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高一数学方程的根与函数的零点


思考一:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?

判别式 △ =b2-4ac

△>0

△=0

△<0
没有实数根
y

方程ax2 +bx+c=0 两个不相等的 有两个相等的 实数根x1 ,x2 实数根x = x2 (a≠0)的根 1
y y

函数y=ax2 +bx+c (a>0)的图象
函数的图象 与 x 轴的交点

x1

0

x2 x

0 x1

x

0

x

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

结论:二次函数图象与x轴交点的横坐标就
是相应方程的实数根。

函数零点的定义:
对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 的实数x叫做 函数y=f(x)的零点。

等价关系
方程 f(x) = 0 有实数根

函数 y=f(x) 的图象与x轴有公共点 函数 y=f(x) 有零点

1、求下列函数的零点

(1) y ? x ? x
0,-1,1

3

1 (2) y ? x ? x 1,-1
1 2 1 3

2、若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数

? 和? g(x)=bx2-ax-1的零点是_______.

小结:
求函数y=f(x)的零点,其实就是求方程 f(x)=0的实数解。

函数零点的存在性问题 思考二:
(1)函数都有零点吗? (2)什么条件下的函数必有零点?

观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象:
.
-2 -1

y
2

. .
-1

由 f(-2)>0 , f(1)<0,f(2)· f(1)<0

.
-3 -4

1

则(-2,1)为函数f(x)=x2-2x-3
4

0
-2

1

2

3

x

的一个零点所在的区间。

.

你能找出另一个零点所在的小区间吗?

观察对数函数f(x)=lgx的图象:
y
1

.
0
1

.

.

2

x

y

.
a 0

.

b

x

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 断的一条曲线, 并且有f(a)·f(b)<0, 那么,函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使 得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。
思考: 满足上述两个条件,函数就在指定区间内存 在零点,那么,零点是否只有一个?

例题1

求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。

解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(表3-1) 和图象(图3.1—3)

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

由表3-1和图3.1—3可知f(2)<0,f(3)>0,y 14 即f(2)· f(3)<0, 说明这个函数在区间 12 10 8 (2,3)内有零点。
6

由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内 是增函数,所以它仅有一个零 点。

4 2
0 -2 -4 -6 1 2

.3

..
4

.
5 6 7 8 9 10

.

.

.

.

x

.

问题发散:如果函数y=f(x)是定义在R
上的奇函数,且当x>0时,y=lnx+2x6. (1)求函数y=f(x)的零点的个数; (2)求函数y=(x)所有零点之和; (3)如果R上的奇函数有零点,试问零 点个数有什么特点?所有零点之和你 能得出什么结论吗?偶函数呢?

提高练习:
1. 若函数y=ax2-x-1在R上恰有一个零点, 求实数a的取值范围. 2. 题1发散:条件改为在区间(0,1)上 呢?

练一练:
4.函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点( B) A.(-2,-1); B.(0,1); C.(1,2); D.(2,3) 5.下列函数在区间[1,2]上有零点的是( D ) (A)f(x)=3x2-4x+5 (B)f(x)=x?-5x-5 (C)f(x)=lnx-3x+6 (D)f(x)=ex+3x-6 6.若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象是连续 不断的曲线,且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有零点, 则f(a)· f(b)的值是( )D (A)0 (B)正数 (C)负数 (D)无法判断

★ 课堂小结
? 一元二次方程的根及其相应二次函数

的图象与x轴交点的关系

? 函数零点的概念 ? 函数零点与方程的根的关系
★ 数学思想与方法
(1)由特殊到一般的基本方法; (2)注意数形结合思想方法的运用。

小结:
若函数y=f(x)图像在(a,b)上是连续不 断,且满足以下条件: 1、f(a)f(b)<0; 2、在(a,b)上具有单调性;

则该函数在(a,b)上有且只有一个零点!

作业 、
已知:函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是1 和2,求函数f(x)的解析式。

思考:
1. 若函数y=2ax2-x-1在区间(0,1)有 一个零点,求实数a的取值范围.

2.研究方程 | x ? 2 x ? 3|? a(a ? 0)的不同
2

实根的个数.
2 3. 2. 已知关于x的方程x ? 2 px ? p ? 2 ? 0有一个

根在 ? 1与1之间,另一个根在1与2之间,求 p 的取值范围。

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