一个几何体的三视图如图 7-2-12 所示,该几何体的表面积 为( )

A.280

图 7-2-12 B.292 C.360

D.372

【解析】 该几何体的直观图如图所示,将小长方体的上底面补 到大长方体被遮住的部分, 则所求的表面积为小长方体的侧面积加上 大长方体的表面积, ∴S=S 侧+S 表=6×8×2+2×8×2+(2×8+2×10+8×10)×2 =360. 【答案】 C 二、填空题 6.一个几何体的三视图如图 7-2-13 所示,则这个几何体的体 积为________.

图 7-2-13 【解析】 由三视图知,该几何体为底面为直角梯形的四棱柱, 其高为 1, ?1+2?×2 又底面梯形的面积 S= =3, 2 ∴V 柱=S· h=3. 【答案】 3

图 7-2-14 7.(2011· 天津高考)一个几何体的三视图如图 7-2-14 所示(单 位:m),则该几何体的体积为________m3. 【解析】 由三视图知,几何体是由圆锥和长方体组成的简单组 合体,其中圆锥的底面半径为 1,高为 3;长方体的长、宽、高分别 为 3、2、1. 1 则 V 锥=3π×12×3=π,V 长方体=3×2×1=6, 故所求几何体的体积为 V=6+π. 【答案】 6+π

图 7-2-15 8.圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球

(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图 7 -2-15 所示),则球的半径是________cm. 4 【解析】 设球的半径为 r cm,由等体积法得 πr2· 6r=3πr3×3+ 8πr2,解得 r=4. 【答案】 4 三、解答题 9.如图 7-2-16 所示,已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱 高为 4,体积为 16,求这个球的表面积.

图 7-2-16 【解】 设正四棱柱的底面边长为 a, 则 V=Sh=a2h=a2· 4=16, ∴a=2. 由题意知:2R=|A1C|, |A1C|=2 6,∴R= 6, S=4πR2=24π. 10. (2011· 陕西高考)如图 7-2-17, 在△ABC 中, ∠ABC=45° , ∠BAC=90° ,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把△ABD 折起,使∠BDC =90° .

图 7-2-17 (1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (2)若 BD=1,求三棱锥 D—ABC 的表面积. 【证明】 (1)∵折起前 AD 是 BC 边上的高, ∴当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB. ∵DB?平面 BCD,DC?平面 BCD. 又 DB∩DC=D,∴AD⊥平面 BDC. ∵AD?平面 ABD,∴平面 ABD⊥平面 BDC. (2)由(1)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA.

∵DB=DA=DC=1, ∴AB=BC=CA= 2, 1 1 从而 S△DAB=S△DBC=S△DCA=2×1×1=2, 1 3 S△ABC=2× 2× 2×sin 60° =2, 1 3 3+ 3 ∴三棱锥 D—ABC 的表面积 S=2×3+ 2 = 2 . 11.如图 7-2-18 所示是一几何体的直观图、正视图、侧视图、 俯视图.

图 7-2-18 (1)若 F 为 PD 的中点,求证:AF⊥面 PCD; (2)求几何体 BEC—APD 的体积. 【解】 (1)证明 由几何体的三视图可知,底面 ABCD 是边长 为 4 的正方形,PA⊥面 ABCD,PA∥EB,PA=2EB=4,PA=AD. ∵PA=AD,F 为 PD 的中点, ∴PD⊥AF. 又 ∵CD⊥DA , CD⊥PA , DA ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD , DA∩PA=A, ∴CD⊥平面 APD 又∵AF?平面 APD, ∴CD⊥AF. 又∵PD?平面 PCD,CD?平面 PCD 且 PD∩DC=D ∴AF⊥面 PCD. (2)VBEC—APD=VC—APEB+VP—ACD 1 1 1 1 80 =3×2×(4+2)×4×4+3×2×4×4×4= 3 .